高考数学函数和方程复习

1、第9课时 函数与方程1.函数的零点(1)对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的 (2)方程f(x)0有解函数yf(x)的图象 函数yf(x)有零点基础知识梳理零点与x轴有交点基础知识梳理1.所有的函数都有零点吗？【思考提示】并非任意函数都有零点，只有f(x)0有根的函数yf(x)才有零点思考？(3)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f(x)0的根基础知识梳理f (a)f(b)0(a，b)f(c)0c基础知识梳理2.在上面的条件下，(a，b)内的零点有几

2、个？【思考提示】在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可能有其他零点，个数不确定思考？ 2二分法 (1)二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法基础知识梳理f(a)f(b)0一分为二基础知识梳理 (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步：确定区间a，b，验证 ，给定精确度. 第二步：求区间(a，b)的中点x1.f(a)f(b)0第三步：计算 ：若 ，则x1就是函数的零点；若 ，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若 ，则令ax1(此时零点x

3、0(x1，b)；基础知识梳理f(x1)0f(a)f(x1)0f(x1)f(b)0f(x1)第四步：判断是否达到精确度：即若|ab|0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_答案：a1三基能力强化函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点课堂互动讲练考点一函数的零点(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点课堂互动讲练(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点课堂互动讲练课堂

4、互动讲练例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点(1)f(x)x23x18，x1,8；(2)f(x)x3x1，x1,2；(3)f(x)log2(x2)x，x1,3【思路点拨】判定函数在端点处的函数值正负，然后判断是否存在零点课堂互动讲练【解】(1)法一：因为f(1)200，所以f(1)f(8)0，故f(x)x23x18，x1,8存在零点法二：令x23x180，解得x3或6，所以函数f(x)x23x18，x1,8存在零点课堂互动讲练(2)f(1)10，f(1)f(2)log2210.f(3)log2(32)3log2830.f(1)f(3)0.故f(x)log2(x2)x，x1,3存在零点课堂互

5、动讲练【名师点评】函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨】借助函数零点存在性定理和函数在1,1上的单调性来判断例2f(x)在1,1上是单调递增函数，f(x)在1,1上有且只有一个零点课堂互动讲练【规律小结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断课堂互动讲练课堂互动讲练若例2中x的范围改为R，试回答

6、原来问题互动探究解：f(x)42x2x2，令f(x)0，x2，1.x2是f(x)的极大值点课堂互动讲练1用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得到各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；课堂互动讲练考点二用二分法求方程的近似解2在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间a，b长度尽可能小，且满足f(a)f(b)0.课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨】令方程左边为f(x)，找f(x)存在零点的区间a，b用二分法求f(x)的零点得方程的近似解例3求方程2x33x30

7、的一个近似解(精确度为0.1)【解】设f(x)2x33x3.经计算，f(0)30，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x33x30在(0,1)内有解取(0,1)的中点，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解，课堂互动讲练如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.课堂互动讲练至此，可以看出方程的根落在区间长度小于的区间(0.6875,0.75)内，可以将区间端点作为函数f(x)零点的近似值因此是方程2x33x30精确度为的一个近似解课堂互动讲练【思维总结】求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中，区间长度是否小于精确度，当区间长度小于精确度时，运

8、算即告结束课堂互动讲练有些问题利用零点求参数的范围，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了这也体现了当不是求零点，而是求零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解课堂互动讲练考点三函数零点的综合应用课堂互动讲练(解题示范)(本题满分12分)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根例4【思路点拨】(1)g(x)m有零点，可以结合图象也可以解方程(2)利用图象求解课堂互动讲练课堂互动讲练等号成立的条件是xe， 3分故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则g(x)m就有零点

9、. 5分课堂互动讲练 3分可知若使g(x)m有零点，则只需m2e. 5分课堂互动讲练(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)f(x)中g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点课堂互动讲练f(x)x22exm1(xe)2m1e2.课堂互动讲练其图象对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2. 10分故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，). 12分【误区警示】在讨论g(x)f(x)0有两个相异实数根时，求g(x)的最小值小于f(x)的最大值时不能取到等号课堂互动讲练(本题满分12分)若函数f(x

10、)|4xx2|a，求满足下列条件a的值(1)有两个零点；(2)有三个零点；(3)无零点；(4)有四个零点课堂互动讲练高考检阅解：函数f(x)|4xx2|a有零点，等价于|4xx2|a0有实根，即|4xx2|a有实根，令g(x)|4xx2|，h(x)a，则上述问题等价于g(x)与h(x)有交点，故作出g(x)的图象，由图象可知：课堂互动讲练课堂互动讲练(1)当-a=0或-a4，即a=0或a-4时，g(x)与h(x)有两个交点，即f(x)有两个零点； 4分(2)当a4，即a4时，h(x)与g(x)的图象有三个交点，即f(x)有三个零点. 6 分课堂互动讲练(3)当a0，即a0时，g(x)与h(x)图象无交点；即f(x)无零点. 8分(4)当0a4，即4a0时，g(x)与h(x)图象有四个交点，即f(x)有四个零点. 10分综上所述：(1)当a0或a4时，