公理定理等经过一系列

1、 13.4 直接证明与间接证明要点梳理1.直接证明 (1)综合法 定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等，经过一系列的 ，最后推导出 所要证明的结论 ,这种证明方法叫综合法. 框图表示： (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等，Q表示要证的结论）.推理论证基础知识 自主学习 (2)分析法 定义：从 出发，逐步寻求使它成 立的 ，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、 定义、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法. 框图表示： 2.间接证明 反证法：假设原命题 ，经过正确的推理, 最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立，这样的证明

2、方法叫反证法.要证明的结论充分条件得到一个明显成立的条件.不成立矛盾基础自测1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立 的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 由分析法的特点可知.A2.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为( ) A.a，b，c都是奇数 B.a，b，c都是偶数 C.a，b，c中至少有两个偶数 D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 解析 a,b,c恰有一个偶数，即a，b，c中只有 一个偶数,其反面是有两个或两个以上偶数或没 有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确.D3.若ab0，则 的 值 ( ) A.一定是正数

3、B.一定是负数 C.可能是0 D.正、负不能确定 解析 （a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0 且a2+b2+c20(由abc0知a,b,c均不为零)， ab+bc+acB,只需C0,证明： 本题因为有三项分式，不主张用分 析法.综合法证明不等式，要特别注意基本不等 式的运用和对题设条件的运用.这里可从去分母 的角度去运用基本不等式. 证明 a,b,c0，根据基本不等式，题型分类 深度剖析 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程,但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.知能迁移1 已知x+y+z=1，求证： 证明 x2+y22xy

4、，x2+z22xz， y2+z22yz， 2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz. 3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz. 3（x2+y2+z2）（x+y+z）2=1.题型二 分析法 （12分）已知函数f(x)=tan x, 本题若使用综合法进行推演，三角 函数式的化简较难处理，因此，可考虑分析法. 证明2分cos x1cos x20,sin(x1+x2)0,1+cos(x1+x2)0, 6分故只需证明1+cos(x1+x2)2cos x1cos x2, 8分即证1+cos x1cos x2-sin x1sin x22cos x1cos x2,即证：cos(x1

5、-x2)0,求证: 证明 题型三 反证法 若x,y都是正实数，且x+y2, 求证： 中至少有一个成立. 本题结论以“至少”形式出现，从正面 思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以 证明. 证明因为x0且y0,所以1+x2y，且1+y2x，两式相加，得2+x+y2x+2y，所以x+y2，这与已知条件x+y2相矛盾， (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器

6、.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误.知能迁移3 已知a、b、c(0,1),求证: (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于 . “不能同时大于 ”包含多种情形， 不易直接证明，可用反证法证明. 证明 方法一 假设三式同时大于 ， a、b、c(0,1), 三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a .方法二 假设三式同时大于0a0,题型四 分析法与综合法的综合应用 若a、b、c是不全相等的正数， 求证: 用分析法得到 再用综合法证明.证明 方法一（*）又a、b、c是不全相等的正数，（*）式等号不成立，原不

7、等式成立.方法二 a、b、cR+，又a、b、c是不全相等的正数， 分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，综合法是分析法的逆过程.知能迁移4 设a，b均为正数，且ab,求证:a3+b3 a2b+ab2. 证明 方法一 （分析法） 要证a3+b3a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立. 又因为a+b0, 只需证a2-ab+b2ab成立. 又需证a2-2ab+b20成立， 即需证（a-b）20成立. 而依题设ab,则(a-b)20显然成立，由此命题 得证.方法二 （综合法）aba-b0(a-b)20a2-2ab+b2

8、0a2-ab+b2ab.(*)而a,b均为正数，a+b0，由（*）式即得(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b),a3+b3a2b+ab2.思想方法 感悟提高方法与技巧1.分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知.2.综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知.3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较 自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思 路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较 简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常 两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用 综合法叙述出来.4.应用反证法证明数学命题,一般分下面几个步骤: 第一步：分清命题“pq”的条件和结论；

9、 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定 q； 第三步：由p和 q出发，应用正确的推理方法, 推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所 作的假定 q不真，于是原结论q成立，从而间接 地证明了命题pq为真. 第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果 与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定 理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以 及自相矛盾等各种情况.失误与防范1.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误, 并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理 而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的 规范性，常常用“要证（欲证）”“即要 证”“就要

10、证”等分析到一个明显成立的结 论P，再说明所要证明的数学问题成立.一、选择题1.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点P1(x1,y1)、 P2（x2，y2）、P3(x3，y3)在抛物线上，且 2x2=x1+x3，则有 ( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|FP3| 解析 如图所示，y2=2px的准线为 P1Al，P2Bl，P3Cl.定时检测由抛物线定义知：P1F=P1A=P2F=P2B=P3F=P3C=2|FP2|=又2x2=x1+x3，2|FP2|=|FP1|

11、+|FP3|.答案 C2.用反证法证明“如果ab,那么 ”假设内容 应是 ( ) A. B. C. D. 解析D3.a，b，c为互不相等的正数，且a2+c2=2bc，则下列 关系中可能成立的是 ( ) A.abc B.bca C.bac D.acb 解析 由a2+c22ac2bc2acba,可排除A、D, 令a=2, 可得c=1或4，可知C可能成立.C4.设x、y、zR+， 则a、b、c三数 ( ) A.至少有一个不大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D.都大于2 解析 假设a、b、c都小于2，则a+b+cb,则下列不等式中成 立的是 ( ) A. B.a2b2 C.|a+b|a-b

12、| D. 解析 ab,a-b0.而a可能大于0，也可能小于0， 因此a(a-b)0不一定成立，即A不一定成立； a2b2(a-b)(a+b)0,a-b0，只有当a+b0时，a2b2成立，故B不一定成立；|a+b|a-b|(a+b)2(a-b)2ab0,而abb,上式一定成立，因此只有D正确.答案 D6.设a，b是两个实数，给出下列条件： (1)a+b1;(2)a+b=2;(3)a+b2; (4)a2+b22;(5)ab1. 其中能推出：“a,b中至少有一个大于1”的条 件是( ) A.(2)(3) B.(1)(2)(3) C.(3) D.(3)(4)(5) 解析 但a1,b2,故（4）推不出；

13、若a=-2,b=-3,则ab1,故（5）推不出；对于（3），即a+b2,则a,b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾，因此假设不成立，故a,b中至少有一个大于1.答案 C二、填空题7.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f（x） 在0,1上有意义，且f（0）=f（1），如果对于 不同的x1，x20，1，都有|f（x1）-f（x2） |x1-x2|,求证：|f（x1）-f（x2）| .那么它的 反设应该是 .“ x1，x20,1,使得|f(x1)-f(x2)|0时，不等式成立；当x0时，8x30,而（x+1）(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)此时不等式仍然成立.11.已知等比数列an的前n项和为Sn，若am,am+2, am+1(mN*)成等差数列,试判断Sm,Sm+2,Sm+1是否 成等差数列，并证明你的结论. 解 设等比数列an的首项为a1,公比为 q(a10,q0), 若am,am+2,am+1成等差数列， 则2am+2=am+am+1. 2a1qm+1=a1qm-1+a1qm. a10,q0,2q2-q-1=0. 解得q=1或当q