三角函数模型的简单应用教案

1、高一数学教学设计课题：三角函数模型的简单应用（二）授课教师：北京市陈经纶中学 黎宁授课班级：北京市陈经纶中学高一（2）班指导思想与理论依据教学背景分析：学习内容分析2学生情况分析3教学方式与教学手段说明采用“在教师的指导下，学生自主探究的教学方式”。以生动课堂（以新课程改革和 presentation 为背景，为培养学生自主学习的能力，按照教师定题与辅导，学生选题、阅读、自学、讲授，教师总结、提升和发散的程序运行的教学模式）为主的教学模式进行教学。采用计算机辅助教学。4教学重点和难点：用三角函数模型刻画具有周期变化的实际问题是教学的重点； 对问题实际意 义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数

2、模型是教学的难点。三、教学目标设计:1通过教学，使学生进一步掌握由图像求解析式的方法，学习由实际问题抽象为三角函数模型问题的方法和步骤， 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。2通过教学，培养学生数形结合、转化与化归的数学思想，提高学生数据处理能力、运算求解能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力。3通过对两种具有周期性变化规律的实际问题的分析和解决，感受数学在实际生产生活中的应用价值。四、教学过程设计 创设情境，揭开序幕师：经过前面的学习，大家知道，在客观现实世界中存在着很多周期性变化现象，例如物理学中的简谐振动，人的情绪、体力、智力等心理、生理现象，气温的变化情况， 要定量地刻

3、画这些现象， 我们可以借助三角函数这一重要数学模型。这节课我们继续学习三角函数模型在实际生产生活中的简单应用。（教师板书课题： 三角函数模型的简单应用（二）师：前期已经有“生动课堂”学习小组的同学选择了这个课题，自学了相关知识， 搜集了生活中三角函数模型应用的实例， 并进行了再研究， 我们来看看它们究竟进行了怎样的学习和研究。.学生提问，自主解决【问题】：国际大都市上海继东方明珠电视塔、金茂大厦之后，计划在虹口区北上海梦幻世界外滩汇山码头兴建又一座景观性、标志性、文化游乐性建筑摩天轮城”，占地3.46公顷总投资超过20亿元人民币，内有世界最大的摩天轮。(如图)，摩天轮中心O距离地面200米高，

4、直径170米。摩天轮上将安装36个太空舱，可同时容纳1100多人一览上海风光。摩天轮沿逆时针方向做匀速转动，每 8分钟转一圈，若摩天轮的轮周上的点P的起始位置在最低点B处(即时刻t 0分钟时的位置).已知在时刻t分钟时点P距离地面的高度f(t)(I )求20分钟时，点P距离地面的高度;(H)求f(t)的函数解析式。【问题的解决】：(I)二.旋转的周期T 8； 20分钟后点P在最高点，距地面高度是285米。(n) t 分钟时 hop -t,在直角坐标系中研究问题，设点合，设 P(Xp, yP)O与原点O重合,OA与x轴的非负半轴重则点P距离地面的高度为f(t) 200 85sin( BOP -)

5、85cost 4200, (t0).所以 f(t)85cos-t 200, (t40).【学生设计的思考问题】假设由于年久失修，摩天轮支架倾斜了30o,(如图)，求f(t)的函数解析式。解：显然OH 10043 ,于是f(t) 100 3 85sin(-t【学生研究过程中的疑问】这道题怎么与我2-),(t0).3y Asin( x ) b没有什么关系啊回答：如图,0振幅A=85,周期T 8 ,初相.教师提问，共同解决师：刚才同学为我们呈现了他们发现的生活中的三角函数模型一一摩天轮， 在现实生活中，还有一种典型的周期变化的自然现象一一潮汐。【问题】：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫

6、潮。一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后, 落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时间水深（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系。（2） 一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4.75米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口在 港口能呆多久【分析解决问题的过程设计】（1）引导学生分析表格中的数据， 发现水深变化呈现一种周期性变化规 律，为了更加直观明了地观察出这种周 期性变化规律，由学生自主绘制数据散 点图（学生活动：作水深关于时间变化 的散点图，如右图所示）师：

7、观察散点分布的情况，跟我们所学过哪个函数类型非常的相像（三角函 数 y Asin( x ) h)引导学生描绘出三角函数图象。（学生活动：作图，如下图所示）设时间为x,港口的水深为y,考虑用函数y Asin( x ) h刻画水深与时问之间的对应关系。(学生活动，求解析式；教师板书) TOC o 1-5 h z A 2.5, h 5, T 12,0,2由T 12,得一6所以，这个港口的水深与时间关系可以用 y 2.5sin-x 5近似描述。6(2)货船需要的安全水深为+=只有当水深y 6.25时，货船才可以进入港口。结合图形，只需求出曲线y 2.5sin-x 5与直线y 6.25的四个交点A、B、

8、6G D的横坐标xa、xb、xc、xd即可。由 2.5sin - x 5 6.25 ,得 sinx 662显然x 1是此方程的一个解，即xA 1xB 6 1 5, xc 12 1 13, xD 18 1 17因此，货船可以在1:00进港，早晨5:00出港；或在中午13:00进港，下午 16:00出港，每次在港口停留4小时。师：大家看看刚才整个过程，货船在进港、停留、离港过程中，货船的吃深 深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，随着船身自身重量的减小， 船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度会随着时间的

9、变化而 变化，我们又该如何选择进出港时间呢【思考题】在(2)的条件下，该船在2: 00开始卸货，吃水深度以每小时 0.5 米的速度减少，那么该船在什么时间必须将船驶离港口解：安全水深为 y 6.25 0.5(x 2),需要y %结合图形，只需求方程2.5sin x 5 6.25 0.5(x 2) 的解6记 f(x) 2.5sin x 5 6.25 0.5(x 2) 2.5sin-x 0.5x 2.25,66方程的根即函数f(x)的零点。观察图形，计算 f (6) 2.5sin 0.5 6 2.25 0.75 0f(7) 2.5sin 0.5 7 2.25 06所以当x 2时，x 7两个函数图象的第一个交点的横坐标，因此，为了安 全起见，货船应该在早上7:00停止卸货，离开港口。4.归纳小结，深化提高(在教师的引导下，学生归纳反思，师生补充完善，教师总结提升)(1)总结数学建模的过程：解决实际应用问题时，可以按照如下步骤进行：分析数据一作图(为了更加直观形象揭示变化规律)一选择适当函数类型一 求函数解析式一用得到的模型结果来解释实际问题(2)数学思想方法及能力：将实际问题转化为数学问题，体现了数学中的转化思想；在建立数学模型及解决 问题的过程中，涉及到函数的思想、数形结