14462-材料力学第六章

1、1 CHAPTER 6 弯 曲 变 形 DEFORMATION OF BEAMS DUE TO BENDING目录2第六章 弯曲变形6-1 概述6-2 挠曲线的近似微分方程6-3 用积分法求梁的变形6-4 用叠加法求梁的变形6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录目录36-1 概 述7-1目录456-1 概 述目录66-1 概 述目录76-2 挠曲线的近似微分方程1.基本概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠度y：截面形心在y方向的位移转角：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正7-2目录向上为正82.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到

2、：忽略剪力对变形的影响6-2 挠曲线的近似微分方程目录9由数学知识可知：略去高阶小量，得所以6-2 挠曲线的近似微分方程目录10 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为： 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。6-2 挠曲线的近似微分方程目录116-3 用积分法求梁的变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：7-3目录12 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件 弹簧变形6-3 用积分法求梁的变形目录13例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的

3、EI已知。解：1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF6-3 用积分法求梁的变形目录144）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF6-3 用积分法求梁的变形目录15例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。解：1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC 段：CB 段：6-3 用积分法求梁的变形目录163）列挠曲线近似微分方程并积分AC 段：CB 段：6-3 用积分法求梁的变形目录174）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件

4、光滑连续条件6-3 用积分法求梁的变形目录185）确定转角方程和挠度方程AC 段：CB 段：6-3 用积分法求梁的变形目录196）确定最大转角和最大挠度令 得，令 得，6-3 用积分法求梁的变形目录20 比较上述结果可知，如用跨中挠度来代替最大挠度，其最大误差仅为2.65%。 因此，在简支梁中，不论受什么荷载作用，只要挠曲线上无拐点，最大挠度值都可用跨中挠度来代替，其精度能够满足工程计算的要求。 21讨 论积分法求变形有什么优缺点？6-3 用积分法求梁的变形目录226-4 用叠加法求梁的变形 设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有： 若梁上只有第i个载

5、荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为 ，挠度为 ，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，7-4目录23故由于梁的边界条件不变，因此重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。6-4 用叠加法求梁的变形目录24例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解：6-4 用叠加法求梁的变形目录25yC1yC2yC33） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和 6-4 用叠加法求梁的变形目录26例4 已

6、知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形 为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。 解：6-4 用叠加法求梁的变形目录273）将结果叠加 2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。 6-4 用叠加法求梁的变形目录28讨 论叠加法求变形有什么优缺点？6-4 用叠加法求梁的变形目录296-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.刚度条件 建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角

7、：7-5目录30 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。 B1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为： 解6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录例5 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。31例6 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。B2）由刚度条件确定轴的直径：6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录326-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施1）选择合理的截面形状目录332）改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录342）改善结构形式，减少弯矩数值改变载荷类型6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录3