悖论剖析与解题技巧解题技巧

1、第 PAGE13 页 共 NUMPAGES13 页悖论剖析与解题技巧 解题技巧顺便提一下，维特根斯坦早在曼彻斯特大学工程系做研究学生时，就已经对“悖论”发生兴趣了。他在读了罗素的数学原那么之后，即响应罗素在书末发出的解决“逻辑悖论”黑格尔的影响至今仍然没有消退。例如，罗马尼亚的昂利瓦尔德我国也有学者持类似的观点，不过，也有学者剧烈地反对这种见解，说是辩证逻辑绝不应成为逻辑矛盾的庇护所。两者相较，我们更同情后一种观点。在我们看来，辩证真理即使从形式逻辑的角度看也应当是名副其实的真理，而绝不应当是什么既真且假的东西。大逻辑学家塔斯基认为美国大逻辑学家皮尔士(P.S.Peirce)那么断言：“这一个

2、命题显然，这与其说是在解决悖论，倒不如说是在为之辩护。应当指出的是，以上介绍的只是皮尔士的最终见解。事实上，他从事悖论研究长达30多年，曾先后提出过几种答案。皮尔士最初认为，“本命题是假的”根本“无意义”，因为它并未涉及“外部对象”的“外部关系”，而“逻辑法那么那么仅仅对具备一个对象的符号发生作用”。此后，他又取消了这一见解。这是因为，他发现它非但解决不了悖论，甚至还会重新陷于悖论：“说此句无意义，即是说它不真；但它正是说它不真，那么它又是真的了。”后来皮尔士又主张，那个句子是“既真亦假”的。他阐述说：“一张纸，一半红色一半蓝色。这张纸上的每一点，非红即蓝。那么，在红蓝二色的交界限上，或者说这

3、条界限本身是什么颜色？”他的答复是“既红亦蓝”。皮尔士认为，“说谎者悖论”的情况与此类似，我们绝不能说那个句子既非真亦非假，因为这会导致自相矛盾，而只能说它“既真亦假”，这样就不会导致自相矛盾了。在这之后，由于意识到说那个句子“既真亦假”仍然摆脱不了矛盾，皮尔士才再度改变看法，主张把命题分为外表上的断言按照芬斯勒的说法，那个句子便是一个永假句，永假句当然是假的，可它明明在说自身是假的，所以就不能不是真的，这便陷入了自相矛盾。古希腊哲学家克吕西波著名的英国牛津学派分析p 哲学家斯特劳森克吕西波和斯特劳森说那句话毫无意义，显参见格克劳斯G.Klaus著形式逻辑导论之俄文版注释，上海译文出版社198

4、1年版487页，个别符号有改动尽管将“悖论”嵌入某一反证法证明以便最终解决“悖论”的设想很有道理，但真正的难点实际上并不在于想到这个主意，而在于必须找出恰好需要加以反证的命题。事实上，人们之所以迟迟未能实现这一设想，其症结端在于此。果不其然，我们不久就会看到，最终需要反证的命题与其说是“悖论”的前提，倒不如说是“悖论”的预设。显然，就“说谎者悖论”这个所有“悖论”的“老祖父”而言，最容易想到的就是，可以用反证法证明“说谎者”之所言根本就不是命题。不妨假设“本语句为假”是命题。此时便有，“本语句为假”要么为真要么为假；并且，“说谎者悖论”的推理也因此而符合逻辑。假如“本语句为假”为真，那么有“本

5、语句为假”为假；亦即“本语句为假”既真且假，矛盾。由反证法即有，“本语句为假”为假。假如“本语句为假”为假，那么有“本语句为假”为真；亦即“本语句为假”既真且假，矛盾。由反证法即有，“本语句为假”为真。综合以上两个子证明的结果即有，“本语句为假”既真且假，矛盾。证毕。然而，证明了这一结果似乎根本于事无补。这是因为，我们很容易由此想到，“本语句为假”乃是非真非假的，这将使我们重蹈克里普克以及齐硕姆的覆辙，回到原先的怪圈之中：由于该语句是在说自身是假的，因此它就不能不是假的，又由于这正是它所断言的，于是它就是真的。由此看来，我们的结论只能是，“本语句为假”既不是命题，又不是非真非假的。我们知道，语

6、句有单义句、多义句以及有歧义的语句之分，单义句又有非真即假的命题与非真非假的单义句之分。如此说来，“本语句为假”就只能是多义句了。然而，这又与我们的直觉不符：这个句子简单至极，它只不过是在断言“本语句为假”这个句子是假的而已，看上去含义十清楚确，又怎么会是多义句呢？这就迫使我们不能不仔细分析p 这个乖僻句子的语义及其真值。“说谎者悖论”：无穷嵌套的自相似构造及其多义性“本语句为假”这个乍看上去简单已极的语句竟然会是多义句吗？是的，非但如此，它还具有无穷多种含义，且在每种含义下均取唯一确定的真值。试分析p “本语句为假”这个句子。由于该语句中的“本语句”系指该语句本身，所以，该语句只不过是“本语

7、句为假为假”的简单形式。此种分析p 可一直进展下去，最后，我们将会发现，该语句只不过是下面这个无穷嵌套的自相似构造亦即每一层子嵌套之构造均一样之无穷嵌套构造的简略形式而已：为假为假为假两者虽形式有异而语义并无不同，故而我们只消提醒后者的多义句本质即可。显然，我们可将这个无穷嵌套的语句作如下理解，即它是在说一个语句为假，那个语句又在说一个语句为假，如此等等，以致无穷。此时，它实际上便成了一个永远也说完的、语义不完好的语句，显然，在此含义下它只能是非真非假的。如此说来，克里普克称“本语句为假”为“无根基的”也绝非事出无因。然而请注意，我们同样可以把这个无穷嵌套的语句理解为是在断言上述含义下的无穷嵌

8、套的语句为假，或者理解为是在断言上一种含义下的语句为假，如此等等，以致无穷。显然，该无穷嵌套的语句在这一系列含义下的真值将依次为假与真的交替出现。由此可见，这个无穷嵌套的语句确实具有无穷多种含义，且在每种含义下均取唯一确定的真值此处指真、假、非真非假三值。由于“本语句为假”与上述无穷嵌套的自相似构造形异而义同，故此一结论对该语句自然也是成立的。如今，我们已经找到了我们真正需要加以证明的命题，亦即“本语句为假”是多义句。事实上，借助反证法不难给出这个证明。证明：不妨假设“本语句为假”为单义句。此时便有，该语句要么为真要么为假要么非真非假。请注意，在此假设下，任一断言该语句取某一真值的语句都是命题

9、，故为正当的推理对象。假如该语句为真，那么有该语句为假，矛盾。由反证法即有，该语句非真。假如该语句为假，那么有该语句为真，矛盾。由反证法即有，该语句非假。假如该语句非真非假，那么有该语句为假，矛盾。由反证法即有，该语句并非非真非假。综合以上三个子证明的结果便有，该语句既不是真的，也不是假的，又不是非真非假的，矛盾，证毕。既然我们业已提醒了“本语句为假”的多义句本质，“说谎者悖论”也就得以彻底消解了。由“本语句为假”是多义句，我们可以推得以下两个结论：其一，“本语句为假为真”以及“本语句为假为假”是多义句；其二，直接施推理于这两个多义句根本就不符合逻辑从语义不确定的多义句推不出任何确定的结论，即

10、使是正确的推理规那么也不能用于多义句，此乃逻辑之误用。由此可见，所谓“说谎者悖论”，并不象此前所认为的那样，是什么两个互相矛盾的命题亦即非真即假的单义句的符合逻辑的互相推出，而只不过是两个貌似互相矛盾命题的多义句的不合逻辑的互相推出，因此根本就不是什么真正意义上的悖论。迷惑人们长达两千余年的“说谎者悖论”至此始获彻底之消解。请注意，被我们用反证法证伪的“本语句为假”是单义句并不是“说谎者悖论”的前提，因为它并未直接进入推理，而只能说是它的预设。从语义分析p 的角度看，“本语句为假为真”以及“本语句为假为假”之含义实分别为“本语句为假”的语义为真、“本语句为假”的语义为假，因此，按照弗雷格的预设

11、理论，它们都预设了“本语句为假”有且仅有一个语义，亦即该语句为单义句。在这个意义上，也可以说，“说谎者悖论”预设了“本语句为假”是单义句。事实上，视“说谎者悖论”为真正的悖论的观点实际上都依赖于这个预设。在此预设下，断言“本语句为假”为真和为假的句子就成了命题，而“说谎者悖论”中的推理也就成了符合逻辑的。仅当我们证伪了这个预设时，这个所谓“一步即成的奇异的循环”才现出了原形。应当证伪的并不是“悖论”的前提，而应当是其预设，这正是用反证法消解悖论的尝试迟迟未能奏效的根本原因所在。如今，我们也答应以把“说谎者悖论”修正为：假如“本语句为假”在一种意义上为真，那么它在另一种意义上就为假；假如“本语句

12、为假”在一种意义上为假，那么它在另一种意义上就为真。在我们看来，这倒不失为一种真理，无论是在形式逻辑的意义上，还是在辩证逻辑的意义上。“强化的说谎者悖论”：无穷嵌套的自相似构造及其多义性“强化的说谎者悖论”系由“说谎者悖论”变化而来，我们自然有理由期待，沿着同一思路来消解它。果不其然，语义分析p 说明，导致这个“悖论”的语句“本语句非真”也同样是多义句。不难看出，“本语句非真”实际上与下面这个无穷嵌套的自相似构造形异而义同：非真非真非真对这个无穷嵌套的语句同样可作无穷多种理解。一方面，我们可以把它理解成陷于“恶的无限”的、语义不完好的语句，另一方面，我们又可把它理解为是在断言上述含义下的语句非

13、真的语句，如此等等，以致无穷。显然，它在这一系列含义下的真值将依次为非真非假以及真与假而不是假与真的交替出现。由此不难看出，“本语句非真”确为具有无穷多种含义的多义句，且在每种含义下均取唯一确定的真值。同样，我们也可严格证明，该语句确为多义句。证明：不妨假设该语句为单义句。此时便有，该语句要么为真要么非真。假如该语句为真，那么有该语句非真，矛盾。由反证法即有，该语句非真。假如该语句非真，那么有该语句为真，矛盾。由反证法即有，该语句并非非真。综合以上两个子证明的结果便有，该语句既不是真的也不是非真的，矛盾，证毕。由于“本语句非真”是多义句，“本语句非真为真”与“本语句非真非真”亦便成了多义句，与

14、此同时，施推理于其上亦犯有施推理于多义句的错误，纯属逻辑之误用，根本不合逻辑。这样，我们看到，“强化的说谎者悖论”与“说谎者悖论”如出一辙，也并不是什么两个互相矛盾命题的符合逻辑的互相推出，而是两个貌似互相矛盾命题的多义句的不合逻辑的互相推出，根本就不是真正的悖论。多少有些出人意料的是，“强化的说谎者悖论”并不象人们以前普遍猜想的那样，比“说谎者悖论”更难消解。正如我们所看到的，两个“说谎者”可以用同一方式予以消解，而所谓“强化的说谎者悖论”之消解甚至来得更为简洁明快。“强化的说谎者悖论”之卢卡西维茨塔斯基推导不可靠关于“强化的说谎者悖论”，卢卡西维茨给出过一个著名的推导。此一推导为塔斯基所沿

15、用，并用来作为建立其形式语言真理论的根据。时至今日，该推导仍被视为无懈可击，以致于被称作是该“悖论”的“准确塑述”。本节之宗旨在于指出该推导实际上并不可靠。首先，让我们审视一下卢卡西维茨塔斯基推导。考虑如下句子：印在本节第行的句子不是真的。为简明计，我们将用指称这个句子。将“”和这个句子本身分别代入公式T是真的，当且仅当。中的和，即得如下型等值式：是真的，当且仅当印在本节第行的句子不是真的。由于“”与“印在本节第行的句子”所指称的乃是同一个句子，按照莱布尼兹定理便有：是真的，当且仅当不是真的。这正是“强化的说谎者悖论”。上述推导看似天衣无缝，实那么不然。我们很快就会看到，该推导从一开场就有缺点

16、：公式实际上并不适用于语句，换言之，将“”及其所指称的句子代入公式乃是错误的。为说明这一点，先让我们论证公式对多义句并不适用。显然，卢卡西维茨塔斯基推导建立在下述信念的根底上：公式适用于所有语句。也就是说，对任一语句，假设其名称为，恒有：是真的，当且仅当。这显然意味着，对任一语句，假设是其名称，“是真的，当且仅当”之所言便为一事实，亦即“是真的，当且仅当”为真，这可以更确切地表述为，“是真的，当且仅当”之语义为真。根据弗雷格的预设理论，这便预设了“是真的，当且仅当”有且仅有一种语义。简言之，这一信念本质上可表述为：对任一语句，假设是其名称，“是真的，当且仅当”有且仅有一种语义就是不言而喻的，进

17、一步，它的这个唯一的语义还是真的。显然，对任一单义句而言，假设是其名称，“是真的”亦为单义句，此时，“是真的，当且仅当”有且仅有一种语义确实是不言而喻的，进一步，根据“真”的用法，其唯一的语义也确实是真的。例如：“雪是白的”是真的，当且仅当雪是白的。这正是塔斯基举过的那个著名的例子。换言之，公式确实适用于任一单义句。然而，对任一多义句而言，假设是其名称，“是真的”便是多义句，“是真的，当且仅当”亦为多义句。此时，“是真的，当且仅当”有且仅有一种语义就非但不是不言而喻的，反倒是假的，当然也就更谈不上什么其唯一的语义是真的了。换言之，公式对任一多义句均不适用。事实上，我们还可以换一个角度理解上述结

18、论。对任一多义句而言，在不事先明确其语义的情况下，根本就无从直接施推理于其上，否那么便是逻辑之误用。须知，逻辑本质上毕竟是基于语义的，也正因为如此，逻辑总是不遗余力地拒斥多义性，而将自己的考察范围仅仅局限于单义句。由此可见，就任一名为的多义句而言，直接施推理于“是真的”以及便不合逻辑，更确切地说，是误用了逻辑，当然就更谈不上什么两者可以互相推出了。这显然意味着，“是真的，当且仅当”肯定不能成立。接下来，再让我们论证语句S恰为多义句。事实上，正如我们先前所见到的那样，用反证法极易证明，确为多义句。不妨假设并非多义句。此时便有，为单义句，且要么为真要么非真。假设为真，便有，印在本节第行的句子不是真

19、的，于是又有，非真。矛盾。由反证法即有，并非为真。假设非真，便有，印在本节第行的句子不是真的，于是又有，“印在本节第行的句子不是真的”为真，故而又有，为真。矛盾。由反证法即有，并非非真。于是就有，既不是真的，又不是非真的，矛盾。证毕。接下来让我们通过语义分析p 说明，具有无穷多种语义，这无疑将有助于理解上述结论。由于“印在本节第行的句子”所指称的语句正是“印在本节第行的句子不是真的”，所以如下语句异形而同义：印在本节第行的句子不是真的“印在本节第行的句子不是真的”不是真的“印在本节第行的句子不是真的不是真的”不是真的所以，语句实际上也同义于如下无穷嵌套的自相似构造：不是真的不是真的不是真的不是真的如前所述，对于后者显然可作无穷多种理解：一个永远也说不完的、语义不完好的语句其真值为非真非假，断言上述意义上的语句非真的语句其真值为真，断言上一种语句非真的语句其真值为假，如此等等，以致无穷。由于与之同义，所以，同样也具有无穷多种语义。如此说来，说是多义句是完全可以理解的。按照以上两个结论，我们立即可以看出，“强化的说谎者悖论”的卢卡西维茨塔斯基推导在第一步就犯有致命错误。这是因为，公式并不适用于多义句，而语句又恰为多义句，故而将“”和“印在本节第5行的句子不是真的”代入公