金陵中学2020届高三数学检测卷(24)教师版

1、 金陵中学2020届高三数学检测卷(24)、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答 题卡相应位置上.已知i是虚数单位，则复数(1+i)2的共轲复数为 .答案：2i.设集合 A=(x, y)|x + y=5, B=(x, y)| 2x y=1,则 An B=A.答案:(2 ， 3).某学院为了调查本校学生2019年12月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，频率分布直方图如图所示，其中 40名学生中健康上网天数超过 20天的人数为 .答案：10.执行如图所示的流程图表示的算法

2、，若输入值为3,则输出值为 .答案：.若圆锥的侧面展开图是圆心角为 淄兀、面积为2f3兀的扇形，则圆锥的体积是 A.答案：兀.若命题p： x(x+ 4)0,命题q： 1,则q是p成立的4 条件(填3 x充分不必要”、必要不充分”、先要”或 既不充分也不必 要”.)答案：必要不充分.有两张卡片，一张的正反面分别写着数字 将两张卡片排在一起组成一个两位数，则0与1 ,另一张的正反面分别写着数字2与3,组成的两位数能被5整除”的概率是 1答案：Q3.若等差数列an满足：a1 = 1, a2= a0,且a3a4= 12,则an的通项公式为 an=.答案:n.在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y2

3、 = 2px(p0)的准线与圆(x-3)2 + y2=16相切, 则p的值为.答案：2解析：抛物线y2= 2px(p0)的准线方程为x pp2 p由题息，直线x 艮(x 3)2+y2= 16R 3-4,解得p=2.=-2与圆相切，.一 2=10.在平面直角坐标系 xOy中，已知点为曲线在点P处的切线的倾斜角，则3兀P在曲线y= 一 ex+ 1”的取值范围是(其中e为自然对数的底数)上，a答案:解析：由y= x+44，得 y= ex+ 14ex4exex+ 1 22x+ 2ex+ d1ex+ex+2ex十 0Vx 2 e11ex+ ex+ 21ex.x x=2,当且仅当- 0V4x 1e = e

4、x：,即x= 0时等号成立，x 1e +ex+2 4. tan a的取值范围是1丹 ex+ 2W 1 ,- 1 W 4V 0,1ex+ ex+ 23兀1, 0). a的取值范围是4，兀.集为 答案：r24兀，司33解析：f(x)奇且增12.在 ABD 中-3_ f3 3x 匚BD=_333x2工11.已知函数f(x) = 2x-2 x+ 10g2(x+ 后闩)，/0, 2可，则不等式f(4cos 4 +f(2) w 0的解 TOC o 1-5 h z 1244cos“w - 2 cos“w_ 又 氐0, 2正 由单位圆易知，氏兀一 7tl.、2 3，33c 2之 一Jc3BAC = 60, A

5、C=1,贝U AB=.BC ,BD, BC AD= , Z32答案：2解析：(方法一)以A为原点，AC为x轴建系，设AB=2x, x 0,则C(1 , 0), B(x, 43x),2BC =(，) AD= AB +BD =(BC AD =2 2=2x -2x + 2= 2x= 1 AB = 2.(方法二)一一 2, .BC AD = (- AB + AC ) ( - AB + BD)3 一+ BC )213.已知实数值为12,3AB + AC )( AB 2= 1AB -| 2 AB | 十 =322 2+ _2AC) =3 一2AB +2| KB | = 2.AC -2 AB 2AC3x y

6、-60 ,若目标函数 z= ax+by (a1, b1)的最大x0, y0则一2 +3的最小值为.a-1 b- 1答案：25解析：线性规划知4a+6b= 122(a-1)+3(b-1)=1323= 2(a-1)+3(b-1)( 2+3)25.b-1a1 b1(1 -x)23-x)+3x223 3V+ 1, X0_，,一 ，14.已知函数 f(X)= e,右函数 y=f(f(x)a)1有二个手点，则头数 a的取x2+2x+1, xv 0值范围是.答案：(11 1)U(2, 3U 1 3，e+/解析：令 f(f(x)a)=1 f(x) a = 2 或 0 f(x)=a2 或 a共三个解.作出f(x

7、)的简图(注意渐近线)，数形结合易知： a-291av 1十ea 2=0无解;aC(1, e+ 1); 0awi 或a =1 1十e0a-2e+1 dd a U1a A综上，aC (1 - 1)U(2, 3U - 3.e+、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答 题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 14分) TOC o 1-5 h z 在平面直角坐标系 xOy中，设向量 a=(cos& sin o), b=( sin cos份，c=1 32 2(1)若 | a+5)= I c|，求 sin( a-的值；(2)设 a 一 0V 3V 兀，且

8、a/ (b+c),求 3的值.5 -一 =6 一解：(1) . a = (cos a, sino), b=(sin& cos 9, c=1 于2 2 3分6分8分12分14分 . I a| = | b| = | c| = 1,且 a b = cosasin 3+ sin ocos 3= sin( a 3 . I a+ b| = | c| ,I a+ b| 2= c2,即 a2+ 2a b + b2= 1, - 1 + 2sin( a-份+ 1 = 1,即 sin( a 一 TOC o 1-5 h z =2，(2) 1.- a= 5.,a= 3, 1 , b+c= sin 3 1 cos 3+

9、3 .63 2211-2，2- a 1/ (b+ c), 一 丁 cos3+ 亚sin 3 - =0.22 22/日1 塞 1 .1 1化间，得？sin 3- 2 cos3=-sin - 3 =2.0V 3V兀 兀兀2兀兀兀兀，一 / 3.；：. %；=】即也;333 36216.(本小题满分 14分)如图，在三棱锥 P ABC中，PA=PC, M为BC的中点，N为AC上的一点，且 MN / 平面PAB.(1)求证：直线 AB/平面PMN ;(2)若 BC=2AC, Z ABC = 30,求证：平面 ABC,平面 PMN .证明：(1).-MN/平面 PAB, MN?平面 ABC,平面 PAB

10、 n平面 ABC=AB, TOC o 1-5 h z .MN/AB.3 分. MN?平面 PMN , AB?平面 PMN,.AB/平面 PMN.6 分(2) BC=2AC, Z ABC=30,由余弦定理可得 AB=AC,AB2+AC2=CB2,ABXAC,8 分. MN/AB, M 为 BC 中点，MN AC, N 为 AC 中点.10 分 PA= PC, AN = CN, PNXAC,又 MN, PN?平面 PMN , MN APN=N,12分14分 .AC,平面 PMN. AC?平面 ABC,平面 ABC，平面 PMN .17.(本小题满分14分)如图，某公园内有两条道路AB, AP,现计

11、划在 AP上选择一点新建道路 BC,并把 ABC所在的区域改造成绿化区域.已知/2 km .(1)若绿化区域 ABC的面积为1 km2,求道路 BC的长度；(2)若绿化区域 ABC改造成本为10万元/km2,新建道路 BC成本为10万元/km. 设/ ABC= 0(0 0当。为何值时，该计划所需总费用最小？)3 )解：(1)在4ABC 中，已知/ BAC - AB=2 km,1=6兀.ABC 的面积 S -XABXACXSin- 1,解得 AC =2.2 分26在 ABC中，由余弦定理得 BC2 = AB2 + AC2-2依B XAC XCog=22+222X2X2 XCoL 8_4 34 分

12、6=，BC= ,8 雪飞=心、?(km) .5 分(2)由/ ABC=a则/ ACB=兀一(。工 02X2X10 +10(sin。+ 1)sin1M0 =兀sin( 0+ 6)sin( 0十 一3)兀sin( 0+ 6) 1(03 ).10分，1sin 0+ 2cos 92(2 sin 0+ 2cos 911分当筱(0r,兀当长一一、时，f(0)0, f(9)单调递增.f(单调递减;12分(6当0工=时，该计划所需费用最小.614分答：当。工=6时，该计划所需总费用最小18.(本小题满分16分)x2 y2y2椭圆C： a2+ b2= 1(ab0)中心在原点，焦点在 x轴上，焦距为2,且与椭圆x

13、2+2 =1 有相同离心率，直线l:y=kx+m与椭圆C交于不同的 A, B两点.(1)求椭圆C的方程； (2)若在椭圆C上存在点 Q,满足OA+OB=入OQ( O为坐标原点)，求实数 入取值范围. TOC o 1-5 h z 2c= 2a= 2解：(1)由已知可C 等解彳导c 1b=1.=- = a 2x2所求椭圆C的方程2 + y2=1. . 4分y= kx+ m(2)由 *+ 2y2=2，得(1+2k2)x2+4kmx+ 2m2-2=0,16k2m2 4(1 + 2k2)(2m2 2) = 8(1 + 2k2- m2).由直线直线l与椭圆C交于不同的A, B两点，有4 0,1 + 2k2

14、 m2. 6分4 kmx1 + x2= 1 + 2k2设点 A(x1, y1), B(x2, y2),则2m2-2x1x2= 1 + 2k22m于是 y1 + y2= k(x+x2) +2m= 1 + 2k2.当m=0时，易知点A, B关于原点对称，则 L 0；当mw0时，易知点A, B不关于原点对称，则 壮0. TOC o 1-5 h z 1 4kmxQ= 乂x1 + x2)xQ = *1 + 2k2)由 OA+OB=入 OQ 得即 12m. 10 分vq= Xy1 + y2)yQ= 41 + 2*) 4km2 m Q 点在椭圆上，入(12k2)2+2入(12k2)2=2化简得 4m2(1

15、+ 2k2)= ?2(1 + 2k2)2. 1 + 2k2w0, . 4m2= (1+2k2). 14 分由，两式可得？24,，一 2VK 2且 计0.综上可得实数 入的取值范围是一 2V K 2. 16分19.(本小题满分 16分)ex-(x+1)b设函数 f(x)=2, b e r .(1)当b=0时，求曲线 y=f(x)在x=2处的切线方程；(2)若x=2是函数f(x)的极值点，求 b的值；(3)当bC0, 1), xC(0, 2时，记函数 y=f(x)的最小值为 h(b),求h(b)的最大值. exex(x2)解：当 b = 0 时，f(x)=, f(x) = TOC o 1-5 h

16、z f(2) e f=0,故所求切线方箱为y e 2分4 ；(2)f (x) e(x-2) + b(x+ 2)一3,x若x= 2是函数f(x)的极小值点，则f (2)=0,解得b= 0.ex(x-2)此时，f(x)=3 一x当0vxv2时，f (x)2时，f (x)0,从而f(x)单调增.因此，x= 2是函数f(x)的极值点，b=0.ex(x-2)+b(x+2) x+2 ex(x-2)由(2)知 f (x) =ex(x-2)令 g(x) = x+ 2 + b,x3+ b).x3 ( x+ 2ex x2从而g(x)单调增，又0 x0， (x )bC0, 1),且 g(0)=1 + bv 0, g

17、(2)=b0,且g(x)图象不间断，存在唯一的xoC(0, 2,使得2g(x0)=0. 若b=0,则由(2)知f(x)单调减，故h(b) = f(2) e TOC o 1-5 h z 若b0,则RC (0, 2),此时4当 0vxv x0 时，g(x)v0,即 f (x)V0,从而 f(x)单调减；当 x0 xv2 时，g(x)0,即 f(x)0,从而 f(x)单调增.ex0 (x0+ 1)b因此，当x=x0时，f(x)有极小值亦最小值f(x0) =2.x0e(x02)e*。又 g(x0)=0,即 x +2 = b,代入 f(x0),整理得 f(x0)=, 0V x00,从而 k(x)单调增，

18、因此 f(x0)vf(2)= 一x+ 2(x+2)24e综上，当 b= 0 时，f(x)e2h(b) 16 分min有最大值即有最大值.4420.(本小题满分 16分)已知等差数列an的首项为1,公差为d,数列bn的前n项和为Sn,且对任意的nCN*, 6Sn= 9 bn an 2 恒成立.(1)如果数列Sn是等差数列，证明数列bn也是等差数列；(2)如果数列bn+1为等比数列，求 d的值;2(3)如果d=3,数列cn的首项为1, cn= bn-bn 1(n2),证明数列an中存在无穷多项 可表示为数列 Cn中的两项之和.解：(1)设数列Sn的公差为d,由6Sn=9bnan2,6Sn 1=9bn 1-an 1-2(n2),一得 6(Sn- Sn 1) = 9( bn - bn 1) 一 (an 一 an 1), 6d + dn 1=为常数,9n n-1即 6d=9(b b )d, . b bbn为等差数列.(2)由得 6bn=9bn-9bn 1-d,即 3bn=9bn 1 + d,bn+1 3bn-1+,+1 3(bni + ,)+d 1 23 223 =