近世代数第9讲

1、置换群（pormutationgroup）本讲的教学目的和要求：置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主要要求：1、弄清置换与双射的等同关系。2、掌握置换一轮换一对换之间的联系和置换的奇偶性。3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚

2、了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征一置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais（1811-1832）在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。一.置换群的基本概念定义

3、1.任一集合A到自身的映射都叫做A的一个变换，如果A是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A的一个置换。有限集合A的若干个置换若作成群，就叫做置换群。含有n个元素的有限群A的全体置换作成的群，叫做n次对称群。通常记为Sn.明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n次对称群Sn也就是有限集合A的完全变换群。现以Aai,a2,a3为例，设：AA是A的一一变换。即：aia2,a2a3,a3a.利用本教材中特定的表示方法有：aia2,a?a3,a3ai.由于映射中只关心元素之间的对称关系而不在乎元素的具体内容.故可证A1,2,3.故此.:12,23,31.稍1

4、23做修改：的一个置换的方便之处是显而易见的.当然，上述的置换可记为2；3，3鳥，但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它为三元置换二.置换的乘积设A1,2,3的任二个置换和都是变换，于是也是A的变换.且有:11,22,33.用本教材的记法为:11,22,33.换句话说:2312312331321123例1.计算下列置换的乘积(1),(2)252解：12312312331223112321231231231231233122123123123312123312注意：置换乘积中，是从左到右求变换值，这是与过去的习惯方法不同的.例2.设A

5、1,2,3,那么A的全部一一变换构成的三次对称群TOCo1-5hzS30,1,2,3,4,5.11322213所以S33!b.其中o是恒等变换.即是Sa的单位元.定理1.n次对称群Sn的阶是n!.由于置换群也是变换群，故必蕴含着变换群的一切特征.譬如,不可交换性：三循环置换及循环置换分解.(1)循环置换(轮换)前面我们已经引入了置换的记法，下面，再介绍一种记法设有8元置换:35;5678，的变换过程为142351,即其他元素都不改变，若将不发生改变的文字都删掉，那么上述置换可写成循环置换的形式:14235注意:循环置换是置换的另一种表达形式，它以发生变化的文字的变化次序为序，表达成轮换的形式.

6、虽然表达形式简捷，但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如“8元置换14235”.一般地，每个循环的表达方法不唯一，例如.所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后，整个循环置换的表达形式也就确定了.但习惯上，总是将循环置换中出现的最小文字置在首位.S8的单位（恒等置换）123同上，习惯写成1.定义2.Sn中的一个将i1变到i2，i2变到i3,ik变回到h而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化的置换，叫做k循环置换（或称k循环），记为（i1,i2,i3ik）例3.在S5中.12345123叫作3循环置换.231451234512345叫作5循环置换.234

7、51123451叫作1循环置换.12345(2)循环置换分解很容易发现，并不是每个置换都能成为循环置换.比如5元置换不可能是循环置换，但我们会发现13524(*)可见，虽不是循环置换，但它是循环置换之积。定义3.设i1,i2,ik和j1,j2,js都是循环置换.如果与不含相同的文字，那么称与是不相连的.定理2.每一个n元置换都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积.(循环置换分解定理)【证明】.设是Sn中任一个n元置换，下面对中改变文字的个数用数学归纳法。如果使1,2,3,n中每个文字都不发生改变，则是恒等置换.即1，定理2成立.假设最多变动r1(rn)个文字时，定理成立。现考察变动了r个元的情

8、形：首先在被变动的文字中随意取一个文字i1，从i1出发找到i1在下的象i2,再找i2的象i3,，直到找到ik,其中：TOCo1-5hziki1.于疋i1i2i3iki1因为只变动了rr个文字，故kr.如果kr，则本身就是一个r循环置换：i1,i2,ik定理证毕。如果kr，模仿(*)的做法。i2ikik1irir1inIIi3i1ik1irir1in111211121213iki1iii2inik1irir1Ini1ik1irir1ini1hikik1iir1i1ikik1irir1ikikinini2ik由于中只变动了r个文字，冲只能变动rkr个文字.由归纳假设，1必可以写成若干个不相连的循环

9、置换之还需特别说明：i中的所有循环置换1,2,m中不可能再出现i1,i2,ik,否则,tipigpk因为,m是互不相连,ip只在中出现.将ipig，但前面已有iriri；irinin即1将使ip保持不动，这样就导出了矛盾这恰说明:i1i2ik12m是互不相连的循环置换之积明示：将置换写成不互相连的循环置换之积是表示置换的第二种方法.四.循环置换的性质问题1.S3是一个3阶群（三次对称群），所以S3中每个元素的阶自然都是以有限的，那么具体是多少呢？比如：123123,则2123123132,23121321231.3这里是3-循环置换，恰好的阶是3.这不是巧合，我们有:结论1.k循环置换iii2

10、ik的阶就是k解释：k循环置换iii2ik的一次方则将ii变成i2,次方则将ii变成i3，k次方则将h变回到ii，其余文字也是如此。所以，当mk时，m1而k1.|k.问题2.每个置换都是双射，那么的逆置换也必是双射必也是置换，那么1会是什么样子呢?TOCo1-5hz若将表成循环置14352说明：循环置换的逆置换1就是将每个文字的变动方结论2:k循环置换结论2:k循环置换i1i2ik的逆置换也是循环置换ikik1i2i1问题3.由前已知，两个变换一般是不能交换的，所以，两个置换一般也不能交换的.但是我们会发现.设132,45结论3.两个不相连的k循环置换是可以交换的结论4.任一个k循环置换i1i

11、2iki1i2i1i3i1ik1i1iki1iki2iki3ikik1ik定义4.每个2循环置换都叫做一个对换利用结论4,我们有：定理3.每个n元置换都能表示成若干个对换的乘积。例4.25317(25)(23)(21)(27)(27)(57)(37)(17)结论4是“因地制宜”一一用现有的文字构成对换之积，有时我们需要一些其他文字“加入”对换之中，于是有了结论5.设ji2ik.且i1i2ikji1i2ikji1五.置换的奇偶性.虽然由结论4,5可知,每个置换都能写成对换之积.且对换之积的表示形式不是唯一的.(比如1234213412341234)但对换个数的奇偶性是不会改变的。结论6.任意一个

12、置换表成对换之积时，表示式中对换个数的奇偶性不变.定义5.一个置换叫做偶(奇)置换可以表成偶(奇)数个对换之积.TOCo1-5hz利用结论4知.我们能很容易地判断出循环置换的奇偶性.结论7.一个k循环置换是偶(奇)置换k为奇(偶)数.考察下面的例子：|S4|4!24.而S4中全部偶置换共有12个：(1)；(123);(132);(124);(142);(134);(143);(234);(243);(12)(34);(13)(24);(14)(23)A4那么A4就是S4中的一切偶置换组成的集合，对于置换的乘法，能发现:A4中乘法封闭A4中乘法满足结合律A4中有单位元1A4中每个置换有逆元，逆元

13、也在A4中(由结论2)所以A4是一个群，这个特殊的置换群习惯是上称为4次交换群.定义6.n次对称群Sn中全部偶置换组成的集合An构成一个群.叫做n次交错群.其中：代|的学定义7n次对称群Sn中两个置换，称1为的共轭。定义8设nri2LjO口sL称(斤卫丄Js)为n的一个划分。设n元置换表示为互不交换的轮换的乘积(aia2Lar1)(ar11Lar1r2)L(ar1Lrs1Lar1Lrs),其中卫丄，Q为n的一个划分，称它是由确定的划分。结论8Sn中两个置换，共轭它们确定的划分相同。(证明略)课堂训练:给出下列6兀置换.123456123456123456613542；231654；316452

14、1）求111;2）求3）求,和的组织置换表达式,并求出1和1,4）求|，5）将,和写成对换之积，并判断其奇偶性解:1)解:1)-12)2316543164523)TOCo1-5hz14）43,6;I|3,6;I|45）161245;121346;是奇置换；是奇置换；是奇置换；是偶置换.对称性变换与对称群例1证明等腰三角形的两底角相等。定义1：保持长度不变的变换称为正交变换。定义2;平面上（空间中）图形，若平面上（空间中）的一个正交变换把变成与自己重合，称此变换是的对称性变换。命题1图形的全体对称性变换在变换的乘法下是一个群。（的对称性群）。例1正方形的对称性群。（4个旋转，4个反射）。例2等边三角形的对称性群。（3个旋转，3个反射）定义3设f（xX2L,冷）为域F上一多项式，为任意n元置换，若在f（Xi,x2L,xj的各文字的脚标上进行置换后不变，称f（Xi,X2丄，Xn）为域F上一