平面向量与复数

1、第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及其线性运算医j也酉*HU躺GJILIKKHI適逼P沪闔駅二毬D金圃制導鹽必过教材关1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为ai|a|平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运

2、算律加法求两个向量和的运算交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)三角形法则aB平行四边形法则减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差ab=a+(b)1a三角形法则数乘求实数入与向量a的积的运算(1)1+口M(2)当心0时，入a的方向与a的方向相同；当X0时，入aX卩戸(入归；(Hp)a=入屮p.a；+b)=xaXb的方向与a的方向相反;当X=0时，入a=03.共线向量定理向量a（a工0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数人使得b=入a小题体验（教材习题改编）化简：TOC o 1-5 h z（1）（AB+MB）+BO+OM=；（2）NQ+QP+MNMP=.答案：（1

3、）AB（2）0已知a与b是两个不共线的向量，且向量a+入与一（b3a）共线，贝Uk=,1答案：1（教材习题改编）如图，设ABC三条边的中线AD,BE,CF相交于点G,则下列三个向量：ABCB+CA，GA+GBCG,BFCDEA中，等于零向量的是（填序号）.解析：中，原式=AB+BC+CA=0.中，原式=GA+GB+GC=GC+GC=0.m4ThJ1中，原式=BF+DC+AE=2（BA+AC+BC）=BC工0.所以三个向量中等于零向量的是.答案：必过易措美1.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.2.在向量共线的重要条件中易忽视“az0”，否则入可能不存在，

4、也可能有无数个.3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系.小题纠偏.已知a,b是任意向量，下列条件中可推得a与b共线的有（填序号）.a=b,|a|=|b|,a与b方向相反，a=0或b=0,a,b都是单位向量.解析：由向量共线的定义知填.答案：2.对于向量a与b,下列说法正确的是（填序号）.如果a与b共线，则a=b或a=b;如果a与b共线，则a与b平行；如果a与b共线，则存在实数入使得a=入b解析：a与b共线不能确定其长度关系，故错误；当a工0而b=0时，这样的入不存在，故错误；向量平行和共线是相同的概念，故正确.答案：3若菱形ABCD的边长为2,则|ABCB+CD|=.解析：|ABCB+CD|

5、=|AB+BC+CD|=|AD|=2.答案：2RETANGKAODIANHJPO圍能血4會的级聞53；?鱼伺他圜应庖考点一平面向量的有关概念基础送分型考点自主练透题组练透1.下列说法正确的是.平行向量的方向一定相同；与任意向量都平行的向量一定是零向量;相等的向量一定是平行向量；共线向量一定在同一条直线上.解析：平行向量的方向也可能相反，所以错误；只有零向量与任意向量都平行,所以正确；显然正确；共线向量只要方向相同或相反即可，不一定在同一条直线上，所以错误.答案：2.下列命题中正确的是.若a/b,则|a|=|b|；若|a|b|，则a0,k=1.由题悟法共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对

6、于向量a,b,若存在实数入使a=b则a与b共线.证明三点共线：若存在实数入使AB=入AC，则A,B,C三点共线.(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.即时应用Q如图，在厶ABC中，D,F分别是BC,AC的中点，AE=3AD,A3AB=a,AC=b.（1）用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF；AD（2）求证：B,E,F三点共线.解：（1）延长AD到G,使AD=2AG,连结BG,CG,得至U?ABGC,所以AG=a+b,1AD=2AG=2（a+b）,21AE=3AD=尹+b）,1AF=2AC=?b,1111

7、BE=AEAB=3（a+b）a=（b2a）,nLa1BF=AFAB=?ba=2（b2a）.一一一_i2-(2)证明：由(1)可知BE=3BF,又因为BE,BF有公共点B,所以B,E,F三点共线.一抓基础，多练小题做到眼疾手快丄3圆83中迦豳l倉S3辺0昶_1.(2016苏州测试)在厶ABC中，已知M是BC中点，设CB=a,CA=b,则AM=三三三三三，一三三三=7a,三三4三三=7a,-1解析：AM=AC+CM=-CA+2CB=-b+Qa.1答案：b+尹在四边形ABCD中，AB=a+2b,BC=-4ab,CD=-5a3b,则四边形ABCD的形状是.解析：由已知，得AD=AB+BC+CD=-8a

8、-2b=2(-4a-b)=2BC，故AD/BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形.答案：梯形已知O,A,B,C为同一平面内的四个点，若2AC+CB=0，则向量0C=.(用OA,OB表示)解析：因为AC=OC-OA,CB=OB-OC，所以2AC+CB=2(OC-OA)+(OB-OC)=OC-2OA+OB=0,所以OC=2OA-OB.答案：2OA-OB如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,AB+AD=入AO，贝U入=.解析：因为ABCD为平行四边形，所以AB+AD=AC=2AO,已知AB+AD=入AO，故入=2.答案：2设点M是线段BC的中点，点A在直线BC夕卜，

9、BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=.解析：由|AB+AC|=|AB-AC可知，AB丄AC,则AM为RtABC斜边BC上的中线,1因此，IAM|=2BC|=2.答案：2保咼考，全练题型做到咼考达标（2016南通中学月考）设O是厶ABC的外心，则AO,BO,CO是.（填序号）相等向量；模相等的向量；平行向量；起点相同的向量.解析：由题意，知点O到三个顶点A,B,C的距离相等，所以AO,BO,CO是模相等的向量.显然AO,BO,CO的起点不同且方向均不相同，故填.答案：已知向量a,b,c中任意两个都不共线，但a+b与c共线，且b+c与a共线，则向量a+b+c=.解析：依题意，

10、设a+b=mc,b+c=na,则有（a+b）（b+c）=mcna,即卩ac=mcna.又a与c不共线，于是有m=1,n=1,a+b=c,a+b+c=0.答案：0在？ABCD中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点，贝UMN=（用a,b表示）._TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 3解析：由AN=3NC，得4AN=3AC=3（a+b）,AM=a+?b,所以MN=4（a+f、11b）a+2b=4a+4b.答案：1a+1b44（2016东中学月考）在边长为1的正方形ABCD中，设AB=a,AD=b,AC=c,贝U

11、|ab+c|=.AaUDC解析：如图所示，ab+c=ABAD+AC=ABAD+AB+AD=2AB=2a,*|ab+c|=2.答案：2设O在厶ABC的内部，D为AB的中点，且OA+OB+2OC=0，则ABC的面积与AOC的面积的比值为&-三三三三三三=7a,二三解析：/D为AB的中点，则0D=2（OA+OB）,又0A+OB+2OC=0,二OD=OC,O为CD的中点,又D为AB中点,-SaAOC=二SADC=TABC,4则3=4.SaAOC答案：43.3一一6.设M是厶ABC所在平面上的一点，且MB+3MA+MC=0,D是AC的中点,则LMDJ的值为|BM|解析：/D是AC的中点，延长MD至E，使

12、得DE=MD,-TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark138 o Current Document 113四边形MAEC为平行四边形，MD=?MD=?(MA+MC)MB+?MA+|MDI|MD|BM|3MD|13._ HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 32MC=0,MB=2(MA+MC)=3MD,答案：1若点O是厶ABC所在平面内的一点，且满足|OBOC|=|OB+OC2OA|,则ABC的形状为.TLj解析：OB+OC2OA=OBOA+OCOA=AB+AC,OBOC=CB=ABAC,IAB+AC|=|ABAC|.故

13、AB丄AC,ABC为直角三角形.答案：直角三角形已知D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点，且BC=a,CA=b,给出下列命题:AD=2ab;BE=a+如CF=*a+2bAD+BE+CF=0.其中正确命题的个数为.11解析：BC=a,CA=b,AD=?CB+AC=尹b,故错;11BE=BC+qCA=a+b,故正确；1111CF=2(CB+CA)=2(a+b)=?a+2b故正确；-1111AD+BE+CF=bqa+a+?b+尹qa=0.正确命题为.答案：39.在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB=2GE，设AB=a,AC=b,试用a,b表示AD,AG.-

14、1-11解：AD=q(AB+AC)=交+qb.AG=AB+BG=AB+3BE=AB+3(BA+BC)2-1一-=3AB+(ACAB)=3ab+3Ac11=3a+3b.10.设e1,e?是两个不共线的向量，已知AB=2e18雀CB=e1+3雀CD=2e1求证：A,B,D三点共线；若BF=3e1ke2,且B,D,F三点共线，求k的值.解：(1)证明：由已知得BD=CDCB=(2e1e2)(e1+3e2)=e14e2,TAB=2e18勺，AB=2BD.又AB与BD有公共点B,A,B,D三点共线.(2)由(1)可知BD=e14e2,BF=3e1ke2,且B,D,F三点共线，-BF=入BD(入R),即3

15、e1ke?=入e4入2,解得k=12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.在直角梯形ABCD中，/A=90,/B=30,AB=23,BC=2,点E在线段CD上，若AE=AD+yAB，贝U的取值范围是.解析：由题意可求得AD=1,CD=,艮所以AB=2DC.点E在线段CD上，DE=入DC（0w疋1）.AE=AD+DE，又AE=AD+yAB=AD+2yDC=AD+2DE,/寸=刚入11，即y=2T0W疋1，二0WyW勺即y的取值范围是|0,1.答案:2.如图，在ABC中，延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时，若AE=XAB+yAC,t=入一y,贝Ut的最大值是解析：设AE=kAD(0

16、kw1)，则AE=k(AC+2CB)=kAC+A2(ABAC)=2kABkAC.；AE=入AB+yAC,.=2k,y=k,.t=入一y=3k,0wkw1,.当k=1时，t取得最大值3.答案：33.已知O,A,B是不共线的三点，且OP=mOA+nOB(m,nR).若m+n=1,求证：A,P,B三点共线；若A,P,B三点共线，求证：m+n=1.证明：(1)若m+n=1,则OP=mOA+(1m)OB=OB+m(OAOB),OPOB=m(OAOB),即BP=mBA,BP与BA共线.又BP与BA有公共点B,A,P,B三点共线.(2)若A,P,B三点共线，存在实数人使BP=入BA,0P0B=幷0A0B).

17、=又OP=mOA+nOB.”故有mOA+(n1)OB=xOA入OB,即(m为OA+(n+入一1)OB=0.O,A,B不共线，OA,OB不共线，m入=0,m+n=1.n+Z1=0,第二节平面向量的基本定理及坐标运算KEQ1ANSHUAKGJILUDSHI平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数Z,Z,使a=2e土古2其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a=(X1,y1),b=(x2,y2),贝Ua+b=(x+x?,y+y?),ab=凶一x?,丫厂

18、y?),z=(Z1,入y|a|=X1+y2.向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1,y1),B(x2,y2),贝UAB=(xg&,yg旳),Liiabi=寸凶二xJ+y/.平面向量共线的坐标表示设a=(X1,y1),b=(X2,y2),其中0.aIIb?xty22y1=0.小题体验1.已知向量a=(1,m),b=(m,2)，若aIIb,则实数m=.解析：由aIIb,得1x2m2=0，所以m2=2,即卩m=2.答案：士,22.(教材习题改编)已知a=(2,1),b=(3,4),贝U3a+4b=.答案：(6,19)设ei,e2是平面内一组基向量，且a=ei+2

19、册，b=ei+包则向量ei+e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即ei+e2=a+b.解析：由题意，设ei+e2=ma+nb.因为a=ei+2e2,b=ei+e2，所以ei+e2=m(ei+2e2)+n(ei+e2)=(mn)ei+(2m+n)e2.由平面向量基本定理，得mn=i,2m+n=i,所以m=2,in=3.i答案：2-i必过易措美.若a,b为非零向量，当a/b时，a,b的夹角为0。或i80,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息；3.若a=(xi,yi),b=(x2,y

20、2),贝Ua/b的充要条件不能表示成=*因为x2，y2有可能等于0,应表示为xiy2x2yi=0.小题纠偏i.已知A(i,2),B(4,2)，则把向量AB按向量a=(i,3)平移后得到的向量是.解析：当向量平移(起点和终点同时平移)时，不改变向量的大小和方向，所以所求的向量就是AB=(4,2)(i,2)=(3,0).答案：(3,0)已知直角坐标平面内的两个向量a=(i,2),b=(mi,m+3)，使得平面内的任意一个向量c都可以唯一分解成c=入卅ub贝V实数m的取值范围为.解析：依题意可知a,b为直角坐标平面内的一对基底，所以a,b不共线.当a,b共线时，1x(m+3)2X(m1)=0，解得m

21、=5,所以a,b不共线时，只需m5.故实数m的取值范围为(一a,5)U(5,+).答案：(一汽5)U(5,+a)如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC=a,BD=b,贝UAF=(用a,b表示).解析：AC=a,BD=b,111AD=A0+OD=2AC+1BD=?(a+b).E是0D的中点，EB=3DE.由厶DEFBEA,1得DF=AB,11于是DF=-AB=3(0BOA)1一132BD-1AC.=6ac.11BD=1116a-6b=6(a-b)，1121-AF=AD+DF=2(a+b)+6(ab)=3a+b.1答案：衣+3b石

22、KETAHK.WDJAFiTltO闔能四中字馆巒心级圃鑫词命園圃庖考点一平面向量基本定理及其应用基础送分型考点自主练透题组练透1.在矩形ABCD中，0是其对角线的交点，若BC=e1,DC=e2,则用6,e?表示OC为.1解析：因为0是矩形ABCD对角线的交点，BC=e1,DC=e2,所以OC=?(AD+11AB)=2(BC+DC)=2(e1+e2).1答案：d+e2)2.（易错题）如图，以向量OA=a,OB=b为邻边作11BM=1BC,CN=3CD，用a,b表示OM,ON,解：TBA=OAOB=ab,111BM=6ba=6a6b,15OM=OB+BM=1a+：b.tOD=a+b,1i11-ON

23、=OC+?CD=1OD+6ODTOC o 1-5 h z22=0D=a+b HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 333b，-221511MN=ONOM=3a+3bgb=?a&b.-1E-22-11综上，OM=za+zb,ON=2a+Tb,MN=za-b.63326谨记通法用平面向量基本定理解决问题的一般思路先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面TOC o 1-5 h z几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题.考点二平面向量的坐标运

24、算基础送分型考点一一自主练透题组练透1(2016抚顺二模)若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=0,于，贝Vc可用向量a,b表示为解析：设c=xa+yb,则0,于=(2x-y,x+2y),2x-y=0,x=1所以$5解得$2x+2y=；,4I2、y=1,贝Vc=2a+b.1答案：c=a+b2.已知点M(5,6)和向量a=(1,-2)，若MN=-3a,则点N的坐标为解析：MN=-3a=-3(1,-2)=(3,6),设N(x,y),则MN=(x5,y+6)=(3,6),y+6=6,y=0.答案：(2,0)3.已知A(2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,

25、且CM=NW.3c,CN=-2b,求3a+b-3c；求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.解：由已知得a=(5,-5),b=(6,3),c=(1,8).3a+b3c=3(5,5)+(6,3)3(1,8)=(1563,15324)=(6,42)./mb+nc=(6m+n,3m+8n),6m+n=5,m=1,解得弋3m+8n=5,n=1.设O为坐标原点，TCM=OMOC=3c,OM=3c+OC=(3,24)+(3,4)=(0,20).M(0,20).又tCN=ONOC=2b,-ON=2b+OC=(12,6)+(3,4)=(9,2),N(9,2),MN=(9,18)

26、.谨记通法平面向量坐标运算的技巧向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.考点三平面向量共线的坐标表示重点保分型考点一一师生共研典例引领已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时，kab与a+2b共线；若AB=2a+3b,BC=a+mb,且A,B,C三点共线，求m的值.解：(1)/a=(1,0),b=(2,1),kab=k(1,0)(2,1)=(k2,1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),kab与a+2b共线，2(k2)(

27、1)X5=0,(2)AB=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),BC=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).A,B,C三点共线，第佃页共49页第仃页共49页AB/BC,8m3(2m+1)=0,由题悟法向量共线充要条件的2种形式a/b?a=入(b0);a/b?xiy2x2yi=0(其中a=(Xi,yi),b=(x2,y2).当涉及向量或点的坐标问题时一般利用（2）比较方便.即时应用1.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(k,10),且A,B,C三点共线，则k解析：AB=OBOA=(4k,7),AC=OCOA=(2k,2).va,B,C二二三点共线，AB,AC共线，.一2

28、X(4k)=7X(2k),解得k=答案：22.(2016无锡调研)已知向量a=(2,3),b=(1,2)，若ma+4b与a2b共线，则m的值为.解析：ma+4b=(2m4,3m+8),a2b=(4,1)，由于ma+4b与a2b共线，一(2m4)=4(3m+8)，解得m=2.答案：2hEHOU、讥对E】y.tl磐弟$開因匮1%朋匍窗Q鑫篮匍冏般鸽一抓基础，多练小题做到眼疾手快如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB=a,AD=b,则BE=.（用a,b表示）一一亠11解析：BE=BA+AD+DE=a+b+尹=ba.1答案：b尹（2016南通调研）若AC为平行四边形ABCD的一条对角线

29、，AB=（2,4）,AC=（1,3）,则AD=.解析：由题意可得AD=BC=ACAB=(1,3)-(2,4)=(1,1).答案：(1,1)(2015南京四校联考)已知向量a=(5,2),b=(4,3),c=(x,y),若3a2b+c=0，贝Uc=.23+x=0,解析：由题意可得3a2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以*解得12+y=0,x=23,i所以c=(23,12).y=12,答案：(23,12)(2015苏北四市调研)已知向量a=(1,3),b=(2,1),c=(3,2).若向量c与向量ka+b共线，则实数k=.解析：ka+b=k(1,3)+(2,1)=(k2,3k+1),

30、因为向量c与向量ka+b共线，所以2(k2)3(3k+1)=0,解得k=1.答案：15若三点A(1,5),B(a,2),C(2,1)共线，则实数a的值为.fa.解析：AB=(a1,3),AC=(3,4),据题意知AB/AC,4(a1)=3X(3),即即4a=5,5a=_4.答案：-4保咼考，全练题型做到咼考达标1.已知在？ABCD中，AD=(2,8),AB=(3,4),对角线AC与BD相交于点M，则AMTOC o 1-5 h z11解析：因为在?ABCD中，有AC=AB+AD,AM=2AC，所以AM=(AB+AD)=2X(1,12)=2,6.答案：-2，6一一2一2.(2016徐州一中月考)已

31、知向量a=(m,1),b=(m2).若存在入R，使得a+入b0,则m=.第 页共49页22m+入m=0,解析：/a=(m,1),b=(m2),a+入b0,二(m+入m1+2舟=(0,0)，即$1+2U0,1解得2m=0或2.答案：0或2已知平行四边形ABCD中，AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则CO的坐标为.解析：AC=AB+AD=(-2,3)+(3,7)=(1,10).-OC=!ac=15.V。=-1，-5.答案：一2，一PC=PA+AC=(-2,7),设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向

32、线段首尾相连能构成四边形，则向量d=.解析：设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),又4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0)，解得x=-2,y=-6,所以d=(2,6).答案：(2,-6)(2016盐城调研)如图，点A,B,C是圆O上三点，线段OC与线段TOC o 1-5 h zAB交于圆内一点P.若OC=mOA+2mOB,AP=XAB,则匸.解析：由题意，设OP=nOC.又AP=OP-OA=XOB-OA),故nOCOA=OBOA),n(mOA+2mOB)O

33、A=?(OBOA),即(mn+1)OAmn+1=0,2+(2mn-OB=0.而OA与OB不共线，故有解得入=2mn=0,解析：AQ=PQ-PA=(-3,2),二AC=2AQ=(-6,4).二BC=3PC=(-6,21).答案：(6,21)7.(2015南京模拟)如图所示，在厶ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N，若AB=mAM,AC=nAN，贝Um+n的值为.解析：连结AO,则AO=1(AB+AC)=mAM+2AN.又M,O,N三点共线，mn+1，即m+n=2.2答案：28.P=a|a=(1,1)+m(1,2),mR,Q=b|b=(1,2)+n(2,3

34、),nR是两个向量集合，则Pnq等于.解析：P中，a=(1+m,1+2m),Q中，b=(1+2n,2+3n).1+m=1+2n,m=12,贝,得*1+2m=2+3n.n=7.此时a=b=(13,23).答案：13,239.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(1,2),c=(4,1).求满足a=mb+nc的实数m,n;若(a+kc)/(2ba),求实数k.解得5m=9,8解：(1)由题意得(3,2)=m(1,2)+n(4,1),m+4n=3,所以2m+n=2,(2)a+kc=(3+4k,2+k),2ba=(5,2),由题意得2x(3+4k)(5)X(2+k)=0,解得k=芳.1310.(20

35、16启东模拟)在厶ABC中，已知A(3,1),B(1,0),C(2,3).判断ABC的形状；设O为坐标原点，OD=mOC(mR)，且(ABmOC)/BC，求|OD|.解：由两点间的距离公式，得|AB|=|AC|=5.vAB=(2,1),AC=(1,2),二AB-AC=2-2=0,ABC为等腰直角三角形.由题，可知AB=(-2,-1),OC=(2,3),BC=(1,3),则ABmOC=(2-2m,-13m).又(AB-mOC)/BC，则有3(-2-2m)+(1+3m)=0,故m=-5.3由两点间的距离公式，得|OC|=13,|OC|=13,|OD|=|m|OC|=弩3.三上台阶，自主选做志在冲刺

36、名校向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=入a卩&人卩R),则=解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3).-c=入ab-(1,3)=幷一1,1)+皿6,2),即+6=1,+2尸3,解得=2,尸1,=4.2答案：42.如图，半径为且/COB=30若1的扇形AOB的圆心角为120OC=入OA+jiOB，贝V入+=12，解得233解析：由已知，可得0A丄0C,以0为坐标原点，OC,OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系

37、，则有C(1,0),A(0,1),B(cos30,-sin30),即B-2-,-1.于是OC=(1,0),OA=(0,1),OB=密，-2丿，由C=入OA+QB，得(1,0)=40,1)+胄,-2=I?d-尸3.答案：33.如图，G是厶OAB的重心，P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.设PG=XPQ，将OG用人OP,OQ表示；11设OP=xOA,OQ=yOB，证明：+y是定值.解：OG=OP+PG=OP+入PQ=OP+4OQ-OP)=(1-4OP+入OQ.(2)证明：一方面，由(1)，得OG=(14OP+xOQ=(1-4xOA+入QB；另一方面，G是厶OAB的重心,一一一一

38、21OG=3OM=3x1(OA+OB)=3OA+1OB.而OA,OB不共线,由，得*4x=3,14y=J.解得1=3-3第二节平面向量的数量积与平面向量应用必垃数材美平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0,把数量|a|bCosB叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab=|a|b|cos0,规定0a=0.向量数量积的运算律ab=b_a.(2)(入)b=4ab)=af入b(a+b)c=ac+bc.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(Xi,yj,b=(x2,y2)结论几何表示坐标表小模|a|=x/aa|a|=/x2+yj夹角cos0=-JOJb|X1X

39、2+y1V2cos0j22t22VxytTx2a丄b的充要条件ab=0X1X2+y1y2=0|ab|与|a|b的关系|ab|wJaUbJ|X1X2+y1y2|w寸小题体验1.(2015全国卷n改编)向量a=(1,-1),b=(-1,2)，则(2a+b)a=,解析：法一：a=(1,-1),b=(1,2),a2=2,ab=3,从而(2a+b)a=2a2+ab=43=1.法二：a=(1,1),b=(1,2),2a+b=(2,2)+(1,2)=(1,0),从而(2a+b)a=(1,0)(1,1)=1.答案：12.(教材习题改编)已知向量a,b满足|a|=|b|=2,且ab=2，则a与b的夹角为解析：因

40、为cos=-=所以a,b=f|a|b|23答案:(教材习题改编)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则|ab|解析：|ab|=寸(abf=+b2ab=12+222X1X2cos60=3.答案：3已知两个单位向量ei,e的夹角为3，若向量0=ei2佥，6=3ei+4佥，贝V切b2=解析：bi=ei2勺,b=3ei+4勺,贝Vbib2=(ei2e2)(-3ei+4e2)=3e22eie28盒因为ei,e为单位向量，ei,e2=f,3i所以bib2=32Xi8=6.答案：6必过易措关(i)0与实数0的区别：Oa=0工0,a+(a)=0丰0,a0=0工0;(2)0的方向是任意

41、的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.ab=0不能推出a=0或b=0，因为ab=0时，有可能a丄b.在运用向量夹角时，注意其取值范围0,n.在用|a|=a2求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方.小题纠偏.给出下列说法：若ab0,贝Ua和b的夹角为锐角，若ab0,即i8+4t0，解得t；.但当t=8时，两向量同向，应舍去，故实数t的取值范围是一舟,8U(8,+).答案:(8,+)3.已知向量a=(2cos0,2sin妨，牙，n,b=(0,1)，则a与b的夹角为解析：以坐标原点O为起点，可知向量a和b如图所示，易知它们的夹角为3-5答案：3nKETANUKAUD

42、IANTUPU考点一平面向量的数量积的运算基础送分型考点一一自主练透题组练透1.(易错题)设向量a=(1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2ab平行，那么ab=解析：a+2b=(1+2m,4),2ab=(2m,3)，由题意得3(1+2m)4(2m)=0,则m=2,所以ab=1x答案：5设向量a,b均为单位向量，且|a+b|=1,贝Ua与b的夹角为解析：/|a+b|=1,.a2+2ab+b2=1.2n3.1又|a|=|b|=1,cos=.又a,b0,na,b答案：竽(2016苏州中学检测)如图，已知e1,e2为互相垂直的两个单位向量，则|a+b|=17解析：由题设，知a=壬1?e2,31

43、b=2&2。2,所以a+b=2ei4,所以|a+b|=寸（2&4e2j=寸4e1+16eie2+16e2=20=25.答案：254.（2015天津高考）在等腰梯形ABCD中，已知AB/DC,AB=2,BC=1,/ABC=60点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=3BC,DF=1DC，则AE-AF的值为解析：取BA,BC为一组基底，则AE=BEBA=fBCBA,AF=AB+BC+CF=BA+BC+卷BA=右BA+BC,AE-AF=3BCBA-BA+BC=$|BA|2-IfBA-BC+2|BC|22512=12X418X2X1X2+32918.答案：29谨记通法向量数量积的2种运算方法方法运用提

44、示适用题型定义法当已知向量的模和夹角B时，可利用定义法求解，即ab=|a|b|cos0适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(论，yj,b=(X2,y2),贝Uab=X1X2+y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题考点二平面向量数量积的性质常考常新型考点一一多角探明命题分析平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题，难度适中，属中档题.常见的命题角度有:平面向量的模；平面向量的夹角；题点全练平面向量的垂直.角度一：平面向量的模-、，11.(2015浙江高考)已知ei,e2是平面单位向量，且ei血=若平面向

45、量b满足bei=be?=1，则|b|=.1解析：/e1e2=,|e1|e2|cose1,e2e1,e2=60b,e2=30又Tbe1=be2=10,.b,e1=1|b|=由b6=1,得|b|e1|cos30答案：%32.(2016南京一中检测)若a,b,c均为单位向量，且ab=0,(ac)(b-c)0,则|a+bc|的最大值为.解析：由题意，知a2=1,b2=1,c2=1.由ab=0及(ac)(bc)0,知(a+b)O1.因为|a+bc|2=a2+b2+c2+2ab2ac2bc,所以|a+bc|2=32(ac+bc)=0.T|b|=4|a|,.2|a|2+4|a|2cos=0, HYPERLI

46、NK l bookmark86 o Current Document 12n-cos=,=.答案：(2016南京名校联考)在厶ABC中，AB=(2,3),AC=(1,2)，则ABC的面积为.解析：由题意得，(|AB|AC|)2=(|AB|AC|cosAB,AC)2+(|AB11AC|sinAB,AC)2,即(IAB|AC|)2=(AB-AC)2+(|AB|AC|2sinAB,AC),IAB|AC|sinAB,AC=2-3,1-&abc=2IAB|-AC|sinAB,AC答案：i23角度三：平面向量的垂直(2014重庆高考改编)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1)，且(2a3b

47、)丄c,则实数k=.解析：因为2a3b=(2k3,6),(2a3b)丄c,所以(2a3b)c=2(2k3)6=0,解得k=3.答案：3已知向量AB与AC的夹角为120,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=入AB+AC,且AP丄BC，则实数入的值为.解析：BC=ACAB，由于AP丄BC，所以APBC=0,答案:712即(入AB+AC)(ACAB)=入AB+AC+(x3x2X于=0,解得入=$.AB*AC=9入+4+(入方法归纳平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosB=|a|b|,要注意茨，n.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a丄b?ab=0?|ab|=|a+b|

48、.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2=aa=|a|2或|a|=aa.|a|=a)2=a2翌ab+bl若a=(x,y),则|a|=0 x2+y2.考点三平面向量与三角函数的综合重点保分型考点一一师生共研典例引领(2016苏北四市调研)已知函数f(x)=ab,其中a=(2cosx，寸3sin2x),b=(cosx,1),R.求函数y=f(x)的单调递减区间；在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=1,a=7，且向量=(3,sinB)与n=(2,sinC)共线，求边长b和c的值.解：(1)f(x)=ab=2cos2xV3sin2x=1+cos2x3sin

49、2x=1+2cos2x+,n令2knW2x+3W2kn+nkZ),解得knWxWkn+(kZ),63所以f(x)的单调递减区间为n,nikn6,kn+3jkZ).n(2)/f(A)=1+2cos2A+3-=1,cos2A+n=1.nnx7n又n=订b厂1，aa与b的夹角为?答案：2nT225.给出下列命题：0a=0;ab=ba:a=|a|:(ab)c=a(bc):|ab|ab,故错误.答案：3保咼考，全练题型做到咼考达标1.(2016常州调研)已知向量a=(3,1),b=(0,1),c=(k,3)，若a+2b与c垂直，则k=.解析：因为a+2b与c垂直，所以(a+2b)c=0,即ac+2bc=

50、0,所以.3k+3+23=0，解得k=3.答案：32.(2016洛阳质检)已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2，则向量a与b的夹角为解析：a(ba)=aba2=2,所以ab=3,所以C0S=|a|臥1X6=2,所以a，b=3.答案：n3.(2015盐城调研)平面四边形ABCD中，AB+CD=0,(ABAD)AC=0，则四边形ABCD的形状是.解析：因为AB+CD=0,所以AB=CD=DC，所以四边形ABCD是平行四边形.又(ABAD)AC=DBAC=0,所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形.答案：菱形B4.（2016开封质检）如图，平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1

51、，/A=60,点M在AB边上，且AM=1aB，则DM-DB等于.ja解析：因为DM=DA+AMAM=DA+3AB,DB=DA+AB,saa.-a=j.f-fj.=*、satf=-所以DM-DB=(DA+3ABDA+AB)TOC o 1-5 h z212444=|DA|2+AB|2+3DA-AB=1+3-AD-AB7-4=3-31AD|-AB|cos604x1x2x|a+b|12=a2+2ab+b2=16+2x(16)+64=48,二|a+b|=43.t|4a2b|2=16a216ab+4b2=16x1616x(16)+4x64=768,a|4a2b|=163.=1.2答案：15.(2016江苏

52、太湖高级中学检测)在直角梯形ABCD中，AB/CD,AD丄AB,B=45AB=2CD=2,M为腰BC的中点，贝UMAMD=.=I=IS=_aB1Jg=*a*、解析：由题意，得MAMD=2CB+BA-faa.-=J.a*-=J.-2CB+CD=-4|CB|2+2CBCD-；CB-BA+BACD=-；x(2)2+jx2x1Xcos135xcos135+2x1xcos01+1+2=2.2答案：26.已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2)，若c=a-(ab)b,则|c|=解析：由题意可得ab=2x1+4x(2)=6,c=a-(ab)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),|c|=

53、82+82=82.答案：82AOB中，OA7.（2015湖南师大附中月考）如图所示，在等腰直角三角形TOC o 1-5 h z=OB=1,AB=4AC，贝UOC（OBOA）=.IJ解析：由已知得|AB|=2,|AC|=；hW*J则OC(OBOA)=(OA+AC)AB=OA-AB+AC-AB=/cos+x2答案：-18.在ABC中，/ACB为钝角，AC=BC=1,CO=xCA+yCB，且x+y=1.若函数f(m)=|CA-mCB|(mR)的最小值为申，则|CO|的最小值为.解析：由CO=xCA+yCB,且x+y=1,可知A,O,B三点共线，所以|CO|的最小值为AB边上的高，又AC=BC=1，即

54、O为AB的中点，且函数f(m)=|CA-mCB|的最小值为宁，即点A到BC边的距离为#又AC=1，所以/ACB=120,11从而可得ICO|的最小值为-.答案：129.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.计算：|a+b|,|4a2b|;当k为何值时，(a+2b)丄(kab).解：由已知得,16.2(t2)=0,二t=62;若/C=90，则ACBC=0,即2(6t)+t(t2)=0,无解.满足条件的t的值为2或6也2.若四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC，设点D的坐标为(x,y),则(x4,x=10t,y)=(6t,t2),ly=t2,即D(10t,t2),IOD|=p(10

55、-tf+(t-22=p24t+104,当t=6时，|OD|取得最小值4：2三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.已知a,b是单位向量，ab=0，若向量c满足|cab|=1,则|c|的取值范围是.解析：/a,b是单位向量，|a|=|b|=1.又ab=0,|a+b|=2,|cab|2=c22c(a+b)+2ab+a2+b2=1,2c(a+b)=c2+1,c2+1=22|c|cosq0是c与a+b的夹角).又一1cos耗1,：1Wc2+122|c|,.c222|c|+1W0,.,21w|C|W2+1.答案：21,2+1已知点OABC所在平面内一点，且OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,则点O

56、定为ABC的(填“重心”“垂心”“外心”“内心”中的一个).解析：OA2+BC2=OB2+CA2,OA2OB2=CA2BC2,(OAOB)(OA+OB)=(CA+BC)(CABC),BA(OA+OB)=BA(CABC),BA(OA+OBCA+BC)=0,BA(OA+AC+OC)=0,-BAOC=0,.BA丄OC.同理可得，CA丄OB,CB丄OA,OABC的垂心.答案：垂心已知向量a=(1,2),b=(3,4),c=a+入b氏R).当入取何值时，|c|最小？此时c与b的位置关系如何？当入取何值时，c与a的夹角最小？此时c与a的位置关系如何？解：(1)/c=a+入b(1,2)+%3,4)=(13入

57、2+4?),|c|2=(13%2+(2+4沪=5+10入+25%=25%+52+4,1当匚时，|c|最小,此时c=5，5.又cb=J6)(-3,4)6=5X(3)+孑4=0,b丄c.1当=1时，|c|最小，此时b丄c.5设c与a的夹角为0,贝Ucos0=5+5入1+入:;：5.25?+10H55笊+2入+1若c与a的夹角最小，贝Ucos0最大.t=寸5(t1$+2(t1+1设1+?=t,即?=t1,cos0=1当-=1,t=1时,cos0取得最大值1,此时？=0,c=(1,2),当？=0时，c与a的夹角最小，此时c与a平行.第四节复数HEQ1A芮怦GJILUO5HI必过教材关复数的有关概念复数

58、的概念：形如a+bi(a,bR)的数叫复数，其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,贝Ua+bi为实数；若bz0，贝Ua+bi为虚数；若a=0且0，贝Ua+bi为纯虚数.复数相等：a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,dR).共轭复数：a+bi与c+di共轭?a=c,b=d(a,b,c,dR).复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数.(5)复数的模：向量0Z的模r叫做复数z=a+bi(a,bR)的模，记作|z咸|a+bi|,即|z|=|a+bi|=Ja2+b2.

59、复数的几何意义对应(1)复数z=a+br复平面内的点Z(a,b)(a,bR).-对应_复数z=a+bi(a,bR)平面向量OZ.复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则设习=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),贝U加法：可+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;减法：Z1-z2=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i;乘法：Z1z2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i;除法：Z1=a+bi=a+bicdi=z2c+di(c+dicdi)ac+bdbead臣孑土i(c+di丰0).复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何

60、可，z2,z3C,有z1+z2=z2+z1,(可+z2)+z3=Z1土Z2土?3小题体验TOC o 1-5 h z(2015全国卷I改编)已知复数z满足(z1)i=1+i,贝yz=.答案：2i(教材习题改编)如果(x+y)+(y1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，贝Ux=,y=答案：423.(教材习题改编)ABCD是复平面内的平行四边形，A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,i,2+i,则点D对应的复数为.答案：3+5i必过易措美判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.两个虚数不能比较大小.3.利用复数相等a+bi=c+di列方程时，注意a,b,c,dR的前