数学解题思维策略

1、.PAGE ：.；-PAGE 17-第一讲 数学解题思想战略高考数学代数推理题一、数学解题的思想过程数学解题的思想过程是指从了解问题开场，从经过探求思绪，转换问题直至处理问题，进展回想的全过程的思想活动在高考试卷中，有一类问题常以高中代数的主体内容函数、方程、不等式、数列及其综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法接轨，这就是代数推理题这类问题立意新颖，笼统程度高，是数学问题的典型代表详细说来，其思想过程普通分为三步：首先要领会题意审题弄清标题的条件是什么？结论是什么？假设条件和结论是用文字表达的，那么把它翻译成数学言语；其次要明确方向在审题的根底上，运用所学知识和数学思想方法，明确解标

2、题的与方向；最后要规范表述采用适当的步骤，符合逻辑地进展推理和运算，并正确地表述在这里，第一步是关键，这就是我们通常说的审题二、如何审题？1、理清题意审题，就是明确标题的知和未知，是解题的第一步，这一步不要怕慢从近年高考命题的特点来看，试卷容量有减少的趋向，目的也就是要突出对考生的才干检查，添加思索量，倡导多给考生一点思索和探求的时间其实，标题本身就是“怎样解这道题的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，可以从语法构造、逻辑关系和数学含义三方面来理清题意2、条件启发解题手段，结论诱导解题方向解题实际阐明，条件往往预示可知并启发解题手段，结论那么预告需知并诱导解题方向可以按照条件列出一切的解题手

3、段表解，根据结论写出能够的解题方向，并寻觅出它们之间的联络，这样做的另一个益处是，可以将标题进展分解，防止失分3、发掘隐蔽条件对于条件，一定要用足用够解题过程中的关键之处，往往是标题未明显写出的，即隐蔽给予的一方面，解题时假设遇到“盲点，可以回过头来分析能否用足用够条件；另一方面，也只需细致的审题才干从标题本身获得尽能够多的信息，这也阐明，审题一定不要怕慢例12005年成都一诊22题对于函数f(x)，假设存在，使成立，那么称为函数f(x)的不动点知假设对，f(x)恒有两个相异的不动点，务虚数a的取值范围；在的条件下，假设y=f(x)的图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点

4、关于直线对称，求b的最小值条件分析条件呈包含关系，子条件在结论二中列出前提条件解题手段：信息迁移数学含义三个“二次结合数形结合；子条件解题手段：隐蔽条件；对称性数形结合垂直、中点点差法结论分析两个结论结论一解题方向：不等关系；结论二解题方向：利用单调性求最值练习：1、设，知时，f(x)的最小值是 = 1 * GB2 求； = 2 * GB2 求在 = 1 * GB2 的条件下，f(x)0的解集A； = 3 * GB2 设集合，且，务虚数t的取值范围答案： = 1 * GB2 ； = 2 * GB2 ； = 3 * GB2 2、定义在R上的函数f(x)满足：假设对于恣意，都有，那么称函数f(x)

5、是R上的凹函数知二次函数 = 1 * GB2 求证：当时，函数f(x)是凹函数； = 2 * GB2 假设，试务虚数a的取值范围答案： = 1 * GB2 略； = 2 * GB2 实数a的取值范围为三、假设干详细的解题战略为了使解题的目的和方向更明确，思绪更加活泼，进一步提高探求的效果，我们必需掌握一些详细的解题战略一切解题的战略的根本出发点在于变换，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以经过对新题的调查，发现原题的解题思绪，最终到达处理原题的目的基于这样的认识，常用的解题战略有熟习化、简单化、直观化、特殊化、普通化和间接化等战略1、熟习化战略熟习化战略，就是将陌生的标题变为曾经解

6、过的比较熟习的标题，进而利用已有的知识、阅历或解题方式，顺利地解出原题可以在分清标题条件和结论的根底上，经过变换标题的条件、结论及其联络上下功夫联想回想根本知识和题型经过联想回想，找出现有问题和熟习问题之间的类似之处和一样的知识点，充分利用类似问题中的方式、方法和结论，从而处理现有问题全方位、多角度分析题意全方位分析题意，即把标题的一切条件都要分析透，并找到各条件间以及条件和结论间的联络，从中找出熟习的解题手段；多角度分析题意，就是要擅长从不同的侧面、不同的角度去认识，根据本人的知识和阅历，适时调整分析问题的视角，找到本人熟习的解题方向恰当构造辅助元素经过构造辅助元素，如构造数列、构造图形或几

7、何量、构造等价性命题等，改动标题的方式，变陌生题为熟习题例22003年成都一诊20题知数列an的前n项和为Sn，p为非零常数，满足条件： = 1 * GB3 a1=1； = 2 * GB3 Sn=4an+Sn 1 pan 1()； = 3 * GB3 求证：数列an是等比数列；求数列an的通项公式；假设bn=nan，求数列bn的前n项和条件分析条件呈包含关系，子条件分项列出子条件 = 1 * GB3 、 = 2 * GB3 联想回想：an=Sn Sn 1()；子条件 = 3 * GB3 联想回想：等比数列前n项和的极限值存在，那么公比q的绝对值小于1结论分析三个结论结论一根据定义证明；结论二求

8、出公比；结论三联想回想：数列bn的通项是等差、等比数列的通项积，可用错位相减法求前n项和解题评析证明： Sn=4an+Sn 1 pan 1()， an=Sn Sn 1=4an pan 1，点评：运用an=Sn Sn 1() 3an=pan 1 且a1=1， ， ，故数列an是首项a1=1，公比的等比数列点评：应阐明解： ， ，点评：运用无穷递缩等比数列前n项和的极限 p=1， 数列an的通项为解：， = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 1 * GB3 = 2 * GB3 ，得 点评：运用错位相减法求数列前n项和 练习：1、数列an的前n项和记作为Sn，知 = 1 * GB2 写出an的

9、通项公式，并证明；对于给出的正整数k，当nk时，且，求k值答案： = 1 * GB2 ；k=2, 3, 42、一计算安装有一数据入口A和一个运算结果的出口B将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到数列结果阐明：从A口输入n=1时，从B口得到；当时，从A口输入n，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第n+1个奇数从A口分别输入2和3时，从B口分别得到什么数？猜测并证明当入口A输入自然数列时，从B口得到的数列的通项公式；为满足计算需求，工程师对安装进展了改造，使B口出来的数据依次进入C口进展调整，结果为一列数据假设，那么非零常数p、q满足什么关系式，才干使C

10、口所得数列为等差数列？答案：和；3、一个正三棱锥，其侧棱长为1，且三条侧棱两两垂直，求该三棱锥的外接球的外表积答案：2、简单化战略简单化战略，就是当我们面临的是一道构造复杂、难以入手的标题时，要设法将其转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便经过对新题的调查，启迪解题思绪，以简驭繁，解出原题简单化是熟习化的补充和发扬普通说来，我们对于简单问题往往比较熟习或容易熟习因此，在实践解题时，这两种战略经常是结合在一同进展的，只是着眼点有所不同而已解题中，实施简单化战略的途径是多方面的，常用的有：寻求中间环节，分类调查讨论，简化知条件，恰当分解结论等寻求中间环节，发掘隐含条件就多数构造复杂的标题的

11、生成背景而论，大多是由一些简单标题经适当组合并抽去中间环节而构成的因此，应尽能够从标题的因果关系入手，寻求能够的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联络的系列题，以实现复杂问题简单化分类调查讨论某些标题，其解题的复杂性在于它的条件、结论或问题包含多种不易识别的能够情形对于这类问题，选择恰当的分类规范，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化简化知条件，恰当分解结论假设解题的复杂性于条件或结论的笼统概括，可以思索将条件进展简单化处置，或尝试把结论分解为几个简单的部分，以便各个击破，解出原题例3知等比数列的各项为不等于1的正数，数列满足，设， = 1 * GB2 求数列的前多少项

12、和最大，最大值为多少？ = 2 * GB2 试判别能否存在自然数M，使当nM时，恒成立？假设存在，求出相应的M，假设不存在，请阐明理由； = 3 * GB2 令，试判别数列的增减性条件分析三个条件第一个条件解题手段：等比数列；第二个条件解题手段：两个数列间的关系等比数列的对数；第三个条件解题手段：第二个数列详细化结论分析三个结论，皆属探求性命题结论一最值探求；结论二有界性探求；结论三单调性探求解题关键数列是定义在正整数集上的函数解题评析 = 1 * ROMAN I设等比数列的公比为，那么 ， 数列为等差数列，设公差为d点评：发掘隐含条件数列为等差数列 ， ， 设数列前k项和最大，那么， 前11

13、项和及前12项和为最大，其和为132 = 2 * ROMAN II假设，即，当a1时，n12，不等式不成立；当0a12，不等式成立点评：分类调查讨论 存在，当nM时，恒成立 = 3 * ROMAN III ， n13时，数列为递减数列练习：1、假设函数的最大值为1，求a的值答案：2、知设P：函数在R上单调递减；Q：不等式的解集为R假设P和Q有且仅有一个正确，试求c的取值范围答案：3、设函数，对一切，都有，求证：对一切，都有3、直观化战略直观化战略，就是当我们面临的是一道内容笼统、不易捉摸的标题时，要设法把它转化为笼统鲜明、直观详细的问题，以便凭仗事物的笼统把握题中所涉及的各对象之间的联络，从而

14、找到原题的解题思绪图表直观有些数学题，内容笼统，关系复杂，给了解题意增添了因难，经常会由于标题的笼统性和复杂性，使正常的思想难以进展究竟. 对于这类标题，借助图表直观，利用表示图或表格分析题意，将有助于笼统内容笼统化，复杂关系条理化，使思想有相对详细的依托，便于深化思索，发现解题线索图形直观对某些涉及数量关系的标题，用代数方法求解，计算量偏大这时，无妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，以拓宽解题思绪，找到简捷、合理的解题途径图象直观不少涉及数量关系的标题，都与函数的图象亲密相关假设灵敏运用函数图象的直观性，经常可以以简驭繁，获得简便、巧妙的解法例4某摩托车消费企业，上半年消费摩托车

15、的投入本钱1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为顺应市场需求，方案提高产品档次，适度投入本钱，假设每辆车投入本钱添加的比例为x(0 x1)，那么出厂价相应的提高比例为0.75x，同时估计年销售量添加的比例为0.6x，知年利润写出本年度估计的年利润y与投入本钱添加比例x的关系式；为使本年度的年利润比上年有所添加，问投入本钱添加的比例x应在什么范围内？试题分析列表如下：本钱万元/辆出厂价万元/辆销售量辆去年11.21000今年1+x1.2(1+0.75x)1000(1+0.6x)解题评析依题意和上表数据有 ，整理得 点评：布列关系式时，不仅要紧扣题意，还要留意自变量x的

16、取值范围，特别是运用题的定义域必需同时满足解析式有意义和实践问题有意义，只需准确写出定义域方可防止解答过程的失误或答案的失误要保证本年度的利润比上年度有所添加，当且仅当 将y的关系式代入，解不等式组得答：为保证本年度的利润比上年度有所添加，投入本钱添加的比例x应满足0 x0)，且，求f(x)并证明a1答案：2、知函数定义域为R，对于恣意实数都满足，当时，判别f(x)的奇偶性和单调性；当时，对一切的均成立，务虚数m的取值范围答案：略；3、在中，假设，那么为直角三角形，且C为直角如今请他研讨：假设，那么为何种外形的三角形？答案：锐角三角形5、普通化战略普通化战略，就是当我们面临的是一道计算比较复杂

17、或内在联络不甚明显的特殊问题时，应设法把特殊问题普通化，从而找出一个可以提示事物本质属性的普通情形的方法、技巧或结果，以顺利解出原题例82002理知函数，那么 _练习：1、知函数，且构成一个数列，满足求数列的通项公式，并求之值；证明答案：，；略2、知椭圆和点，假设线段AB与椭圆没有公共点，务虚数a的取值范围答案：6、简接化战略间接化战略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场所甚至找不到解题根据的标题时，就需求改动思想视角，从结论或问题的反面进展思索，以便化难为易解出原题. 所谓正难那么反，说的也就是这个意思例9函数的定义域为R，且求证：a0，b0， 点评：分类讨论 ，即b0，b

18、0 ， a=1又， ，点评：待定系数法 当时，点评：普通化战略 练习：1、假设二次函数在区间上至少存在一点m，使，务虚数p的取值范围答案：2、某正态总体的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间之间的概率参考数据：，答案：0.46423、盒子里装有假设干个球，每个球都记有从1开场的一个号码，设号码为n的球重克假设盒子的容量最多可装35个球，而且符合条件的球无一例外的都被装入盒中，这些球以等能够性不受分量、号码的影响从盒子里取出假设恣意取出一球，试求其分量大于号码数的概率；假好像时恣意取出2球，试求它们分量一样的概率答案：；四、寻根查祖，提高数学解题才干可以经过以下探求途径来提

19、高解题才干：1、研讨问题的条件时，在需求与能够的情况下，可画出相应图形或思绪图协助 思索由于这意味着他对题的整个情境有了明晰的详细的了解2、明晰地了解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即知的，哪些是所求的，即未知的3、深化地分析并思索习题表达中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，要在图中标出用直观符号知元素和未知元素，并试着改动一下标题中或图中各元素的位置，看看能否有重要发现4、尽能够从整体上了解标题的条件，找出它的特点，联想以前能否遇到过类似标题5、仔细思索题意能否有其他不同了解标题的条件有无多余的、相互矛盾的内容？能否还短少条件？6、仔细研讨标题提出的目的经过目的找出哪些定理、法那么、公式同标题或其他元素有联络7、假设在解题中发现有他熟习的普通数学方法，就尽能够用这种方法的言语表示题的元素，以利于解题思绪的展开以上途径特别有利于开场解题者能迅速“登堂入室，找到解题的起步点在制定方案寻求解法阶段，可以利用下面这套探求方法：1、设法将标题与他会解的某一类题联络起来或者尽能够找出他熟习的、最符合知条件的解题方法2、记住：题的目的是寻求解答的主要方向在仔细分析目的时即可尝试能否用他熟习的方