知识点29 矩形、菱形与正方形2019

1、一、选择题9（2019苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=4，BD=16将ABO沿点A到点C的方向平移，得到ABO当点A 与点C重合时，点A与点B之问的距离为（ ） A6 B8 C10 D12（第9题）【答案】C【解析】四边形ABCD是菱形，ACBD，AOOCAC2，OBODBD8，ABO沿点A到点C的方向平移，得到ABO，点A与点C重合，OCOA2，OBOB8，COB90，AOAC+OC6，AB10，故选C10（2019温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM=BC，作MNBG交CD于点L，交FG

2、于点N欧几里得在几何原本中利用该图解释了(a+b)(a-b)=a2-b2现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2若点A，L，G在同一直线上，则的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】如图，连接ALGL，PF由题意：S矩形AMLDS阴a2b2，PH，点A，L，G在同一直线上，AMGN，AMLGNL，整理得a3b，故选C9（2019绍兴）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积 ( )A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持

3、不变【答案】D【解析】四边形ABCD和四边形ECFG是矩形，B=F=BCD=ECF=90，又BCE+ECD=ECD+FCD=90，BCE=FCD，BCEFCD； ，BCCD=FCCE，矩形AEFG与矩形ABCD的面积相等，故选D.10 （2019烟台）如图，面积为24的ABCD中，对角线BD平分，过点D作交BC的延长线于点E，则的值为（ ）A B C D 第10题答图【答案】A【解析】连接AC，交BD于点F，过点D作，垂足为M，因为四边形ABCD是平行四边形，所以F是BD的中点，AD/BC，所以，因为BD是 的平分线，所以，所以，所以，所以ABCD是菱形，所以，又因为，所以AC/DE，因为AC

4、/DE，F是BD的中点，所以C是BE的中点，所以，因为四边形ABCD是菱形，所以，所以，所以，在RtBFD中，由勾股定理得，因为四边形ABCD是菱形，所以，因为所以，在RtDCM中，6（2019江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（ ）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 【答案】B【解题过程】具体拼法有4种，如图所示：4（2019株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（）A对角线垂直且相等B四边都互相垂直C四个角都相等D是轴对称图形，但不是中心对称图形【答案】C【解析】根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等但不

5、一定垂直，所以选项A是错误的；矩形相邻的边互相垂直，对边互相平行，所以选项B是错误的；矩形的四个角都是直角，所以四个角都相等是正确的；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以选项D是错误的；故选C.3 （2019娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）A 平行四边形 B 菱形C 矩形D 正方形【答案】C【解析】如图：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， EHFGBD，EHFG 12 BD；EFHGAC，EFHG12 AC，故四边形EFGH是平行四边形，又ACBD，EHEF，HEF90四边形EFGH是矩形故选C10（2019安徽）如图，在正方形ABCD中，点

6、E、F将对角线AC三等分，且AC=12.点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是A. 0 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解题过程】如图，作点F关于CD的对称点F/，连接PF/、PF，则PEPFEF/，根据两点之间线段最知可知此时PEPF的值最小.过点E作EHFF/，垂足为点H，FF交CD于点G，易知EHF、CFG是等腰直角三角形，EHFHFGFGEF2，EF49.根据正方形的对称性可知正方形ABCD的每条边上都有一点P使得PEPF最小值.连接DE、DF，易求得DEDF49，CECF120，故点P位于点B、D时，PEPF9，点P位于点A、C时，PEPF9，该正方形每条边上

7、都有2处点使得PEPF9，共计点P有8处.1.（2019无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.内角和为360B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C2. (2019泰安)如图,矩形ABCD中,AB4,AD2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值是A.2B.4C.2D.【答案】D【解析】F为EC上一动点,P为DF中点,点P的运动轨迹为DEC的中位线MN,MNEC,连接ME,则四边形EB

8、CM为正方形,连接BM,则BMCE,易证BMMN,故此时点P与点M重合,点F与点C重合,BP取到最小值,在RtBCP中,BP.3.（2019眉山）如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=8，过对角线交点O作EFAC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是A1BC2D【答案】B【解析】连接CE，四边形ABCD是矩形，ADC=90，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6，EFAC，OA=OC，AE=CE，在RtDEC中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=（8-DE）2，解得：x=，故选B.4.（2019攀枝花）下列说法错误的是（） A平行四边形的对边相等 B对角线相等的四边形是矩形 C对角

9、线互相垂直的平行四边形是菱形 D正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形【答案】B【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B5.（2019攀枝花）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE4，EC8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G。连接AG，现在有如下四个结论：EAG45；FGFC；FCAG；SGFC14其中结论正确的个数是（） A1 B2 C3 D4【答案】B 【解析】由题易知ADABAF，则RtADGRtAFG（HL）GDGF，DAGGAF又FAEEAB，EAGGAFFAE（BAFFAD）BAD45，所以正确；设GFx，则GDGFx又BE4，CE8

10、，DCBC12，EFBE4CG12x, EG4x在RtECG中，由勾股定理可得82（12x）2（4x）2 ，解得x6.FGDGCG6，又FGC60,FGC不是等边三角形，所以错误；连接DF，由可知AFG和ADC是对称型全等三角形，则FDAG又FGDGGC，DFC为直角三角形，FDCF，FCAG，成立；EC8,SECGECCG24，又，SFCGSECG.错误，故正确结论为,选B【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等高不同底的三角形面积比6 HYPERLINK file:/G:2018中考解析中考数学（解析版）分类汇编cm .（2019金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折

11、叠得到图，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图，其中FM、GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】连接EG,FH交于点O,由折叠得OGF是等腰直角三角形，OFGF正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，（OFFM）2GFGFGF2，GFFMGF，FMGFGF，.故选A7. (2019台州)如图,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,ABEF2cm,BCFG8cm,把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形时,且点D与点G重合,当两张纸片交叉所成的角最小时,tan等于( )A.B.C.D.【答案】D【解析】当点

12、B与点E重合时,重叠部分为平行四边形且最小,两张矩形纸片全等,重叠部分为菱形,设FMx,EMMD8x,EF2,在RtEFM中,EF2+FM2EM2,即22+x2(8x)2,解之得:x,tan,故选D.8. (2019台州)如图是用8块A性瓷砖(白色四边形)和8块B型瓷砖(黑色三角形)不重叠,无空隙拼接而成的一个正方形图案,图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为( )A.:1B3:2C.:1D.:2第10题图【答案】A【解析】如图,是原图的,过点E作EKAC,作EFBC,易证AEK,BEF为等腰直角三角形,设AK为x,则EKCFDFx,AEBDx,KCEFx,，故选A.9 HYPERLI

13、NK file:/G:2018中考解析中考数学（解析版）分类汇编精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 .（2019重庆A卷）下列命题正确的是（）A有一个角是直角的平行四边形是矩形 B四条边相等的四边形是矩形C有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D对角线相等的四边形是矩形【答案】A【解析】根据矩形的定义，易知选项A正确，另外，对角线互相平分且相等的四边形是矩形；三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形12（2019德州）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB1：2，CEDF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BGBC，连接CM有如下结论：DE

14、AF；ANAB；ADFGMF；SANF：S四边形CNFB1：8上述结论中，所有正确结论的序号是（）ABCD【答案】C 【解析】四边形ABCD是正方形，ADABCDBC，CDEDAF90，CEDF，DCE+CDFADF+CDF90，ADFDCE，在ADF与DCE中，ADFDCE（ASA），DEAF；故正确；ABCD，AF：FB1：2，AF：ABAF：CD1：3，ACAB，ANAB；故正确；作GHCE于H，设AFDEa，BF2a，则ABCDBC3a，ECa，由CMDCDE，可得CMa，由GHCCDE，可得CHa，CHMHCM，GHCM，GMGC，GMHGCH，FMG+GMH90，DCE+GCM90

15、，FEGDCE，ADFDCE，ADFGMF；故正确，设ANF的面积为m，AFCD，AFNCDN，ADN的面积为3m，DCN的面积为9m，ADC的面积ABC的面积12m，SANF：S四边形CNFB1：11，故错误，故选C10.（2019遂宁）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q,下列结论：BPD=135；BDPHDBDQ;BQ=1：2;SBDP=,其中正确的有 ( ) A.B.C.D.【答案】D【解析】由正方形ABCD可得BCD=90，BC=DC,由BPC是等边三角形可得BCP=BPC=60，BC=PC,DCP=30

16、，PC=DC,DPC=75，BPD=135，正确；正方形ABCD，CBD=45，HBD=135=BPD，公共角BDP,BDPHDB成立，正确；如图，过Q作QMBC于M，反向延长交AD于N，则RtCMQ中，BCQ=60，设CM=x，则QM=，RtBMQ中，QBM=45，则BM=QM=，因为正方形边长为1，所以+x=1，x=，MQ=,NQ=1-MQ=,DQ;BQ=NQ:MQ=,错误；如图，过点D作BP的延长线的垂线于点E，由知BPD=135，EPD=45，PE=DE，设PE=DE=a，则PB=a,BD=，RtBDE中，由勾股定理可求得，a0,所以SBDP=，故正确；故选D.10.11.12.13.

17、二、填空题15（2019温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知AOB=AOE=90，菱形的较短对角线长为2cm若点C落在AH的延长线上，则ABE的周长为 cm【答案】12+8【解析】连接AC、IC，AC交OI于点M、BO于点N，IC交BO于点P.设AHO=，则COB=IOB=，.点C落在AH的延长线上，A、H、C三点共线.图中的三个菱形是形状大小相同的，CBO=CAO，又BNC=ANO，BCA=AOB=90.BCIO，CMO=BCA=90.CO=HO，HOM=COM=2，+2+=90，则=22.5，即BOI=22.5，PIO=67.5.作QIO=BOI=22.5，交BO于点Q，则

18、PIQ=45，PI=PN=1，IQ=QO =，PO=1+，BO=2+2，AB=BO=2+4，BE=2BO=4+4，ABE的周长为2AB+BE=(4+8)+(4+4)=12+8. 故填：12+8.16（2019绍兴 ）.把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E,F分别是AB,AD的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是 . 【答案】10或8+2或6+2【解析】通过动手操作可得如图所示，再根据周长的定义即可求解图1的周长为1+2+3+26+2；图2的周长为1+4+1+410；图3的周长为3+

19、5+8+2故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2故答案为：6+2或10或8+216（2019杭州）如图，把某矩形纸片 ABCD沿EF，GH折叠(点E，H在AD边上.点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D点，若FPG-90，AEP的面积为4，DPH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于_.【答案】2（5+3）【解析】四边形ABC是矩形，AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA=AB=x，PD=CD=x，AEP的面积为4，DPH的面积为1，AE=4DH，设DH=a，则AE=4a，AEPDPH，=，=，x2=4a2，x=2

20、a或-2a（舍弃），PA=PD=2a，a2a=1，a=1，x=2，AB=CD=2，PE=2，PH=，AD=4+2+1=5+3，矩形ABCD的面积=2（5+3）故答案为2（5+3）.13（2019青岛） 如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在统段AE 上的点G处，折痕为AF. 若AD=4cm ，则CF 的长是为 cm.【答案】6-2【解析】由勾股定理得AE=2,根据题意得GE=2-4,设BF=xcm,则FC=(4-x)cm,所以(2-4)2+x2=22+(4-x)2,解得x=2-2,所以CF=6-2.16（2019淮安）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2

21、，H是AB的中点，将CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tanHAP=.第16题图【答案】4【解析】如图所示，连接PB交CH于点O.第16题答图H是AB的中点，HB=AB=.将CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，HP=HB，PB=2BO=.HP=HB=AB，APB是直角三角形，tanHAP=4.1. (2019泰安)如图,矩形ABCD中,AB,BC12,E为AD中点,F为AB上一点,将AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是_.【答案】2【解析】连接CE,点E是AD的中点,AEEDEG,EGCD,EGCEDC,GCAB,设AFGFx,FBx,在RtF

22、BC中,FB2+BC2FC2,即(x)2+122(x+)2,解之,得:x,在RtAFE中,EF.2.（2019潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD=2将A向内翻折，点A在BC上，记为A，折痕为DE若将B沿EA向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B，则AB=【答案】【解析】由翻折可得AED=AED=AEB=60，ADE=ADE=ADC=30AD平分EDC，ABDE，ACDC，AC=ABAB=ABAC=AB，BC=AD=2AC=1在RtADC中，tan30=DC=AB=3.（2019天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过

23、点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为【答案】【解析】由正方形ABCD可得RtADE,由于AD=12,DE=5，由勾股定理可得AE=13。因为折叠可知，BF垂直平分AG，所以ABF=DAE,又因为AB=AD，BAD=DAE=90，可以证明ABFDAE，得出AF=DE=5，设BF,AE交于点M，根据sinFAM=sinEAD可得AM=，由于折叠可知MG=AM=，从而可求得GE=13-=.4.（2019湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（

24、其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是_图1 图2第16题图【答案】【解析】如答图，延长ET交GH于点N，延长GJ交EF于点M，连接MN，则M、N分别为EF、GH的中点由图1可知AC8，从而ET2TKKM，TM4，在RtETM中，由勾股定理，得EM，从而EF2EM，因此答案为第16题答图5.6 HYPERLINK file:/G:2018中考解析中考数学（解析版）分类汇编cm .7.8.9 HYPERLINK file:/G:2018中考解析中考数学（解析版）分类汇编精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 .10.11.三、解答题24（2

25、019山东省德州市，24，12）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且BAD60，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：ABAH：AE1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由【解题过程】（1）连接AG，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且BAD60，GAECAB30，AEAH，ABAD，A，G，C共线，ABAEADAH，HDEB

26、，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，GCMN，NGOAGE30，cos30，GC2OG，HGND为平行四边形，HDGN，HD：GC：EB1：1（2）如图2，连接AG，AC，ADC和AHG都是等腰三角形，AD：ACAH：AG1：，DACHAG30，DAHCAG，DAHCAG，HD：GCAD：AC1：，DABHAE60，DAHBAE，在DAH和BAE中，DAHBAE（SAS）HDEB，HD：GC：EB1：1（3）有变化如图3，连接AG，AC，AD：ABAH：AE1：2，ADCAHG90，ADCAHG，AD：ACAH：AG1：，DACHAG，DA

27、HCAG，DAHCAG，HD：GCAD：AC1：，DABHAE90，DAHBAE，DA：ABHA：AE1：2，ADHABE，DH：BEAD：AB1：2，HD：GC：EB1：2（2019遂宁）如图，在四边形ABCD中，ADBC，延长BC到E,使CE=BC,连接AE交CD于点F，点F是CD的中点.求证：（1）ADFECF;(2)四边形ABCD是平行四边形.解：（1）证明：ADBC,DAF=CEF,ADF=ECF,点F是CD的中点，DF=CF,ADFECF;（2）ADFECFAD=CE，CE=BC，AD=BC,ADBC，四边形ABCD是平行四边形.24（2019山东滨州，24，13分）如图，矩形AB

28、CD中，点E在边CD上，将BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FGCD交BE于点G，连接CG（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB6，AD10，求四边形CEFG的面积【解题过程】（1）证明：由题意可得，BCEBFE，BECBEF，FECE2分FGCE，FGECEB，FGEFEG，FGFE，3分FGEC，4分四边形CEFG是平行四边形5分又CEFE，四边形CEFG是菱形6分（2）矩形ABCD中，AB6，AD10，BCBF，7分BAF90，ADBCBF10，AF8，DF2设EFx，则CEx，DE6x，8分FDE90，22+（6x）2x2，解得x，12分CE，四边形CEFG的

29、面积是：CEDF213分24（2019年浙江省绍兴市，第24题，14分 ）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M,N分别在边AB,CD上，点E,F分别在BC,AD上，MN,EF交于点P，记=MNEF.（1）若ab的值是1，当MNEF时，求k的值.（2）若的值是，求的最大值和最小值.（3）若的值是3，当点N是矩形的顶点，MPE=60，MP=EF=3PE时，求的值.【思路分析】（1）因为ab的值是1，从而可得四边形ABCD是正方形；可过M作MQCD，FHBC，由题意可证明FHEMQN，从而可得MNEF，从而可求出k的值.（2）由的值是，可得b=2a，要求的最大值和最小值，只要求出MN和EF

30、的取值范围，由题意可知MN的取值范围是2aMNa，EF的取值范围是aEFa.所以要求的最大值，则MN取最长，EF最短；要求的最小值，则MN取最短，EF最长从而可求出的最大值和最小值.（3）连接FN，ME由k3，MPEF3PE，得3，得2，由PNFPME，得2，MENF，设PE2m，则PF4m，MP6m，NP12m，再分两种情形：如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合如图3中，当点N与C重合，分别求解即可【解题过程】23（2019嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展（1）温故：如图1，在ABC中，ADBC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N

31、分别在AB，AC上，若BC6，AD4，求正方形PQMN的边长（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在怎样解题中的方法进行操作：如图2，任意画ABC，在AB上任取一点P，画正方形PQMN，使Q，M在BC边上，N在ABC内，连结BN并延长交AC于点N，画NMBC于点M，NPNM交AB于点P，PQBC于点Q，得到四边形PPQMN小波把线段BN称为“波利亚线”（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NENM，连结EQ，EM（如图3）当tanNBM时，猜想QEM的度数，并尝试证明请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题【解题过程】

32、温故：PN/BC，APNABC，即，解得PN= （2）推理：由画法可得QMN=PNM=PQM=90.四边形PQMN为矩形，MM/ .BNM，同理可得=MN=PN四边形PQMN为正方形.（3）拓展：猜想QEM=90，理由如下：由tanNBM=，可设MN=3k，BM=4k.则BN=5k，BQ=k，BE=2k，=，=，=QBE=EBMQBEBEM.BEQ=BME.NE=NM，NEM=NMEBME+EMN=90，BEQ+NEM=90.QEM=90.（第21题）21（2019浙江省杭州市，21，10分）(本题满分10分)如图.已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G

33、在BC的延长线.设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 QUOTE S2 S2.且S1=S2. (1)求线段CE的长.(2)若点H为BC边的中点，连接HD，求证:HD=HG.【解题过程】（1）设正方形CEFG的边长为a，正方形ABCD的边长为1，DE=1-a，S1=S2，a2=1（1-a），解得，（舍去），即线段CE的长是；（2）证明：点H为BC边的中点，BC=1，CH=0.5，DH=，CH=0.5，CG=，HG=，HD=HG22（2019山东烟台，22，9分）如图，在矩形ABCD中，点P在BC上，将沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点，O为AC上一点，经过点A，P(1)求证：BC是的切

34、线(2)在边CB上截取CF=CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由【解题过程】 （1）证明：连接OP， 第22题答图因为四边形ABCD为矩形，所以，因为APE是由ABP折叠得到，所以APEABP，所以,因为,所以,所以,所以AB/OP,所以,所以,所以BC是的切线（2）解：点F是线段BC的黄金分割点，理由如下： 设CF=x，则CE=x，因为四边形ABCD为矩形，所以，因为APE是由ABP折叠得到，所以APEABP，所以,所以, 在RtADC中，由勾股定理得， ，即，解得（舍去）或， 所以， 因为，所以点F是线段BC的黄金分割点23（2019山东省青岛市，23，10分）问题提出：如图，图

35、是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图是一张ab的方格纸（ab的方格纸指边长分别为a,b的矩形，被分成ab个边长为1的小正方形，其中a2，b2，且a，b为正整数），把图放置在图中，使它恰好盖住图中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 问题探究:为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论.探究一：把图放置在22的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，对于22的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法.探究二：把图放置在32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，

36、共有多少种不同的放置方法？如图，在32的方格纸中，共可以找到2个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有24=8种不同的放置方法.探究三：把图放置在a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在a2的方格纸中，共可以找到 个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法.探究四：把图放置在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在a3的方格纸中，共可以找到 个位置不同的22方格，依

37、据探究一的结论可知，把图放置在a3的方格纸中使它恰好盖住其中的三个小正方形共有 种不同的放置方法.问题解决：把图放置在ab的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图.）问题拓展：如图，图是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图是一个长、宽、高分别为a，b，c（a2，b2，c2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了abc个棱长为1的小立方体，在图的不同位置共可以找到 个图这样的几何体.【解题过程】解：探究三：根据探究二，的方格纸中，共可以找到个位置不同的方格，根据探究一结论可知，每个方格中有4种放置方法，所以在的方

38、格纸中，共可以找到种不同的放置方法；故答案为，；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为，有条边长为2的线段，同理，边长为3，则有条边长为2的线段，所以在的方格中，可以找到个位置不同的方格，根据探究一，在在的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法故答案为，；问题解决：在的方格纸中，共可以找到个位置不同的方格，依照探究一的结论可知，把图放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法；问题拓展：发现图示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为、，则分别可以找到、条边长为2的线段，所以在的长方

39、体共可以找到位置不同的的正方体，再根据探究一类比发现，每个的正方体有8种放置方法，所以在的长方体中共可以找到个图这样的几何体；故答案为21（2019山东省青岛市，21，8分）如图，在口ABCD中对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE,连接CG.（1）求证：ABECDF ; （2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.【解题过程】（1）证明：四边形是平行四边形，点，分别为，的中点，在和中，；（2）解：当时，四边形是矩形；理由如下：，是的中点，同理：，是的中位线，四边形是平行四边形，四边形是矩形13（2019江西省，13，

40、6分）（2）如图，四边形ABCD中，ABCD，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，且OAOD.求证：四边形ABCD是矩形.【思路分析】（2）先利用两组对边分别相等证明四边形是平行四边形，再利用对角线相等证明四边形是矩形.【解题过程】解：（2）ABCD，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD互相平分，又OAOD，AC=BD，四边形ABCD是矩形.25（2019娄底）如图（13），点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AECG，AHCF （1）求证：AEHCGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由（3）请探究四边形EFGH的周

41、长的一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由【解题过程】（1）证明：四边形ABCD为矩形， AC90， 又AECG，AHCF， AEHCGF （SAS） （2）四边形EFGH是平行四边形理由：由（1）中AEHCGF得HEFG，在矩形ABCD中有BD90，ABCD，BCAD，且有AECG，AHCF，HDBF，BEDGBEFDGHEFGH，四边形EFGH为平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平行四边形） （3）四边形EFGH的周长的一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长 理由如下：如图13-1，连结BD，设AE=CG=a，AH=CF=b，结合矩形ABCD中，AB=CD，BC=AD，

42、不妨设HD=BF=c，BE=DG=d 由勾股定理得，； 又HE+HGBD又四边形EFGH为平行四边形，四边形ABCD为矩形；四边形EFGH的周长的一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长，当E、F、G、H为矩形ABCD的四边中点时，四边形EFGH的周长的一半等于矩形ABCD一条对角线长23（2019益阳）如图，在RtABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作O交AC于点N，延长MN至D，使NDMN，连接AD、CD，CD交圆O于点E.(1)判断四边形AMCD的形状，并说明理由;(2)求证：NDNE；(3)若DE=2，EC3，求BC的长.第23题图【解题过程】解：(1)四边形AMCD是菱形，理由如

43、下：M是RtABC中AB的中点，CM=AM.CM为O的直径，CMM=90，MDAC，AN=CN.又ND=MN，四边形AMCD是菱形.(2)四边形CEM为O的圆内接四边形，CEN+CMN=180.又CEN+DEN=180，CMN=DEN.四边形AMCD是菱形，CD=CM，CDM=CMN.DEN=CDM，ND=NE.(3)CMN=DEN，MDC=EDN，MDCEDN，.设ND=x，则MD=2x，解得x=5或x=-5(不合题意，舍去)，MN=.MN为ABC的中位线，BC=2MN，BC=2.22（2019长沙）（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G

44、（1）求证：BE=AF；（2）若AB=4，DE=1，求AG的长【解题过程】（1）证明：四边形ABCD是正方形，BAE=ADF=90，AB=AD=CD，DE=CF，AE=DF，在BAE和ADF中，AB=AD、BAE=ADF、AE=DF，BAEADF（SAS），BE=AF；（2）解：由（1）得：BAEADF，EBA=FAD，GAE+AEG=90，AGE=90，AB=4，DE=1，AE=3，BE=5，在RtABE中，ABAE=BEAG，AG=27（2019陇南）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是ABC的外角ACH的平分线上一点，且A

45、MMN求证：AMN60点拨：如图，作CBE60，BE与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连接EM易证：ABMEBM（SAS），可得AMEM，12；又AMMN，则EMMN，可得34；由3+14+560，进一步可得125，又因为2+6120，所以5+6120，即：AMN60问题：如图，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，且A1M1M1N1求证：A1M1N190解：延长A1B1至E，使EB1A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1B1C1，EB1M1中90A1B1M1，EB1C1是等腰直

46、角三角形，B1EC1B1C1E45，N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，M1C1N190+45135，B1C1E+M1C1N1180，E、C1、N1，三点共线，在A1B1M1和EB1M1中，A1B1M1EB1M1（SAS），A1M1EM1，12，A1M1M1N1，EM1M1N1，34，2+345，4+545，125，1+690，5+690，A1M1N118090901.（2019衢州）已知，如图，在菱形ABCD中，点E.F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连接AE，AF.求证：AE=AF.证明：四边形ABCD是菱形，AB=AD.B-D. BE=DF，ABEADF.A

47、E=CF. 2.(2019宁波)如图,矩形EFGH的顶点E,C分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.(1)求证:BGDE;(2)若E为AD中点,FH2,求菱形ABCD的周长.解：(1)在矩形EFGH中,EHFG,EHFG,GFHEHF.BFG180GFH,DHE180EHF,BFGDHE,在菱形ABCD中,ADBC,GBFEDH,BGFDEH(AAS),BGDE;如图,连接EG,在菱形ABCD中,ADBC,ADBC,E为AD中点,AEED,BGDE,AEBG,四边形ABGE是平行四边形,ABEG,在矩形EFGH中,EGFH2,AB2,菱形周长为8.23（2

48、019株洲）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG（1）求证：DOGCOE；（2）若DGBD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM，求正方形OEFG的边长【解题过程】（1）证明：如图，正方形OEFGGO=EO,GOE=90，正方形ABCDOD=OC，DOC=90GOE=DOC，GOE-DOE=DOC-DOE,即DOG=COE，DOGCOE；（2）DGBD，ACBD，DGAC，GDM=OAM，DMG=AMO,GDMOAM，AD=2，AMDM=1.5，AO=，GD=，RtOGD中，OG2=OD2+DG2OG=正方形OEFG

49、的边长为3.（2019湖州）如图，已知在ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若AFB90，AB6，求四边形BEFD的周长第21题图解：（1）D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，EFAB，DFBC四边形BEFD是平行四边形（2）AFB90，AB6，D点是AB的中点，DFDBAB3平行四边形BEFD是菱形BEEFDFBD3四边形BEFD的周长为4DF124.（2019攀枝花）如图，在ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BDCE求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）BEC3ABE解：（1）连接

50、DECD是AB边上的高, CDABADC90AECEDEACCEAEBDCE,DEBD点D在线段BE的垂直平分线上（2）BDDE,ADE2ABE2DEBDEAE,A2ABEBECABEA3ABE5.（2019凉山）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，E是OC上一点，连接EB.过点A作AMBE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OE = OF. 证明：在正方形ABCD中，ACBD，AMBE，AOF=BOE=AME=90，FAO+AEB=EBO+AEB=90，FAO=EBO，AC=BD，OA=AC，OB=BD，OA=OB，AOFBOE（AAS），OE = OF.6 HYPERLI

51、NK file:/G:2018中考解析中考数学（解析版）分类汇编cm .(2019枣庄)如图,BD是菱形ABCD的对角线,CBD75.(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD与F(不要求写作法,保留作图痕迹);(2)在(1)条件下,连接BF,求DBF的度数.解：(1)如图所示,即为所求的图形(2)连接BF,EF垂直平分AB,FAFB,设AABFx,则DFBA+ABF2x,在菱形ABCD中,ADBC ,AD AB ,CBD75,ADBCBD75,在ABD中,AD AB ,ABDADB75,DBF75x,在BDF中,DFB2x,ADB75,DBF75x,DFB+ADB+DBF

52、180,x30,DBF457.(2019枣庄)在ABC中,BAC90,ABAC,ADBC于点D.(1)如图1,点M,N分别在AD,AB上，且BMN90,当AMN30,AB2时,求线段AM的长;(2)如图2,点E,F分别在AB,AC上,且EDF90,求证:BEAF;(3)如图3,点M在AD的延长线上,点N在AC上,且BMN90,求证:AB+ANAM.解：(1)在ABC中,ABAC,ADBC于点D,BDDC,BADBAC,BAC90,BAD45,在RtABD中,BAD+ABD90,ABDBAD45,ADBD,AB2,ADBDAB,BMN90,AMN30,BMD60,在RtBMD中,MD,AMADM

53、D;(2)ADBC,BDE+EDA90,EDF90,EDA+ADF90,BDEADF,在ABC中,BAC90,B+C90,ADBC,DAC+C90,BDAF,ADBD,BEDAFD(ASA),BEAF;(3)过点M作MEAB于点E,作MFAC于点F,MEBMFN90,AM平分BAC,MEMF,在四边形AEMF中,BACMEBMFN90,四边形AEMF是矩形,EMF90,EMN+NMF90,BMN90,BME+EMN90,BMENMF,BMENMF(ASA),BENF,在矩形AEMF中,MEMF,矩形AEMF是正方形,AEAFAM,AB+ANAE+AF2AMAM.8.（2019潍坊）如图1，菱形

54、ABCD的顶点A，D在直线l上，BAD=60，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转（030），得到菱形ABCDBC交对角线AC于点M，CD交直线l于点N，连接MN（1）当MNBD时，求的大小（2）如图2，对角线BD交AC于点H，交直线l于点G，延长CB交AB于点E，连接EH当HEB的周长为2时，求菱形ABCD的周长解：（1）MNBD又CB=CDMB=ND在ABM和ADN中AB=AD，ABM=ADN，BM=DNABMADNBAM=DAN又DAN=BAM=BAM=BAB=BAC=BAD=15即=15（2）在ABE和ADG中，ABE=ADG，EAB=GAD，AB=ADABEADGEB=GD，AE

55、=AG在AHE和AHG中，AE=AG，EAH=GAH，AH=AHAHEAHGEH=GHHEB的周长为2EH+EB+BH=2GH+GD+BH=2BD=BD=2菱形ABCD的周长为89 HYPERLINK file:/G:2018中考解析中考数学（解析版）分类汇编精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 .(2019泰安)如图,四边形ABCD是正方形,EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且CEF90,FGAD,垂足为点G.(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明;(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.解：(1)AGFG.证明如下:在BC边上取BMBE,连接EM,AF,四边形ABCD是正方形,ABBC,AECM,CEF90,AEF+BEC90,BEC+BCE90,AEFBCE,又CEEF,AEFMCE,EAFEMC135,又BAD90,DAF45,又FGAD,AGFG.(2)DHGH.证明如下:延长GH交CD于点Q,四边形ABCD是正方形,ADCD,FGAD,FGCD,GFHDCH,又GHFCHQ,FHCH,FGHCQH,GHHQ,FGCQ,AGCQ,DGDQ,DGQ是等腰三角形,DHGH.10.(201