自动控制原理课件 中国水利水电出版社 第五章（ＰＰＴ）

1、第5章 控制系统的频域分析 1 5.1 频率特性的基本概念 5.2 典型环节的奈奎斯特图 5.3 系统开环奈奎斯特图5.4 典型环节的伯德图 5.5 系统开环伯德图5.6 奈奎斯特稳定判据 5.7 控制系统的相对稳定性 第5章 控制系统的频域分析第5章 控制系统的频域分析 2 频域分析法特点 研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化规律 由开环频率特性研究闭环稳定性及性能 图解分析法 有一定的近似性第5章 控制系统的频域分析 3 5.1 频率特性的基本概念例 RC 电路如图所示，ur(t)=Asinwt, 求uc(t)=?建模第5章 控制系统的频域分析 4 5.1.1 频率特性的概念 设有稳定

2、的线性定常系统： 设有正弦输入信号： 系统响应的拉氏变换5.1 频率特性的基本概念第5章 控制系统的频域分析 5 其中第5章 控制系统的频域分析 6 令第5章 控制系统的频域分析 7 比较：结论： 对于稳定的线性定常系统，由正弦输入产生的稳态输出分量仍然是与输入同频率的正弦函数，而幅值与相角的变化是频率 的函数，且与系统数学模型有关。第5章 控制系统的频域分析 8 频率特性频率特性的定义式： 频率特性：在正弦信号作用下，系统的输出稳态分 量与输入量复数之比。表征输入输出幅 值、相位上的差异。第5章 控制系统的频域分析 9 频率特性表征系统对正弦信号的三大传递能力：同频、变幅、变相。相频特性 ：

3、正弦输入下，输出响应中与输入同频率的 谐波分量与输入谐波分量的相位之差。幅频特性 ：正弦输入下，输出响应稳态分量与输入 正弦分量的幅值之比。第5章 控制系统的频域分析 10 例 系统结构图如图所示, r(t)=3sin(2t+30), 求 cw(t)。第5章 控制系统的频域分析 11 5.1.2 频率特性的表示方法幅频相频频率特性第5章 控制系统的频域分析 12 代数形式： 设系统或环节的传递函数为 令 ，可得系统或环节的频率特性 其中 为频率特性的实部，称为实频特性 为频率特性的虚部，称为虚频特性 第5章 控制系统的频域分析 13 式中第5章 控制系统的频域分析 14 其中： 则：第5章 控

4、制系统的频域分析 15 1.奈奎斯特图：画法：对于某个特点频率 下的 ，可以在复平面用一个向量表示，向量的长度为 ，向量的相为 ，当 变化时，向量 的端点在复平面上绘出的轨迹就是奈奎斯特图。第5章 控制系统的频域分析 16 2. 对数频率特性曲线（Bode图） 对数频率特性曲线是将频率特性表示在半对数坐标中。 对数频率特性由对数幅频和对数相频两条曲线组成。 对数频率特性曲线：横坐标是频率 ，并按对数 分度，单位为弧度/秒 。在横坐标上，距离是按照 的常用对数 来刻度的，坐标上任意两点 和 之间的距离为 ，而不是 。频率 每变化10倍称为一个十倍频程，记做dec，每个dec长度一样。 特点：第5

5、章 控制系统的频域分析 17 对数幅频曲线：纵坐标按 线性分度，单位为分贝（db）。 称为对数幅值，幅值每增大十倍，对数幅值就增加20dB。对数相频曲线：纵坐标按 线性分度，单位为度 第5章 控制系统的频域分析 18 第5章 控制系统的频域分析 19 3. 对数幅相特性（尼克尔斯图） 将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对数幅值 作纵坐标（单位为分贝）、以相位移 作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。 第5章 控制系统的频域分析 20 5.2 典型环节的奈奎斯特图 比例环节 微分环节 积分环节 惯性环节第5章 控制系统的频域分析

6、 21 惯性环节的幅相频率特性曲线实际上是一个圆，圆心为 ，半径为 。第5章 控制系统的频域分析 22 例 系统的幅相曲线如图所试，求系统的传递函数。由曲线形状有由起点：由j0：由j1：第5章 控制系统的频域分析 23 一阶微分不稳定惯性环节第5章 控制系统的频域分析 24 振荡环节第5章 控制系统的频域分析 24 第5章 控制系统的频域分析 25 谐振频率wr 和谐振峰值Mr 例4:当 ， 时第5章 控制系统的频域分析 26 例 系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。由曲线形状有由起点：由j(w0)：由|G(w0)|：第5章 控制系统的频域分析 27 不稳定振荡环节第5章 控制系统的频域分析

7、28 二阶复合微分第5章 控制系统的频域分析 29 5.3 系统开环奈奎斯特图1. 求A(0)、 (0)；A()、 ()；2. 补充必要的特征点，根据A()、 () 的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。第5章 控制系统的频域分析 30 例6 起点 终点 第5章 控制系统的频域分析 31 例7 第5章 控制系统的频域分析 32 例8 ,画G(jw)曲线。渐近线：与实轴交点：第5章 控制系统的频域分析 33 5.4 典型环节伯德图第5章 控制系统的频域分析 34 幅值相乘 = 对数相加，便于叠加作图；纵轴横轴坐标特点特点按 lgw 刻度，dec “十倍频程”按 w 标定，等距等比“分贝”

8、可在大范围内表示频率特性； 利用实验数据容易确定 L(w),进而确定G(s)。第5章 控制系统的频域分析 35 比例环节 微分环节 积分环节第5章 控制系统的频域分析 36 惯性环节第5章 控制系统的频域分析 37 一阶微分第5章 控制系统的频域分析 38 振荡环节第5章 控制系统的频域分析 39 二阶复合微分第5章 控制系统的频域分析 40 例 根据Bode图确定系统传递函数。解. 依图有转折频率第5章 控制系统的频域分析 41 解. 依图有例 根据Bode图确定系统传递函数。第5章 控制系统的频域分析 42 对数幅频特性 = 组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。 对数相频特性 =

9、组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。5.5 系统开环伯德图第5章 控制系统的频域分析 43 绘制开环系统Bode图的步骤 化G(jw)为尾1标准型 顺序列出转折频率 确定基准线 叠加作图例10.2 惯性环节0.5 一阶复合微分1 振荡环节基准点斜率一阶惯性环节 -20dB/dec复合微分 +20dB/dec二阶振荡环节 -40dB/dec复合微分 -40dB/dec 惯性环节 -20 一阶复合微分 +20w=1 振荡环节 -40最小转折频率之左的特性及其延长线第5章 控制系统的频域分析 44 （5） 检查 L(w) 最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec 转折点数=(惯性)+(一阶

10、复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分) j(w) -90(n-m)第5章 控制系统的频域分析 45 基点 例2 ，绘制Bode图。 解 标准型 转折频率 基准线 作图斜率 检查 L(w) 最右端斜率=-20(n-m)=0 转折点数 = 3 j(w) 最终趋于-90(n-m)=0 第5章 控制系统的频域分析 46 在右半s平面存在开环零点或开环极点的系统非最小相角系统第5章 控制系统的频域分析 47 第5章 控制系统的频域分析 48 升降对应第5章 控制系统的频域分析 49 升降不对应第5章 控制系统的频域分析 50 第5章 控制系统的频域分析 51 第5章 控制系统的频域分析 52 5.6 频

11、域稳定判据 系统稳定的充要条件 全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性代数稳定判据 Ruoth判据 由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性 频域稳定判据 Nyquist 判据 对数稳定判据 第5章 控制系统的频域分析 53 F(s)的特点 F(s)的极点 pi : 开环极点零点 zi : 闭环极点个数相同,均为n个F平面上的坐标原点是G平面上的（-1，j0）点辅助函数F(s) 第5章 控制系统的频域分析 54 幅角定理： 则对应与S平面下除了有限的奇点之外的任意一点， F(S)为解析函数，即为单值、连续的函数。S平面F（S）平面第5章 控制系统的频域分析 55

12、幅角原理 设S平面上的封闭曲线 包围了复变函数F(S)的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F(S)的任一零点和极点，当复变量S沿封闭曲线 顺时钟方向移动一周时，在F(S)平面上的映射曲线逆时针包围坐标原点R=P-Z周。第5章 控制系统的频域分析 56 奈氏路径 幅角原理要求 奈氏路径不能经过F(S)的奇点。无处于虚轴上的开环极点（开环无积分环节或振荡环节）第5章 控制系统的频域分析 57 其中Z是右半s平面中闭环极点的个数，P是右半s平面中开环极点的个数，N是G平面上开环奈奎斯特图逆时针方向包围（-1，j0）点的圈数。奈奎斯特稳定判据第5章 控制系统的频域分析 58 例：绘制开环传递函数的乃

13、奎斯特图并判定系统的稳定性。用奈氏稳定判据判断系统的稳定性闭环系统稳定 第5章 控制系统的频域分析 59 例: 系统开环传递函数为 没有极点位于右半s平面，P=0。 第5章 控制系统的频域分析 60 闭环系统稳定 闭环系统不稳定 第5章 控制系统的频域分析 61 例:系统开环传递函数为 解： 第5章 控制系统的频域分析 62 闭环系统不稳定 二型系统第5章 控制系统的频域分析 63 闭环系统稳定 第5章 控制系统的频域分析 64 轨线通过（-1，j0)点， 闭环系统临界稳定第5章 控制系统的频域分析 65 对数频率稳定判据第5章 控制系统的频域分析 66 对数频率稳定判据: 若系统开环传递函数

14、P个位于右半s平面的特征根，则当在 的所有频率范围内，对数相频特性曲线 ( 含辅助线 )与 线的正负穿越次数之差等于P/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。 第5章 控制系统的频域分析 67 例： 闭环系统在s右半平面有2个根第5章 控制系统的频域分析 68 根据奈氏判据，对于开环稳定的最小相位系统，根据开环幅相曲线 相对 点的位置不同，对应闭环系统的稳定性有三种情况： (1)当开环幅相曲线 包围点 时，闭环系统不稳定； 5.7 控制系统的相对稳定性第5章 控制系统的频域分析 69 (2)当开环幅相曲线 通过点 时，闭环系统处于临界稳定状态； (3)当开环幅相曲线 不包围点 时，闭环系统稳定

15、。 可见，开环幅相曲线靠近 点的程度表征了系统的相对稳定性，幅相曲线距离 点越远，闭环系统的相对稳定性越高。开环幅相曲线越靠近 点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。 第5章 控制系统的频域分析 70 即： 相位裕度：开环系统频率特性的幅值为1时，系统的 开环系统频率特性的相位角与 之和，记为-1 1 系统的幅值穿越频率 满足：5.7.1 相位裕度或第5章 控制系统的频域分析 71 相位裕量的物理意义： 对于闭环稳定系统，如果开环系统频率特性的相 位角再滞后 度，则系统处于临界状态；若开环系统频 率特性的相位角滞后大于 度，系统将变成不稳定。第5章 控制系统的频域分析 72

16、第5章 控制系统的频域分析 73 正相位裕量 负相位裕量 稳定系统 0 dB 不稳定系统 0 dB 第5章 控制系统的频域分析 74 幅值裕度：开环系统频率特性的相位角为 时，系统开环频率特性幅值的倒数。 称为相位穿越频率 满足：即：-1 1 5.7.2 幅值裕度第5章 控制系统的频域分析 75 增益裕量的物理意义： 对于闭环稳定系统，如果系统的开环增益增大 倍，则系统处于临界稳定状态；如果系统的开环增益增大 倍以上，系统将变成不稳定。 第5章 控制系统的频域分析 76 第5章 控制系统的频域分析 77 结论: 1.穿过 的幅频特性斜率以-20dB/十倍频为宜，一般最大不超过-30dB/十倍频

17、。 2.低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段有斜率更大的线段可以提高系统的稳态指标；高频段有斜率更大的线段可以更好地抑制高频干扰。 第5章 控制系统的频域分析 78 3.中频段的穿越频率 的选择，决定于系统暂态响应速度的要求。 4.中频段的长度对相位裕量有很大影响，中频段越长，相位裕量越大。第5章 控制系统的频域分析 79 5.6 闭环系统频率特性第5章 控制系统的频域分析 80 1. 谐振峰值Mp 定义：是闭环系统幅频特性的最大值。通常，Mp越大，系统单位过渡特性的超调量%也越大。 2. 谐振频率p 定义：是闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。 第5章 控制系统的频域分析 81 3. 带

18、宽频率b 定义：闭环系统频率特性幅值，由其初始值M(0)减小0.707M(0)时的频率（或由=0的增益减低3分贝时的频率） 频带越宽，上升时间越短，但对于高频干扰的过滤能力越差。 4. 剪切速度 定义：是指在高频时频率特性衰减的快慢。在高频区衰减越快，对于信号和干扰两者的分辨能力越强。 但是往往是剪切速度越快，谐振峰值越大。第5章 控制系统的频域分析 82 单位负反馈系统的闭环频率特性为 幅频特性 相频特性5.6.1 开环频率特性与闭环频率特性的关系第5章 控制系统的频域分析 83 第5章 控制系统的频域分析 84 等M圆图 设 当 时， 5.6.2 等M圆图和等N圆图 显然，在复平面上，它是

19、通过点 时且平行于虚轴的直线 。第5章 控制系统的频域分析 85 第5章 控制系统的频域分析 86 2. 等N圆图第5章 控制系统的频域分析 87 坐标系 直角坐标系开环L() 和 ()； 等M曲线 令M为常数, 为变量,依次计算值对应的L()。 等N曲线 令N为常数, 为变量,依次计算值对应的L()。5.6.3 尼柯尔斯图线第5章 控制系统的频域分析 88 第5章 控制系统的频域分析 89 例：考虑一个单位反馈控制系统，其开环传递函为 试确定增益K值，使得 解：为了确定增益，第一步工作是画出下列函数的 尼氏图。 图中， 在=35时与M=1.4dB的轨迹相切，所以 闭环系统的谐振峰值为Mp=1

20、.4dB=1.18，谐振频率为 =35。 第5章 控制系统的频域分析 90 改变K值， 将上下移动，可方便的看出K与闭环系统谐振峰值、谐振频率、频带宽的影响。第5章 控制系统的频域分析 91 5.6.4 非单位反馈系统的闭环频率特性第5章 控制系统的频域分析 92 求非单位反馈系统的频率特性的步骤如下 ： 1.画出开环传递函数G(j)H( j)的Nichols图； 2.由开环Nichols图得到对应的单位反馈的闭环系统的Bode图； 3.在Bode图上画出H(j)的曲线； 4.在Bode图上，由步骤2求出的幅值和相角分别减去H(j)的幅值和相角。 第5章 控制系统的频域分析 93 5.7 频域性能指标与时域性能指标的关系 5.7.1 开环频域指标与时域性能指标的关系 为了能使用开环频率特性来评价系统的动态性能，就得首先找出开环频域指标 、 与时域动态性能指标 、 的关系。第5章 控制系统的频域分析 94 二阶系统闭环传递函数的标准型式为 开环频率特性为 1.相位裕量 和超调量 之间的关系 由第5章 控制系统的频域分析 95 与 的关系图如下 第5章 控制系统的频域分析 96 与 的关系图如下 2. 相位裕量 和调节时间 之间的关系 第5章 控制系统的频域分析 97 5.7.2 闭环频域指标与时域性能指标的关系 Mp 、 与时域指标 、 之间亦