实验题目用正交多项式做小二乘曲线拟合

1、实验题目：用正交多项式做小二乘曲线拟合实验题目：用正交多项式做最小二乘的曲线拟合学生组号：_L完成日期：2011/11/271实验目的针对给定数据的煤自燃监测数据中煤温与,N之间的非线性关系，用正交多项式22做最小二乘曲线拟合。2实验步骤算法原理设给定n+l个数据点：(X,y),k=0,l,n,则根据这些节点作一个m次的最kk小二乘拟合多项式P(x)=a+ax+aX2+.+aXm=区aXjm0l2mjj=0其中，mn,一般远小于n.o若要构造一组次数不超过m的在给定点上正交的多项式函数系Q(x)(j=0,j1,.,m),则可以首先利用0(x)(j=0,l,.,m)作为基函数作最小二乘jTOC

2、o 1-5 h z曲线的拟合，即p(x)=qQ(x)+qQ(x)+.+qQ(x)m00llmm根据式，其中的系数q(j=0,1,.,m)为j工yQ(x)q=务二，j=0,1,.,mj!lq2(x)将代入后展开就成一般的多项式。构造给定点上的正交多项式Q(x)(j=0,1,.,m)的递推公式如下:Q(x)=1a,k=j-i,.,i,okjkkqs=ajjj最后，为了便于循环使用向量B,T,与S,应将向量T传递给B,向量S传递送给T,即t=b，k=j-1,.,1,0kks=t，k=j,.,1,0kkx-=在实际计算中，为了防止运算溢出，将X用XX来代替，其中kk丄工xn+1kk=0在这种情况下，拟

3、合多项式的形式为+a(x-x-)mp(x)=a+a(x-x)+a(x-X)2+m012程序流程图Ggp声欣叫砒声【绚M创上【川P+xI1-2Lc=c+YI输出环琪武系业或i1=卽3;1+l=Ojk叫i输出出赶出i输直圧式表诅冗J=2J;i=ojl!-q=ci*KiH-t-ikp=fi/dl;q=d2/dl；dl=d2；BJ=f8UjtJl=sDLdkt=G*Sl；bk=tM；tRJ=5|K|;i=Dji：ri!i+-dl0=aiD；dtl=OAdtpMS.Oq=am-l=0;l!-q=afko*xi-zl；P=q视dt2|=fabs(p)vdtO+=p,p；出If问pj：3实验结果分析温度数据

4、：51.152.854.857.258.362.765.267.770.673.575.778.680.884.887.889.592.196.4103.1112.5120.8134.7152.4159.1氧气数据：20.1319.919.6118.9819.6119.3219.7319.5919.3820.1819.9819.5819.7419.2619.5918.7718.6617.4717.0116.3315.9513.765.915.43氮气数据:79.579.6779.5980.248080.3179.3580.180.3779.779.7880.158080.4680.0980.9

5、80.9982.0682.3383.0283.3184.8490.8593.96实验结果：D-Mcros&ft:VisualStudioMyPrcjscts25DebugV5.exe|iZOlJ-正交多项式拟合-输出温度数扌却51.10900052.80090054.80009057.20000058.30000062.709000E5.20090067.70009070.60000073.500000RFi.RRPilllinR4.RfiRRfifl89.50900092.1009009E.400090103.100000112.500000120.890000134.709000152.4

6、00900159.100000输出氧气数括：20.13900019.90090019.61009018.98000019.61000019.32900019.73080019.59009019.38000020.18000019.98900019.5800001.74009019.26000019.59000018.77900018.66090017.47000017.01000016.33000015.95900013.7600005.9100095.430000a=19.060178a=-0.050815a=-0.001271a=-0.000010dt=8.069557dt=10.B594

7、34dtt2=1.385219输出氧气匚温度拟n的正交多项式;p=19.060178+*Al+*A2+*A3输岀温度数括：51.10009052.80000054.80600057.20900658.30000962.70009065.20000067.70600079.60900S73.50000975.70009078.60000080.80600084.80900Q87.80000989.50009092.10000096.400000103.190060112.500000120.800900134.700000152:.4S000S159.190060输岀氮气数括：79.500090

8、79.67000079.59000089.24900Q80.00000980.31009079.35000086.13600080.37900679.70000979.78000080.1500008S.Q0&QQ080.46900680.09000980.90009080.99000082.06S00082.33900Q83.02000983.31009084.84000090.85600093.969006a=89.6286111、=0_阳阳4氏a=0.000776dt=5.624929dtc1=9.117542dt25=1.1G7B72输岀氮气与温度拟:合的正交多项式,iF-80.G28

9、CllxA10.600770 xa2xa3PressanyPeytoicontinue注：dt(0)为误差的平方和，dt(1)为误差的绝对值之和，dt(2)误差绝对值最大值。氧气与温度的拟合曲线：氮气与温度的拟合曲线:4实验结论这次实验我们的拟合曲线是选择三次拟合曲线，虽说更高次的拟合曲线可以达到更好的效果，但是由于在计算机计算的过程中舍入误差的存在，使得次数高的项系数为零。由于数据是观测得来，而我们的误差最大不超过1.4，所以误差在允许范围内，故从误差以及各方面的考虑，我们最终选择三次来拟合曲线。为了能够达到视觉上的效果，我们在实验结果处附上了用matlab所拟合得到的曲线，从图中可以看出，

10、随着温度的不断增加氧气的含量在降低，且降低率随温度的增加而增加，但是对于氮气却是随着温度的增加而增加，且增加率随温度的增加而增加。由于温度的不断增加，经过一定的化学变换，放出氮气，同时消耗氧气，而且在温度相对高时(在一定的温度范围内)，其化学反应的速率快，这就是对上述结果的一个解释。5问题归纳与总结在本次试验中，组员在分析问题的过程中主要遇到了一下几方面的问题，下面一一表述并给出解决办法。问题一：a，0分别Q(x)之间的关系jjj解决办法:观察公式，找出关系，将公式分解，分步求出分子分母，将分母用d=Q2(x)jjk表示。问题2：Q(x)的迭代问题j解决办法：分别用三个向量B,T,S分别存在Q

11、(x)，Q(x)，Q(x)的系数，用j-ijj+it=b，s=t，依次迭代kkkk问题3：系数拟合问题解决办法将上一次正交多项式次数相等的对应系数加到下一次的系数a+qs=a,kjkkqs=ajjj即:k=j-l,.,1,0问题4：解决方法：QjQjx)kx)ksk.QjQj的算法是一个j次多项式，x)=(sx+sij从j次到1次，递减乘x来增加次数，再加上)x+s)j-1j-2x)=(sx2+sx+s)x+s)1ccijj-1j-2j-3Sx+S10(x)=SXj+SXj-i+.+jj-i问题5：溢出问题x-x解决方法：由于给定温度数据过大，次数大时会出现溢出，所以采用平移思想用来表示x,图

12、像不变。参考文献李庆扬,王能超,易大义.数值分析.北京：清华大学出版社,2008附录(源代码)#includestdio.h#includemath.hdoublespir(doublex,doubley,intn,doublea,intm,doubledt)inti,j,k;doublez,p,c,g,q,d1,d2,s20,t20,b20;for(i=0;iv=m-l;i+)系数的初始化ai=0.0;if(mn)m=n;if(m20)m=20;z=0.0;for(i=0;i=n-l;i+)z=z+xi/(1.0*n);温度平均值b0=1.0;/Q0(x)多项式系数d1=1.0*n;p=0.

13、0;c=0.0;for(i=0;i1)/构造Q1(x)t1=1.0;t0=-p;d2=0.0;c=0.0;g=0.0;for(i=0;i=n-1;i+)q=xi-z-p;d2=d2+q*q;c=c+yi*q;g=g+(xi-z)*q*q;c=c/d2;p=g/d2;q=d2/d1;d1=d2;a1=c*t1;a0=c*t0+a0;for(j=2;j=3)for(k=j-2;k=1;k-)sk=-p*tk+tk-1-q*bk;s0=-p*t0-q*b0;d2=0.0;c=0.0;g=0.0;for(i=0;i=0;k-)q=q*(xi-z)+sk;d2=d2+q*q;c=c+yi*q;g=g+(

14、xi-z)*q*q;c=c/d2;p=g/d2;q=d2/d1;d1=d2;aj=c*sj;tj=sj;for(k=j-1;k=0;k-)ak=c*sk+ak;bk=tk;tk=sk;/计算误差的平方和、误差的绝对值之和与误差绝对值的最大值dt0=0.0;dt1=0.0;dt2=0.0;for(i=0;i=0;k-)q=ak+q*(xi-z);p=q-yi;if(fabs(p)dt2)dt2=fabs(p);dt0=dt0+p*p;dt1=dt1+fabs(p);returnz;voidmain()inti;doublea8,dt3,z;doublex24=51.1,52.8,54.8,57.

15、2,58.3,62.7,65.2,67.7,70.6,73.5,75.7,78.6,80.8,/温度数据84.8,87.8,89.5,92.1,96.4,103.1,112.5,120.8,134.7,152.4,159.1;doubley124=20.13,19.9,19.61,18.98,19.61,19.32,19.73,19.59,19.38,20.18,19.98,/氧气数据19.58,19.74,19.26,19.59,18.77,18.66,17.47,17.01,16.33,15.95,13.76,5.91,5.43;doubley224=79.5,79.67,79.59,80

16、.24,80,80.31,79.35,80.13,80.37,79.7,79.78,80.15,80,80.46,80.09,80.9,80.99,82.06,82.33,83.02,83.31,84.84,90.85,93.96;/氮气数据printf(正交多项式拟合n);printf(”输出温度数据:n);for(i=0;i=23;i+)printf(%lft,xi);printf(n输出氧气数据:n);for(i=0;i=23;i+)printf(%lft,y1i);z=spir(x,y1,24,a,4,dt);函数的调用来求拟合函数系数、误差printf(n);for(i=0;i=3;

17、i+)printf(a(%2d)=%lfn,i,ai);printf(n);for(i=0;i=2;i+)printf(dt(%2d)=%lf”,i,dti);误差的输出printf(nn);printf(输出氧气与温度拟合的正交多项式:nn);printf(p(x)=%lf,a0);for(i=1;i=3;i+)printf(+(%lf)*(x-%lfT%d,ai,z,i);printf(nn);printf(”输出温度数据:n);for(i=0;i=23;i+)printf(%lft,xi);printf(n输出氮气数据:n);for(i=0;i=23;i+)printf(%lft,y2i);z=