乘法公式培优辅导讲义

1、乘法公式培优训练题型一： a型已知x2 3x+1=0 ，则=12若 a2+=14 ，则 a+5 的值为3已知 a+=7，则 a3 +的值是4已知=3，则=5（ 1）猜想：试猜想a2+b2 与 2ab 的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x，求 x2+的值；3）拓展：代数式x2+ 是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值题型二：换元，整体思想1已知 a+b=4 ，则=2已知（ 2017 a）2+（2016 a）2 =1，则（ 2017 a）（ 2016 a）=22223已知（2017A）（2015A）=2016，则（2017A）+（2015A） 的值为4计算（ 1 ）

2、（ +）（ 1）（ +）的结果是5计算（ a1+a2+, +a n 1）（ a2+a 3+,+a n 1 +an）（ a2+a3 +, +an 1 ）（a1 +a2+,+an ）题型三、添与凑1对于算式 2（ 3+1 ）（ 32 +1）（ 34+1）（ 38+1）（ 316 +1）（ 332+1）+11）计算出算式的结果；2）结果的个位数字是几？2化简： 6（7+1）（ 72+1）（ 74+1）（ 78+1）（716+1） +1=第1页（共 23 页）3计算下列各式：（1）1=；（2）（ 1）（ 1）=；（3）（ 1）（1）（ 1）=；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1 ）（

3、1 ）（1 ）, （ 1 ）（ 1）,（ 1 ）4（ 1）计算：（a1）（ a+1 ）=；（a1）（ a2+a+1 ） =；（a1）（ a3+a2+a+1 ）=；（ 2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a1）（ a2017 +a 2016 +a2015 +a 2014 +,+a2+a+1 ）=；（ 3）利用上面的结论，求下列各式的值22017 +22016 +22015 +22014 +,+22+2+1 52017 +52016 +52015 +52014 +, +5 2 +5+1 题型四、化简求值1已知代数式（x2y ） 2（ x y）（ x+y ）2y2 （1）当 x=1 ， y=3 时

4、，求代数式的值；（2）当 4x=3y ，求代数式的值3已知 a2+2a 2=0 ，求代数式（ 3a+2 ）（ 3a 2） 2a（4a1）的值第2页（共 23 页）3（ 1）已知 a2 +b2=3，ab=1 ，求（ 2a）（ 2b）的值（2）设 b=ma （a0），是否存在实数 m，使得（ 2a b） 2 （ a 2b ）（ a+2b ）+4a （a+b ）能化简为 12a 2？若能，请求出满足条件的m 值；若不能，请说明理由4计算：（ 1）（ 48a 6b5 c）（ 24ab 4）（ ?a5 b2 ）；2）已知 xm =3，xn=2，求 x 2m3n 的值；3）已知 6x=5y ，求代数式（

5、x 3y）2 （ xy）（ x+y） 5y2 的值题型五、综合运用221如果等式 x +3x+2=（ x 1）+B（x1）+C 恒成立，其中B，C 为常数，B+C=2已知长方形的周长为16cm ，它两邻边长分别为xcm ，ycm ，且满足（ xy）22x+2y+1=0 ，求其面积3两个不相等的实数a，b 满足 a2+b2=51）若 ab=2 ，求 a+b 的值；2）若 a2 2a=m ，b2 2b=m ，求 a+b 和 m 的值4已知 |x y+1| 与 x2 +8x+16 互为相反数，求 x2+2xy+y 2 的值第3页（共 23 页）5将 4 个数 a b c d 排成两行，两列，两边各加

6、一条竖直线记成，定义=ad bc 上述记号叫做2 阶行列式，若=8求 x 的值6把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子（ 1）图 1 是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c 的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积， 你发现了什么结论？请写出来2）图 2 是将两个边长分别为 a 和 b 的正方形拼在一起， B、C、G 三点在同一直线上，连结 BD 、BF，若两正方形的边长满足 a+b=10 ，ab=20 ，试求阴影部分的面积7图 1 是一个长为 2m ，宽为 2n的长方形纸片（其中m n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的

7、小长方形，然后拼成如图2 所示的大正方形（ 1）请用两种不同方法表示图2 中阴影部分的面积：；（ 2）写出关于（ m+n ）2，（ m n） 2，mn 的一个等式（ 3）若 m+n=10 ，mn=20 ，求图 2 中阴影部分的面积8从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1 ），然后将剩余部分第4页（共 23 页）拼成一个长方形（如图2）（ 1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）Aa22ab+b 2 =（ a b） 2Ba2b2=（a+b ）（ ab）Ca2+ab=a （a+b ）2）若 x2 9y2=12 ，x+3y=4 ，求 x3y 的值；（3）计算：（ 1）（ 1）

8、（ 1）, （1）（ 1）9有一系列等式：222123 4+1=5=2 （12+3 1+1 ）2234 5+1=11=2（22+3 2+1）2345 6+1=19=2（23+3 3+1）2456 7+1=29=（4+3 4+1）,（ 1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出891011+1 的结果（ 2）试猜想 n（ n+1 ）（ n+2 ）（ n+3）+1 是哪一个数的平方，并予以证明10（ 1）已知 a+b=3 ，ab= 2，求代数式（ ab） 2 的值2）已知 a、b 满足（ 2a+2b+3 ）（ 2a+2b 3） =55 ，求 a+b 的值11如图，长方形的两边长分别为m+1 ， m+

9、7 ；如图，长方形的两边长分别第5页（共 23 页）为 m+2 ，m+4 （其中 m 为正整数）（ 1）图中长方形的面积S1 =；图中长方形的面积S2=比较： S1S2（填“”、“ =”或“”）（ 2）现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等，则求正方形的边长（用含 m 的代数式表示）；试探究： 该正方形面积S 与图中长方形面积S 1 的差（即 S S1）是一个常数，求出这个常数（ 3）在（ 1）的条件下，若某个图形的面积介于 S1 、S2 之间（不包括 S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有 10 个，求 m 的值12先阅读下面的内容，再解决问题，22例题：若 m+2mn+2n

10、6n+9=0 ，求 m 和 n 的值22解： m+2mn+2n 6n+9=0222m+2mn+n+n 6n+9=022（ m+n ） +（n3） =0m+n=0 ，n3=0m= 3，n=3问题（ 1）若 x2 +2y 22xy+4y+4=0 ，求 xy 的值（ 2）已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，满足a2+b2=10a+8b 41，且 c 是 ABC 中最长的边，求c 的取值范围26已知 x、 y 互为相反数，且（x+3 ） 2（ y+3 ） 2=6，求 x、y 的值第6页（共 23 页）第7页（共 23 页）2017 年 12 月 02 乘法公式培优训练参考答案与试题解析一选择题（共

11、11 小题）1已知 x2 3x+1=0 ，则= 7 【解答】解：x2 3x+1=0 ，x+ =3 ，（ x+ ） 2=x2+2=9，x2+ =7 故答案为： 72化简： 6（7+1 ）（ 72+1）（ 74+1）（ 78+1）（ 716+1 ） +1=732 【解答】解：原式=（ 7 1）（ 7+1）（ 72+1）（ 74 +1 ）（ 78+1）716 +1）+1 = （721）（ 72+1）（ 74+1）（78+1）（ 716 +1）+144816=（7 1）（7 +1）（7 +1）（ 7 +1 ） +1=（7161）（ 716+1）+1=732 1+1=732故答案为： 732223已知（

12、 2017 a） +（2016 a） =1 ，则（ 2017 a）（ 2016 a）= 022【解答】解：（2017 a） +（2016 a） =1， （ 2017 a）（ 2016 a） 2+2（ 2017 a）（ 2016 a）=1，即 1+2 （2017 a）（ 2016 a） =1，2（ 2017 a）（ 2016 a）=0 ，（ 2017 a）（ 2016 a）=0，第8页（共 23 页）故答案为： 04若 a2+=14 ，则 a+5 的值为1 或 9 【解答】解： a2+=14 ，a2+2+ =14+2 ，即=16 ，a+ = 4，a+ 5=1 或 9，故答案为： 1 或 95已知

13、 a+b=4 ，则= 8 【解答】解：（a2+2ab+b 2）（a+b ） 242=8故答案是： 86已知 =3，则=119 【解答】解：，=119 ，故答案为： 119 7已知（ 2017 A）2（ 2015 A）2 =2016 ，则（ 2017 A）2+（2015 A）2 的值为4+24第9页（共 23 页）【解答】解：设x=2017 A，y=2015 A，x2y2 =2016 ，xy=12 ，x y=2x2+y2=（xy）2+2xy=424x2+y2 0， x2+y2=4+2422（ 2017 A） +（2015 A） =4+248已知 a+ =7，则 a3 +的值是 322 【解答】解

14、：a+ =7 ，（ a+ ） 2=49 ，a2+ +2=49 ，a2+ =47 ，a3+ = （a+ ）（ a2 1+ ）=746=322 故答案为： 322 9如果等式x2+3x+2= （x 1） 2+B （x1）+C 恒成立，其中B， C 为常数， B+C=222【解答】解：x +3x+2= （ x 1） +B （ x 1） +C=x+ （B2）x+1+C 恒成立，B 2=3 ，1+C=2 ，B=5 ，C=6 ，故 B+C=11 第 10 页（共 23 页）故答案为： 1110计算（ 1）（ +）（ 1）（ +）的结果是【解答】解：（1）（+）（1）（+）=（1）（+）+（1）（1 ）（+

15、）（）（+）=（1）+（+）=（1+）故答案为： 11计算（ a1 +a 2+, +an 1）（ a2+a3+,+an 1 +an）（ a2 +a3 +, +a n 1 ）（ a1+a2+,+a n ）=a1 an【解答】解：设x=a 1+a2 +,+an ， y=a2 +a3 +, +a n 1，则原式 =（xan）（ y+an） yx2=xy+xa n an yan xy=an （xy） an 2=an （a1+a2+, +an）（ a2+a3 +, +an 1 ） an 2=an （a1+an）an 2=a1 an，故答案为： a1an 二选择题（共16 小题）12已知长方形的周长为16

16、cm ，它两邻边长分别为xcm ， ycm，且满足（ x y） 22x+2y+1=0 ，求其面积【解答】解：由题意得：2（ x+y ）=16 ，解得： x+y=8 ；第 11 页（共 23 页）（ x y） 2 2x+2y+1= （ xy） 2 2（ x y ） +1= （x y 1） 2=0，x y=1 联立成方程组，解得：，2长方形面积S=xy=cm2答：长方形的面积为cm 13两个不相等的实数a， b 满足 a2 +b 2=5 1）若 ab=2 ，求 a+b 的值；2）若 a2 2a=m ，b2 2b=m ，求 a+b 和 m 的值【解答】解：（ 1） a2+b 2 =5，ab=2 ，（

17、 a+b ）2=a2+2ab+b 2=5+2 2=9 ，a+b= 3；2） a22a=m ，b22b=m ，a22a=b 22b ，a22a+b 22b=2m ，a2b22（ab）=0，（ ab）（ a+b 2） =0，a b，a+b 2=0 ，a+b=2 ，a22a+b 22b=2m ，a2+b2 2（ a+b ）=2m ，2a +b =5 ，5 2 2=2m ，解得： m= ，第 12 页（共 23 页）即 a+b=2 ， m= 14已知 |x y+1| 与 x2+8x+16 互为相反数，求x2+2xy+y 2 的值【解答】解：|x y+1| 与 x2+8x+16 互为相反数，|x y+1

18、| 与（ x+4 ） 2 互为相反数，即 |x y+1|+ （x+4）2=0，x y+1=0 ，x+4=0 ，解得 x=4，y=3当 x= 4， y= 3 时，原式 =（ 4 3） 2=49 15将 4 个数 a b c d 排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=adbc上述记号叫做2 阶行列式，若=8求 x 的值【解答】解：根据题意化简=8，得：（ x+1 ）2（ 1 x） 2=8，整理得： x2+2x+1 （ 12x+x 2） 8=0 ，即 4x=8 ，解得： x=2 16把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子（ 1）图 1 是由几个面积不等的

19、小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c 的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来（ 2）图 2 是将两个边长分别为a 和 b 的正方形拼在一起，B、C、G 三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10 ，ab=20 ，试求阴影部分的面积第 13 页（共 23 页）【解答】解：（ 1）（ a+b+c ）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac2） a+b=10 ，ab=20 ，2222222 S 阴影 =a +b （a+b）?b a =a + b ab= （a+b ） ab= 1020=50 30=20 17图 1 是一个长为 2m

20、 ，宽为 2n的长方形纸片（其中m n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2 所示的大正方形2（ 1）请用两种不同方法表示图 2中阴影部分的面积： （ m n） ；（m+n）24mn 2）写出关于（ m+n）2 ，（mn）2 ，mn 的一个等式 （m+n）2=（mn）2+4mn 3）若 m+n=10 ，mn=20 ，求图 2 中阴影部分的面积【解答】解：（ 1）图 2 中阴影部分的面积：（ mn） 2；（ m+n ）2 4mn ；故答案为：（ m n）2；（ m+n ）2 4mn ；（ 2）关于（ m+n ）2，（ mn） 2， mn 的一个等式：（m+n ）2=（

21、mn）2+4mn ；故答案为：（m+n ）2=（mn）2+4mn ；（ 3） m+n=10 ，mn=20 ，第 14 页（共 23 页）22图 2 中阴影部分的面积为：（m+n ） 4mn=10 420=20 18对于算式 2（3+1）（ 32+1）（ 34+1）（ 38+1）（ 316+1）（ 332+1）+11）计算出算式的结果；2）结果的个位数字是几？【解答】解：（ 1）原式 =（ 3 1）（ 3+1 ）（ 32+1）（ 34+1）（ 38 +1）316+1）（ 332+1）+122481632=（3 1）（ 3 +1）（ 3+1 ）（ 3+1 ）（ 3+1）（ 3 +1 ）+14481

22、632=（3 1）（ 3 +1）（ 3+1 ）（ 3+1 ）（ 3+1）+13232=（31）（ 3 +1 ）+164=3 ； 31=3， 32 =9 ，33=27，34=813 5=243 ，36=729 ，,每 3 个数一循环，643=21, 1 ， 364 的个位数字是319计算下列各式：（1）1=；（2）（ 1）（1 ）=；（3）（ 1）（1 ）（1 ） =；（ 4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1 ）（ 1 ）（1 ）, （ 1 ）（ 1）,（ 1 ）【解答】解：（ 1）1=；（2）（ 1）（1）=；第 15 页（共 23 页）3）原式 = ；故答案为；（4）原式=?,?

23、=20从边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）（ 1）上述操作能验证的等式是B（请选择正确的一个）Aa2 2ab+b 2=（ab）2Ba2 b2 =（ a+b ）（ ab）Ca2+ab=a （a+b ）2）若 x2 9y2=12 ，x+3y=4 ，求 x3y 的值；（3）计算：（ 1）（ 1）（ 1）, （1）（ 1）2 2 【解答】解：（ 1）根据阴影部分面积相等可得： a b =（ a+b ）（ a b），上述操作能验证的等式是B，2） x29y2 =12 ，x2 9y2 =（ x+3y ）（ x3y）=12 ， x+3y=4 ，x

24、3y=3 ；（3）原式第 16 页（共 23 页）=21有一系列等式：1234+1=5 2=（ 12 +31+1） 22345+1=11 2=（22+32+1）23456+1=19 2=（32+33+1）24567+1=29 2=（42+34+1）2,（ 1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出891011+1 的结果89 2（ 2）试猜想 n（ n+1 ）（ n+2 ）（ n+3）+1 是哪一个数的平方，并予以证明【解答】解：（ 1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8910 11+1= （ 82+38+1）2=89 2 ；故答案为： 892；2）依此类推： n（n+1 ）（ n+2 ）（ n

25、+3 ）+1= （ n2+3n+1 ）2，理 由 如 下 ： 等 式 左 边 = （ n2 +3n ） （ n2+3n+2 ） +1=n 4+6n3 +9n 2+2n 2+6n+1=n 4+6n 3+11n 2+6n+1 ，等 式 右 边 = （ n2+3n+1 ） 2= （ n2+1 ） 2+2 ? 3n ? （ n2+1 ）+9n 2=n4+2n 2+1+6n 3+6n+9n 2=n4+6n 3+11n 2+6n+1 ，左边 =右边22（ 1）已知 a+b=3 ，ab= 2，求代数式（ ab） 2 的值2）已知 a、b 满足（ 2a+2b+3 ）（ 2a+2b 3） =55 ，求 a+b

26、的值【解答】解：（ 1） a+b=3 ， ab= 2，（ ab）2=（a+b ）2 4ab=3 24（ 2） =17 ；第 17 页（共 23 页）2）（ 2a+2b+3 ）（ 2a+2b 3）=55 ，4（a+b ） 29=55 ，a+b ）2=16 ，a+b=423如图，长方形的两边长分别为为 m+2 ，m+4 （其中 m 为正整数）m+1 ， m+7 ；如图，长方形的两边长分别1222（ 1）图中长方形的面积 S =m+8m+7 ；图中长方形的面积S =m+6m+8比较： S1S2（填“”、“ =”或“”）2）现有一正方形，其周长与图中的长方形周长相等，则求正方形的边长（用含 m 的代数

27、式表示）；试探究： 该正方形面积 S 与图中长方形面积 S1 的差（即 SS1 ）是一个常数，求出这个常数（ 3）在（ 1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2 之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10 个，求 m 的值2【解答】解：（ 1）图中长方形的面积S1=（m+7）（m+1）=m+8m+7，图中长方形的面积22S = （m+4 ）（ m+2 ） =m+6m+8 ，比较： S1S2 =2m 1，m 为正整数， m 最小为 1，2m 11 0，S1S2；2） 2（m+7+m+1 ） 4=m+4 ；22S S1=（ m+4 ） （ m+8m+7 ）=9 定值；（

28、3）由（ 1）得， S1 S2=2m 1，当 102m 111 时，第 18 页（共 23 页） m 6，m 为正整 数， 2m 1=11 ，m=6 22故答案为： m+8m+7 ，m+6m+8 ，24（ 1）计算：a 1）（ a+1 ） = a 2 1 ；a 1）（ a2+a+1 ）= a 31 ；a 1）（ a3+a2 +a+1 ） = a 41 ；2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（ a 1）（ a2017 +a2016 +a2015 +a2014 +, +a 2+a+1 ） = a 2018 1 ；（ 3）利用上面的结论，求下列各式的值 22017 +22016 +22015 +2

29、2014 +, +2 2 +2+1 52017 +5 2016 +5 2015 +5 2014 +, +5 2+5+1 【解答】解：（ 1）（ a1）（ a+1）=a 21；a 1）（ a2+a+1 ）=a3 1；a 1）（ a3+a2 +a+1 ） =a 4 1；故答案为： a21；a31；a4 1；2）由上面的规律我们可以猜想，得到：a 1）（ a2017 +a2016 +a2015 +a2014 +, +a 2+a+1 ） =a 2018 1；故答案为： a2018 1；3）理利用上面的结论，求下列各式的值22017 +2 2016 +2 2015 +2 2014 +, +2 2+2+1

30、= （2 1）（ 22017 +2 2016 +2 2015 +2 2014 +, +2 2 +2+1 ）=2 20181； 52017 +5 2016 +5 2015 +5 2014 +, +5 2+5+1= （51）（ 52017 +5 2016 +5 2015 +5 2014 +,+5 2+5+1 ）=（ 52018 1）25先阅读下面的内容，再解决问题，第 19 页（共 23 页）22例题：若 m+2mn+2n 6n+9=0 ，求 m 和 n 的值22解： m+2mn+2n 6n+9=0222m+2mn+n+n 6n+9=022（ m+n ） +（n3） =0m+n=0 ，n3=0m=

31、 3，n=3问题（ 1）若 x2 +2y 22xy+4y+4=0 ，求 xy 的值（ 2）已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，满足a2+b2=10a+8b 41，且 c 是 ABC 中最长的边，求c 的取值范围【解答】解：（ 1）x2+2y2 2xy+4y+4=x22xy+y 2+y2+4y+4=（xy）2+（y+2） 2=0，x y=0 ，y+2=0 ，解得 x=2，y=2，xy=（ 2）2 = ；2） a2+b2 =10a+8b 41，a210a+25+b 2 8b+16=0 ，即（ a5）2+（b4）2=0 ，a5=0 ， b 4=0 ，解得 a=5 ， b=4 ，c 是 ABC 中

32、最长的边， 5 c 92226已知 x、 y 互为相反数，且（x+3 ） （ y+3 ） =6 ，求 x、y 的值y=x，（ x+3 ）2（ y+3 ）2 ，第 20 页（共 23 页）22=（x+3） （ x+3 ） ，22=x +6x+9 x +6x 9，=6，即 12x=6 ，解得 x= ，y=x= 故答案为： x、 y 的值分别是，27（ 1）猜想：试猜想a2 +b 2 与 2ab 的大小关系，并说明理由；（ 2）应用：已知x，求 x2 +的值；3）拓展：代数式 x2+ 是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值【解答】解：（ 1）猜想 a2 +b2 2ab ，理由为：a2+b2 2ab= （ a b）