上海交大gct专业基础课数学试题汇总

1、2009 年 上 海 交 大 GCT专业基础课数学试题上海交通大学软件工程硕士研究生入学考试数学(高等数学，线性代数)试卷 2009.4考试时间为180分钟；试卷总分为100分准考证号码报考领域 姓名第一大题得分第二大题得分第三大题得分第四大题得分总分一.单项选择题(共18分，每小题3分) TOC o 1-5 h z 12x21.求极限 lim-版一=()x 0 xsin xA. 1;B. 0.5; C.1; D.0.52.若函数f(x)与h(x)在实数轴上均可导，且f(x) g(x),则必有()A. f ( x) h( x) ;B. f (x) h(x);xxC. lim f (x) lim

2、 h(x);D. f (t)dt h(t)dt。x Xox x)00.设A(1,1),B(6,3), C(2,7)是xOy平面上的三点,则三角形 ABC的面积为()A. 6;B. 14; C. 28; D. 32。.设，是非齐次线性方程组(I A)x b的两个不同的解，其中A为n阶矩阵, 则下列选项中一定是A对应的特征值的特征向量的为(); B.; C.； D.。n维向量1, 2, |), s(3 s n)线性无关的充要条件是()A.存在不全为零的数C1,C2,|,Cs,使G 1 C2 2 W Cs s 0；1,2,III，s(3sn)中任意两个向量都线性无关；1,2,|,s(3sn)中任意一

3、个向量都不能用其余向量线性表示；1,2,|,s(3sn)中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。6.设函数 f(x)在 Xo 满足 f (Xo) f(Xo) 0, f (Xo) 0,则()A. f (xo)是f (x)的极大值;C f(Xo)是f(x)的极小值；B. f(Xo)是f(x)的极大值；D. (xo, f (xo)是曲线y f(x)的拐点1.ln x(1 x)2dx =填空题(共18分，每小题3分)222.设f(u)是任意的二阶可导函数，如果z f(x ay)满足6 一 0,则 x x y y常数a .二元函数u x y沿圆周x2 y2 1上的点P0(x, y)的外法线方向的方向导

4、数为零时，则P0的坐标为.在平面直角坐标系中，作一抛物线，使之通过三点(3,20),(1,0),(2,10),则该抛物线的方程为x1 2x2x3 1.如果线性方程组 2x1 3x2 (a 2)x3 3无解，则a x1 ax2 2x3 0.幕级数 (2k 1)xk的收敛区间为，其和函数为 k 0三.计算与应用题(共50分)(要求写出解题的过程，需要画图的，要表明图中符号的意义，只写答案无分).(4分)下述论证是否正确？请给出理由。若不正确，你的结论又是什么？因为运用 Lhospitai 法则有lim -snxlim(x-sn x)lim-cosx ,而右端的极x x cosxx(x cosx)x

5、1 sin x限显然不存在，所以，左端的极限也不存在，即 x sinx在x时不存在极限。x cosx2. （6分）计算二重积分Isindxdy ,其中D由直线y x和抛物线x y2所围d y成的区域。11 ,X211113.（6分）设Aa2ia22a23,其3个特征向量分别为Xia31a32a33求A的全部特征值，写出A矩阵的所有元素的值。（6分）从半径为R的圆中切去圆心角为 的扇形，将余下部分做成一个圆锥 体，问 为多大时，该锥体的容积最大?（6分）一个半径为r ,密度为 （1）的木质球体投入水中。试用r , 等参 数建立关于球浸入水中部分的深度 h的方程。又给定r 5cm, 0.638kg

6、/cm3,结 合球的密度值的特点，并运用连续函数的性质，判断 h的有根区间。（6分）求经过点P（ 1,1,2）及直线L：J2 y- J2的平面的方程。320（8分）一个30 30 12m3的地下仓库内的空气中二氧化碳的含量占1.12%。现用一台通风能力为每分钟1500m3的鼓风机通入内含0.04%的二氧化碳的新鲜空气,还有一台与鼓风机同等能力的排风机在另一端抽出混合的空气。假设鼓入的新鲜空 气能立即与仓库内的空气混合，10分钟后，地下仓库内的空气中二氧化碳的百分 比降为多少？建立相应的微分方程并求解之。（8分）用集成电路构成一个四端网络（如下图所示），两输入（ik,ek）和两输分别是电流与电压

7、量。假设这 4个量的定量关系为k 1?:,根据测量，ek 1 cik deka 3,b 2,c 4,d 5。现将100块这样的电路串联起来，初始的i 0.6 10 3安，e 1 10 3伏。求可和加。四.综合题（共14分）（6分）有一农民老汉十分崇敬梁山泊好汉，他准备一批马匹，要送给108位好汉。他到梁山泊后见到一位好汉就送他当时所有马匹的1/4给这位好汉，而这些好汉也很有礼貌，每人接受礼物后，都回送自己的一匹马给老汉。这样，给 108位好汉的礼都送完后，老汉还剩下 4匹马。试用数列方法建立数学模型，求 出老汉原有多少匹马？（8分）A, B两只羊被放在草地上吃草，用一根长 10m的纯拴A羊在草地中央的 细柱上，它可在以柱为中心，绳长为半径的