《数字信号处理》第二版课后答案

1、(I第一章时域离散信号与系统理论分析基础本章1.I节“学习耍点和1.2节“例题”部分的内容对应教材第一、二章内容。为了便于归纳总结.我们将数字信号处理（第】版）教材中第章和第漳的内容介并在起叙述，这样使读者对时域离散线性时不变系统的描述与分析方法建立-个完整的概念，以便在分析和解决问题的，能全而考虑各种冇效的途径，选择最好的解决方案。1.1学习要点1.1.1时域离散信序列时域离散苗号（以卜简称序列）-足时域离散系统处理的对象，研究时威离散系统离不丿F序列。例如.在时域离散线性时不变系统的时域描述中.系统的卩位脉冲响应力（”）就是系统对单位脉冲响应5）的响应输出序列。掌握炭”）的时域和频域特征,

2、对分析讨论系统的时域特性描述国数h（n）和频域特性描述国数片血）和是必不讨少的。序列的烧念在数字信号处理中，-般用X（）表示时域离散倍号（序列）。x（n）M看作对模拟信号（Z）的采样即x（/7）=xj/?r）.也可以看作组冇序的数据集合。要点在数字信号处理中，序列x（”）是个离散函数n为幣数，如图I.I所示。当心整数时,兀（）无定义.但不能理解为零。当.）=兀（）时,这一点容易理解。当耳=整数时，.丫（/?）=兀，厂）.为X/）在时刻的采样侑，非幣数T时刻未采样，而并非为零。在学习连续信号的采样恢复时会看到，x（）经过低通滤波器后,相邻的MS+i）r之间的X“（f）的值就得到恢复。例如.x（t

3、i）为序列，収v（w）=x（n/2）.n为整数足不正确的，因为当n=命数时，y（n）无定义（无确切的值）。常用序列常用序列有六种:单位脉冲序列5（d矩形序列心G），指数序列anu（n）,正弦序列cos（0/7）、sin（M?）.复指数序列周期序列由J：前：种序列非常简单.而后面种与相应的模拟信号的特点人不相同，所以F面仅对后:种序列的定义及特点进行小结。1）正弦序列和复指数序列(I正孩序列指cos（m）和sin（M?）0,则称H）为周期序列，周期为M,记为X.V（/7）0周期冲列的泄义只冇-*A1j模拟周期两数眾义不同，即尚期序列的H变奉n和周期X只能取整数。正是这-区别,使得某些模拟周期信号

4、,离散化后就不定是周期序列.2兀例如.严“定址周期冈数周期=而&伽是否是周期序列.取决于数字频率的取值。为了说明这个问题,我们假设以N为周期，导出严为周期序列的条件。由以上假设及周期序列的定义可知e蚀应满足占=&旳（+釣），k和“为整数，N0所以必须满足（okN=2/011,m为整数。当E时,coN=2g所以，只有当N/m=27r/a）为有理数吋，Y和m才是整数解,几”才是周期序列。此时只耍将171/（0化为故简分数（分子分母化为整数）则分子就是周期N。1.1.2序列的傅里叶变换（FT）1.序列縛里叶变换定义以下两式：/(kJ4(1、1.2)(13)y(e)=FTx(H)=工x(心如W=-00

5、A-(/?)=IFT(X()=2X闷pm称为傅里叶变换对。X(/”)=FTaa7)存在的条件为Zk(-Jl=7；2周期序列的傅里叶变扌英周期序列不满足(1.3)式,但为了将傅里叶变换分析法用于周期信号.引入奇异函数5(,7),可定义周期序列的傅里叶变换。设心心)表示以7为川J期的川J期序列，则英傅里叶变换为X0”卜FT卜)卜寻八(为卜一年门(1.4)其中,5(”)为单位冲激函数,Xv伙)称为.w(；7)的离散傅里叶级数(DFS)系数,计算公式为Xn()=工兀n(心(1-5)其中.X表示在任意个周期区仙上求和X、伙)也是以7为周期。lllT.xv()不满足(1.3)式,因此按(1)式不能直接讣算

6、出FT所以.对周期序列进行傅里叶变换叭应先按式(1.5)求得兀)再套用(1.4)式得到X(ei0J=序列的傅里叶变换具有唯一性和周期性(以2兀为周期)序列的傅里叶变换的唯性和周期性M：衣尔如K：xQb)二(”)=X(eJ)傅里叶变換的基本柱质序列傅里叶变换的基本性质列丁-表1.1中，表11序列傅里叶变换的呈本性质序列傅里叶变换血）血）（）+by（n）心-弘）M）心）x（w）*Xw）如.y（“）7ZX（7?）Re%）,/Imx（w）兀S）池加）Y（ela,）aXebYJwcifb为常数严*（严）x（严）X（eJ,u）X（eM）y（严）滋（严闷圮的x,3）Rcx（T加x（严）ZY乙兀.V-l、I2

7、1.V-lJI2工皿卜范Z*01/vA-011.13序列的Z变换(ZT)1.Z变换定义Z变换宦义如卜1X（z）=ZTx（n=x（”）八/!二一力def1.（/?）=/zrffz）=fX（z）rldz其小.c迅-条$x(z)的收敛域上.并包含原点的逆时针闭介用线。显然.如杲不知道的收敛域.则c不能确足，/ZTa(/?)则无浓计算。由此训看出Z变换的收敛域的2.x(二)=/Z7x()存在的条件与x(z)的收敛域变换存在的条件为:|X(十工心)讥如n=-R即X(z)存在的充分条件为工|x(町厂coo(1.12)X(z)=/ZTx(/)的收敛域泄义为满足(1.12)式的尸的取值域。换汀之，使|X(町V

8、8的同収值域称为X(z)的收敛域显然，X(二)的收敛域hx()冇关。要点対-个确定的x().真Z变换X(二)的表达式及其收敛域是个整体.一者共同唯一确适x()c3.與型序列Z变換的收敛域双边序列的Z变换收敛域为一环威，X(z)=x()z,R|z|/?,因果序列的Z变换收敛域为某圆外.X(z)=x(w)z|z|c4.逆Z变換的计算逆Z变换的计算方沬冇邪级数法(长除法)，部分分式法和留数法.卜而仅対较通用的留数发进行介绍。留数计算公式:将F(z)化为z的正次邪冇理分式，设z(1为F(z)的一个加阶级点，则F(z)对衣示为F(z)=厂以l，y/(z)在绻处无极点ZzjReSF(J绻卜(；|)/必慄)

9、1f(U5)当m=I时ResF(“知=y/(zk=F(z)(z-z、(1.16)由此可见,阶级点的留数计算非常简单。而数字信号处理课程中，大多数情况下为阶级点。Z变换的主雯唯质与定理为了便于查阅.将Z变换的主要性质与定理列在下表中,表中%(z)=ZT.v(W)Ut_|z|/?t+Y(z)=ZTMRy_zR表1.2Z变换的主要性质与定理序号名称性质与定理内容备注1线性ZTax(n)+()=aX(z)+切匕)，R-zR+R_=maxd&=min&+，$2时械移位Zlxn-nzXRxH/?V.対菜些箝殊斤列.收敛域有变化3乘指数序列Z7j/x(n)=X(/问心zaRx,4序列乘nz”吨)二-1x(n

10、)为因果序列/(=)的极恵除个可以在单位圆上外其余全位于单位圆内7时域卷枳定理Z71H归S)=x(z).Y(zRz容易得到二者的关系为X(严卜x(z.(f)的周期是8g.vz(/)=cos(2/hr+(p)d(t-nT)=cos(40rwr+-nT)x(n)的数字频率为w=0曲2=5w2周期N5ox(n)=cos(0.8h+)1丽出其波形如题12解图所刀、。这说明.廉列心)的傅里叶变换巩严)足x(”)的Z变换在2平面单位圈上的取值.即傅里叶变换时z娈换的特例。只冇旳x(二)的收敛域包含单位圆时H”)才百舎傅里叶变换。1.1.4时域离散线形时不变系统的描述与分析系统模型时域离散系统可以用图1.2

11、表示V(w)=爪S)T表示系统对输入信号的处理变换函数,这种变换函数可以是非线性时不变、线性时变或非线性时变的。对于线性时不变系统，T应满足以卜约束条件：T具有线性特性,即满足齐次性和可加性其数学描述如下:如果厂kS)=y()，rkW=.v2(w)则Taxx(n)+bx2(n)=aTx(“)+bTx2(n)=ayt(w)+by2(ti)其中和h为常数eT具有时不变性如果71心)=曲)则系统对输入倍号的处理特性不随时间变化。时域需歆线性时不变系统的描述时域虧散线性时不变系统可以在时域或频域描述0时域描述：单位脉冲响应序列:表示系统对5)的响应输出,它可以将输出输入信号联系起来(v(/?)=A(/

12、?)*.v(/),所以可用力()表示系统对输入信号的处理功能。差分方程：M.V血)=DaS-灯+工-小穴=0Jt=l实质上.系统特性淀全山力分方程的系数决泄。山于讨论的是线性时不变系统所以心和沟为常数(不随n变化)。频域描述:系统两数川z)=ZT心)卜黑频率响应西数/的=ZT”()=韶(二)和伙严讪数字滤波器设计中冇很虫姿的作用(见第伍、六、七章)。(二)和H(严)也可以由系统差分方程求得o.1/H(J=x(1-19)*=1)H0)=x(1-20)工严kA=l)显然，和X(eiM)完全山系数务和心确定，而与输入和输出信号无关。在第五章中会看到，系统的-种实现网络结构自接山忍和Q确定。系统频率响

13、应曲数的特点X(“s)般为复两数，所以常表示为丹(/丿)彳丹也)(1.21)H(eiM|喘频特性冈数，林系统对输入序列严的増益。0(e)相频特性函数，表示系统対严的相角的改变童。如果()为实序列，则|丹(/“=|片(占卜川，即|旳为偶闻数：0(e)=-0(-(0)，即0(e)为奇函数.(&砂)以2兀为周期。这-特点与模拟滤波器犬相径庭，所以要特别注慈。低通滤波器的通带以0=2加为中心，焉通滤波器则以。=(2+1加为通带中心。物理解释弘少=2加附近，cos(伽)变化很慢，对称为低频丁弦序列.而血=(2+1加附近COS(初7)变化很快，对称为高频正眩序列时3我离散线性时不变系统的输入输出关系时域：

14、8v(w)=x(/7)*A(w)=工x(加)/?(一加)(1.22)或.V.V血)二工仏一/0+工仪心一斤)，bj曲;数Ar=lJt=O频域：r(z)=%(z)A/(z)(1.23)y(R)=(”)(Q)(1.24)两半特别注意.以上对时域离散线性时不变系统的描述及I/O关系，不能用于非线性和时变系统，因为这些关系公式只有对线性时不变系统才能推导出。序列卷枳的计算方法：此内容在教材做了较详细的介绍，这里不再重如时域离歆线性时不变系统的稔定性及因果性判断时域：稳定条件:|力09力(”)为系统单位脉冲响应I大I果系统定义:系统输出变化不会发生在输入变化之前。该定义等价于因果系统的单位脉冲响应力()

15、为閃果序列.即当0时./?()=0因杲稳定条件：hn)=0ji0,因果条件勺呦“，稳定条件M=-?乃域：稳定条件：/(z)=2T力(训的收敛域包含甲位圆。I大I杲稳沱条件：/7(z)的所冇极点全部在单位圆内e实质上时域条件和频域条件是完全统的。在滤波器分析设计中，z域因果稳定条件用得牧多。5系统函数（二）的极窣点与系统幅须特性函数片（严工优八H(z-cJA=0I(1.25)(2)=Az般情况，H（z）可表示为冇理分式形式fj（z-心）*=0k=l执中，s为H（z）的零点，如为H（2）的极点.当N时.H（z）在原点冇（NM）阶零点，XNM时，川二）在原点冇（A/-N）阶极点。.兰_.极点4=0.

16、%G.仏=（）.牯兀H（z）的冬点和极点位胃如国1.3所示，曲线如图1.3（h）所示。山图町见.im线截止特性不好，通带中心e=o处衰减较儿为了改善通带平稳性，再加-个极点必=0.5为了使截止特性变陡些，加入零点e3=3=j._.CA=e2=-j,这时H（z）为改进厉的（z）冬、极点位骨和H（e,M曲线如图1.3（c）和（d）所浪综上所述.关（二）的零、极点対（严的贡献町得出如卜结论：（1）位丁原点的零点和极点不彫响H.只彫响0（0）。因为位丁原点的零点矢命的模恒为1不随e变化。2）唱位圆附近的零点j=|讣躬J对.应的零点矢就的模臥创在0=argc,时为最短.使艸0“的分子变小.即片在4=8血

17、2QC(nJc/；2f(.)时,周期延拓无频率混疊失真,如国1.4(b)所示。这时，可用低通滤波器由；冷)无失真恢复询；当2Q.时产生频率混叠失A-.如图1.4(c)所示。这时.不能|l|.vM(/)恢复兀()=2/时，称为奈t:斯特采样频率，由图1.4(c)nJ以看出，频谱YwGQ)|.|Q|y处的混叠伯相当丁将兀心2)中G超过辛的部分折叠回来的俏，所以.将%=讣称为折叠频率。综上所述.可得出著名的时域采样定理:设模拟信号的最高频率成分为Q，即%rt(/Q)=F7-x2贝U只冇当采样频率亿“览.时，经过采样肩才不丢失心(/)的信息。这时，可使理想釆样信号血(/)通过图1.5所示理想低迪滤波器

18、G(/Q),无失真恢复出xj/)o图1.1.6理想采样信号口(?)与采样序列x“(门的频谱关系乞(丿(2)*7航)如gn=-=丈兀(7如=k,(M)二X0h厂X(严)由上式町见.无?(./G)1jX(严)之间仅有的差别是尺度变换=GTo第三章所讲的离散傅里叶变换(DFT)町以计算X()的采样值。所以町在计算机I：用DFT计算X(eM)的采样，来讨论Xa(jQ)的特性。1.2教材第一章习题解答用单位脉冲序列5S)及其加权和表示理1图所示的序列。解：x(/7)=S(n+4)+25(+2)-5(+1)+2/(”)+3(n-1)+26(n-2)+45(m-3)十0.55(”一4)+2和一6)2/2+5

19、,-4A7-1给泄信号：x(n)=6,0/?40,其它画出x(”)序列的波形,标上各序列的值;试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x()序列;令x(n)=2x(n-2).试画出旺(”)波形：令x2(n)=2x(n+2),试画出x2(n)波形：令x3(n)=2x(2-n).试画出旺(“)波形。解：x何的波形如题2解图()所示。(2)x(n)=一3/(+4)/(”+3)+6(n+2)+3/(+1)+6/(”)+65(-1)4-65(w-2)+65(一3)+6/(n4)(3)X|(“)的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以2,画出图形如题2解圈(_)所示。(.4)x2W的波形S：x(n)的波形左移2位

20、.在乘以2.画出图形如题2解阴(丿所示(5)画“(“)时，先而ix(n)的波形，然厉再右移2位，“()波形如也2解图(四)所示。判断F面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。x(n)=Acos(-Jin-),A是常数;TOC o 1-5 h z78x(n)=enS)o解：Dw=-=.这是冇理数.因此是周期序列周期是T-14；w312兀w=_、一=16兀这是无理数.因此炬非周期序列。w设系统分别用卜而的茎分方秤描述，分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的.v2()=av(/?一坷)+bx2(n-a/0)=a7兀(幷)+bTx2(n)故延时器是线性系统。5)y(n)=i(力令:输

21、入为班“一山)，输出为y(n)=x2(n-n0),因为二x2(n-na)=y(n)故系统是时不变系统。又因为Tax(w)+bx2(n)-(ar,(n)+bx2(n)2#aTx(n)+bTx2(n)=ax(n)+bx；(n)因此系统是非线性系统。/!(7)v(n)=x(mm=0令：输入为-吗)输出为”()=工X(?一川)，因为m=0=工x(m)Hy(n)故该系统是时变系统。乂因为八血(片)+加2(力)=工(g(加)+b(加)=口门召(打)1+671丫2(刃)故系统是线性系统.6给定下述系统的差分方程试判断系统是否是因果稳定系统,并说明理由。V-1(1)如0(3)y(?0=丫x伙);-%(5)y(

22、n)=e解：只要N该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果x(n)M，则|心)|M，因此系统是稳定系统.如果x(n)M.y(n)工x(k)2nQ+M.因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值冇关.5)系统是因果系统，因为系统的输出不取决丁x(n)的未来值。如果x(n)M则y(n)=严|严/因此系统是稳定的。设线性时不变系统的单位脉冲响应(町和输入序列班/7)如题7图所示耍求画出输出输出尹)的波形。解：解法(1):采用图解法y(n)=x(/n)h(n-in)/n0图解法的过稈如题7解图所示。解法：采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达

23、式：.v(/7)=一5(“+2)+5(一1)+2(S(一3)h(n)=25(n)+V(/7-l)+-y(n一2)x(n)芳x0)因为x(n)*M(ttk*Ay(n)=x(n)*2/(”)+8(n-1)+丄-2)所以2=2x(”)+x(n一1)+一2)2将x(n)的表达式代入上式，得到y(n)=-2S(n+2)+1)0.5刃)+25(/?I)+5一2)+4.55(”-3)+2和一4)+8(n-5)设线性时不变系统的单位取样响应加町和输入x()分别有以I、：种情况,分别求出输出yW。h(n)=/?4(w),x(m)=/?5(w):h(n)=27?4(h),x(n)=3(n)(n2):力(”)=05

24、(),x“=Z?s(/7)o解：(1)r(w)=x(w)*A(w)=工7?4(,w)7?s(w-zw)W-CF5先确定求和域,由&(血)和Rs(nm)确定对于m的非零I工间如卜:0m3,/-4mn根据非零区间,将n分成四种情况求解:vO=00n3,y(z?)=工I=力+Im=034SS7,.y()=工1=8-/?wr-w-47n.y(n)=0鍛后结果为nl0n34n70,y(n)=+1,8-n,y(n)的波形如题8解图()所示。(2)yS)=2&何#(”)/(一2)=2&5)2&(”一2)=2如)+如一1)一如一4)一加-5)y(n)的波形如题8解图()所小.(3)y(n)=x(n)*h(n)

25、=/?5(?)0夕(一加)=0.5R5(ni)0.5,u(n-m)ot=-ocm=30y(n)对于m的非零区间为0Mm4,mn.并0,y()=00SS4()=().5”().5”m-01_()5T7。5”22-0.5”5/7,v(/)=0.5w0.5一0.5”=31x0.5w-o1-0.5报厉写成统表达式：y(n)=(2-0亍)他(/?)+31x0.55(一5)11.设系统由F面差分方程描述:.“()=一1)+兀()+*双一1):设系统是因果的利用递摊法求系统的唱位取样响应。令:x(n)=6(n)h(n)=-h(n-1)+J(/i)+-5(n-1)22n=0,A(0)=-/(-1)+(O)=1

26、厶乙Z7=2,/7(2)=l/7(l)=iz7=3,A(3)=1/j(2)=(1)2归纳起来.结果为加)=($九(一】)+/()12.有一连续信号(“=00$(2龙彳+0),式中，/=20/七,0=彳(1)求出(/)的周期。用采样间隔r=0.025Xjx,(r)进行采样.试m出采样信号二的农达式。画;II对应的时或离散信号(序列)班”)的波形，并求出x()的周期.第五章数字滤波网络5.1学习要点本章上耍介绍数字滤波器的系统两数H（J与贯网络结构流图之间的相4转换方法，.者之间的转换关系用Masson公式描述由于信号流图的丛木概念及Masson公式已在信号与系统分析课程中讲过，所以卜面归纳I1R系统和FIR系统的各种网络结构及其特点。5.1.1IIR系统的基本网络结构直接型结构如果将系统两数（z）化为标准形式（5）式：WH（“=（5.1）*=|则町根据Masson公式血接画出H（z）的丸接II型网络结构流图如图5.1所示（取N-4,M=3）=一阶血接II型网络结构最有用.它是级