微观粒子的运动

1、 第五章 原子结构和元素周期律 100 年前的今天，正是人类揭开原子结构秘密的非常时期。 我们共同来回顾 19 世纪末到 20 世纪初，科学发展史上的一系列重大的事件。 1 1896 年 法国人贝克勒（Becquerel） 发现铀的放射性 1879 年 英国人克鲁科斯（Crookes） 发现阴极射线2 1898 年 波兰人玛丽 居里（Marie Curie） 发现钋和镭的放射性 1897 年 英国人汤姆生（Thomson） 测定电子的荷质比，发现电子3 1904 年 英国人汤姆生（Thomson） 提出正电荷均匀分布的原子模型 1900 年 德国人普朗克（Planck） 提出量子论4 1909

2、 年 美国人密立根（Millikan） 用油滴实验测电子的电量 1905 年 瑞士人爱因斯坦（Einstein） 提出光子论，解释光电效应 5 1911 年 英国人卢瑟福（Rutherford） 进行 粒子散射实验， 提出原子的有核模型6 1913 年 丹麦人玻尔（Bohr） 提出玻尔理论， 解释氢原子光谱7 5. 1 微观粒子运动的特殊性 5. 1. 1 波粒二象性 1924 年，法国年轻的物理学家 德 布罗意（de Broglie） 指出：8 对于光的本质的研究，人们长期以来注重其波动性而忽略其粒子性； 与其相反，对于实物粒子的研究中，人们过分重视其粒子性而忽略了其波动性。9 德 布罗意从

3、爱因斯坦的质能联系公式 E = mc2和光子的能量公式 E = h 的联立出发，进行推理：10 因为 mc2 = h 所以所以11 用 p 表示动量，则 p = mc，故有公式12 式子的左侧动量 p 是表示粒子性的物理量，而右侧波长 是表示波动性的物理量。 二者通过公式联系起来。 13 德 布罗意认为具有动量 p 的微观粒子，其物质波的波长为 ，14 1927 年，德 布罗意的预言被电子衍射实验所证实，这种物质波称为德 布罗意波。 15感光屏幕薄晶体片电子枪衍射环纹电子束16 用电子枪发射高速电子通过薄晶体片射击感光荧屏，得到明暗相间的环纹，类似于光波的衍射环纹。感光屏幕薄晶体片衍射环纹电子

4、枪电子束17 研究微观粒子的运动，不能忽略其波动性。 微观粒子具有波粒二象性。18 5. 1. 2 不确定原理 用牛顿力学研究质点运动时，由 F = m a 可以求出加速度 a。 由公式可以同时测得某一时刻 t 时，质点的位置，速度和动量。 19p = m20 1927 年，德国人海森堡（Heisenberg）提出了不确定原理。 该原理指出对于具有波粒二象性的微观粒子，不能同时测准其位置和动量。 21 用 x 表示位置的不确定范围， p 表示动量的不确定范围，有 用 表示速度的不确定范围，用 m 表示微观粒子的质量，则有 22 式中，h 为普朗克常数， 这两个式子表示了海森堡不确定原理。 h

5、6.626 1034 Js 和23 例 5. 1 核外运动的电子，其质量 m = 9.11 1031 kg，位置的不确定范围 x = 1012 m。求速度的不确定范围 。24 解：由，得所以25 原子半径一般以 为单位，即其数量级为 1010 米。 这种精确程度并不能令人满意。 因此，表示原子内部的电子的位置，粗略地看应该有 x = 1012 米。26 速度的不确定范围 已经达到了光速的量级，根本无法接受。 何况这还是在 x 并不令人满意的基础上计算出来的。27 例 5. 1 说明了的确不能同时测准微观粒子的位置和动量。 因为所以28 问题的关键就在于电子的质量非常小，m = 9.111031

6、 kg 的数量级约为 104 m2s1， 这在微观世界是很大的数字。 h 6.626 1034 Js 29 对于质量较大的宏观物体，不确定原理没有实际意义。 例如 子弹， m = 10 g， 的数量级为 1032 m2s1 h 6.626 1034 Js 30 可见，位置和动量的准确程度都将令人十分满意。 x / m 106 109 1012 / ms1 1026 1023 1020 看其 x 和 的大小31 5. 1. 3 微观粒子运动的统计规律 从电子枪中射出的电子，打击到屏上，无法预测其击中的位置，而是忽上忽下，忽左忽右，似乎毫无规律。 这时体现出的只是它的粒子性，体现不出它的波动性。

7、32 时间长了，从电子枪中射出的电子多了，屏幕上显出明暗相间的环纹，这是大量的单个电子的粒子性的统计结果。33 这种环纹与光波衍射的环纹一样，它体现了电子的波动性。 所以说波动性是粒子性的统计结果。34 这种统计的结果表明，虽然不能同时测准单个电子的位置和速度，但是电子在哪个区域内出现的机会多，在哪个区域内出现的机会少，却是有一定的规律的。35 从电子衍射的明暗相间的环纹看，明纹就是电子出现机会多的区域，而暗纹就是电子出现机会少的区域。 所以说电子的运动可以用统计性的规律去研究。36 对微观粒子运动的特殊性的研究表明，具有波粒二象性的微观粒子的运动，遵循不确定原理，不能用牛顿力学去研究，而应该

8、去研究微观粒子（电子）运动的统计性规律。37 要研究电子出现的空间区域，则要去寻找一个函数，用该函数的图象与这个空间区域建立联系。 这种函数就是微观粒子运动的波函数。38 5. 2 核外电子运动状态的描述 波函数 的几何图象可以用来表示微观粒子活动的区域。39 1926 年，奥地利物理学家薛定谔 （Schdinger）提出一个方程，被命名为薛定谔方程。 波函数 就是通过解薛定谔方程得到的。40 5. 2. 1 薛定谔方程 这是一个二阶偏微分方程（1）41 式中 波函数， E 能量 V 势能， m 微粒的质量 圆周率 ， h 普朗克常数 42偏微分符号 二阶偏微分符号43 解二阶偏微分方程将会得

9、到一个什么结果？ 解代数方程，其解是一个数： x + 3 = 5 解得 x = 244 确切说应为一组函数 f ( x ) = x2 + C C 为常数。 解常微分方程，结果是一组单变量函数； 解常微分方程 f ( x ) = 2 x 则 f ( x ) = x2 45 偏微分方程的解则是一组多变量函数。如 F ( x，y，z ) 等 波函数 就是一系列多变量函数，经常是三个变量的函数。46 我们解薛定谔方程去求电子运动的波函数，什么是已知？47 已知条件是电子质量 m 和处于核外的电子的势能 V 。 在解得波函数 的同时，将得到电子的能量 E。48 薛定谔方程中，波函数 对自变量 x，y，z

10、 偏微分，故解得的波函数 将是关于 x，y，z 的多变量函数。49 波函数 的图象将和三维直角坐标系中的某些区域相关联。50 将核外电子的势能 代入薛定谔方程。51 e 是元电荷（电子的电量）， Z 是原子序数， r 是电子与核的距离，r = 核外电子的势能52 代入后在方程的势能项中出现 r，即同时出现三个变量 x，y，z 。 且是在分母中以根式形式出现 这将给解方程带来极大的困难。53 中学阶段在解二元二次方程组时，若不缺二次项 xy，则极难处理，这里的情况与此有些相似。 54 我们采取坐标变换的方法来解决（或者说简化）这一问题。 将直角坐标三变量 x，y，z 变换成球坐标三变量 r， 。

11、 将三维直角坐标系变换成球坐标系。55yzxOPPrP 为空间一点 r OP 的长度 （ 0 ）56 OP 与 z 轴的夹角 （ 0 ）yzxOPPr57 OP与 x 轴的夹角 （0 2）OP为 OP 在 xoy 平面内的投影yzxOPPr58yzxOPPr 根据 r， 的定义，有 x = r sin cos59yzxOPPr y = r sin sin60yzxOPPr z = r cos61 x = r sin cos y = r sin sin z = r cos r2 = x2 + y2 + z2 将以上关系代入薛定谔方程（1）中，（1）62 式（2）即为薛定谔方程在球坐标下的形式。

12、经过整理， 得到：63 经过坐标变换，三个变量 r， 不再同时出现在势能项中。64 如果我们把坐标变换作为解薛定谔方程的第一步，那么变量分离则是第二步。 解薛定谔方程（2）得到的波函数应是 （ r， ）。 65 变量分离就是把三个变量的偏微分方程，分解成三个常微分方程，三者各有一个变量，分别是 r， 。66 分别解这三个常微分方程，得到关于 r， 的三个单变量函数 R（r） ，（ ）和 （ ） 而 则可以表示为 （r， ）= R（r）（）（ ） 67 其中 R （r）只和 r 有关，即只和电子与核间的距离有关，为波函数的径向部分； （ ） 只和变量 有关， （ ） 只和变量 有关。68 令 Y

13、（， ）= （ ）（ ） Y（， ）只和 ， 有关，称为波函数的角度部分。 故波函数 有如下表示式 （ r， ） = R（r） Y（，） 69 在解常微分方程求 （ ）时，要引入一个参数 m，且只有当 m 的值满足某些要求时， （ ）才是合理的解。 70 在解常微分方程求 （ ）时，要引入一个参数 l， 且只有当 l 的值满足某些要求时，（ ）才是合理的解。 71 在解常微分方程求 R ( r ) 时，要引入一个参数 n，且只有当 n 的值满足某些要求时，R ( r ) 才是合理的解。 72 最终得到的波函数是一系列三变量、三参数的函数 73 波函数 最简单的几个例子74 由薛定谔方程解出来的描述电子运动状态的波函数，在量子力学上叫做原子轨道。 有时波函数要经过线性组合，才能得到有实际意义的原子轨道。75 原子轨道可以表示核外电子的运动状态。 它与经典的轨道意义不同，是一种轨道函数，有时称轨函。76 解