2.1随机变量及其分布

1、第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布函数2.2 离散型随机变量及其分布2.3 连续型随机变量及其分布2.4 随机变量函数的分布我们观察一个随机现象，其样本空间的样本点可以是数量性质的，也可以是非数量性质的，概率论是从数量的角度来研究随机现象的统计规律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、处理和解决各种与随机现象有关的理论和应用问题为此，需要将样本空间的样本点与实数联系起来，建立样本空间与实数空间或某一部分的对应关系，这就是随机变量第二章 随机变量及其分布抛一枚硬币，考察正、反面出现的情况，则 这样就把原来有具体含意的样本空间化为直线上的抽象点集如果令则在上述映射下，新的“样

2、本空间”为引例1，而样本点对应关系为第一节 随机变量及其分布函数抛掷骰子,观察出现的点数.=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量恒等变换且有则有引例2第一节 随机变量及其分布函数 【引例3】设随机试验E：测试灯泡寿命(小时). 样本空间为=t|t0，现在我们将试验的灯泡寿命，记为X,令则X是定义在样本空间为 =t|t0上的函数，其值域为 | 且取值具有随机性. “灯炮寿命在10002500小时”的事件可表示为 上面例子中,我们是在随机试验样本空间上定义了实值函数X,显然它取值具有随机性,故称它们为随机变量.定义2.1 设随机试验的样本空间为 = ，X=X()是定义在样本空间上的实值单值函数

3、，称X = X()为随机变量 随机变量所取的值一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母,等表示一、 随机变量的概念 X()R例： 在有两个孩子的家庭中,考虑其性别 , 共有 4 个样本点:若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有可得随机变量 X(e),一、 随机变量的概念注意 普通函数的定义域是实数集,而随机变量的定义域是样本空间(样本点不一定为实数); 随机变量与普通函数的区别: 普通函数随自变量变化所取的函数值无概率可言,而随机变量随样本点变化所取的函数值是具有一定概率的;此外,因试验的随机性使得随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取值范围,但在一

4、次试验前无法确定它取何值. 一、 随机变量的概念 例如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量. 收到不少于1次呼叫 X 1 没有收到呼叫 X= 0 再例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高. 把身高看作随机变量X, 可以提出关于X的各种问题. 如 PX1.7=？ PX1.5=? P1.5X1.7=? .一、 随机变量的概念 利用随机变量可以描述随机事件: 随机事件是从静态的角度研究随机现象，而随机变 量是从动态的角度研究随机现象。一、 随机变量的概念 随机变量的引入使得利用数学方法研究随机现象成 为可能，是实现随机现象“数量化”的重要工具。因此， 随机变量的研究是

5、概率论的中心内容。事件及事件概率随机变量及其取值规律实例1 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则是一个随机变量.实例2 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次, 则是一个随机变量.且 X() 的所有可能取值为:且 X() 的所有可能取值为:练习实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则 是一个随机变量.且 X() 的所有可能取值为:练习实例4 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, X() 的所有可能取值为:练习随机变量的分类离散型(1)离散型 随机变量所取的可能值是有

6、限多个或无限可列个, 叫做离散型随机变量.随机变量 X为掷一个骰子出现的点数.X 的可能值是 :随机变量连续型实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型其它实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量误差”.则 X 的取值范围为 (a, b) .实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则 X 的取值范围为随机变量的分类 数轴上区间的类型有(a, b), (a, b, a, b), a, b, (-, b), (-, b, (a,+), a,+) 这8类，而区间(-, b是有代表意义的。 对于 xR ，概率P

7、Xx存在且为x的函数，这个函数称为随机变量X的分布函数。故考虑概率PXx 二、随机变量的分布函数定义 设X是一个随机变量，对任意实数x，称事件X x发生的概率为随机变量X的分布函数， (1)在分布函数的定义中, X是随机变量, x是自变量.分布函数的定义域是全体实数。 (2) 分布函数的值域是0,1。注意 :1、随机变量的分布函数的定义(3) 对任意实数 x1x2，随机点落在区间( x1 , x2 内的概率为： =P X x2 - P X x1 P x1X x2 = F(x2)-F(x1) 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 内的概率.随机点实数

8、点(4)1、随机变量的分布函数的定义由分布函数的定义易知,对任意实数a, b (a b),有 可见，若已知X的分布函数F(x)，那么，计算X 落如某个区间的概率就非常方便了 由于分布函数是一个普通的函数，通过它我们可以方便地利用数学方法来研究随机变量1、随机变量的分布函数的定义实例 抛掷均匀硬币, 令求随机变量 X 的分布函数.解的分布函数图右连续的阶梯函数r.v的分布函数必满足性质是单调不减函数且右连续函数即分布函数的基本性质：当 时当 时注性质 是分布函数的本质特征满足性质 的 必是某r.v的分布函数2、随机变量的分布函数的性质【例】 证明是一个分布函数该函数称为柯西分布函数证：显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且 因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布函数典型例题设随机变量X的分布函数为试求 (1)系数A,B；(2)X取值落在（-1，1中的概率。（1）由 解得： 例解典型例题 （2）由分布函数计算事件概率公式得： 于是，分布函数为： 典型例题例解若x0，X x为不可能事件, 则F(x)=PXx=0；若xr，X x为必然事件，F(x) = PX x =1；事件X x表示所抛一点落在半径为x的圆内向半径为r的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离X的分布函数，并求典型例题若0 x r，由几何概型知从而X的分布函数为其