一些常见的极限题目与做法

1、（历年来，求极限都至少占百分之二十五的比例，同时求极限也是学习导数、极小极大值、无穷小量的基础，因此整理了一些常见难题，此资料主要从网上整理，请勿用于商业用途）trillSilllim7TOC o 1-5 h z汜tO0tanrr(1cosjt)ftfinT戈 HYPERLINK l bookmark4=lim、$”疋11XT号Px21 HYPERLINK l bookmark52nm-出to工占2泰勒做法:t更叩卡工-fiU起(./0血一urnwitr=：fhris+fiaiiik-a詐01西IIIIT=/if驴一/11IdM斥TTIIT=隹叫畤一心1吒=厲UII三呢尹!哺尹評护，吒吓訂-X

2、I.IIH电rmn=尹TTIIT=o7.G(JiCi=0limsin(In(1+2:)冒=0=0vcIn(i+)+lnj=lirri2c:obsin2卄In(1+)+lnj=lim2cosarTeeIn(1+InkJcoslC2lii（血）-In（sin口）f-In（$ina：）SillXJsm（x-1）Inn1=lim:TTl=lirna?Tlsin（x1）（住-书&.+i）TOC o 1-5 h zsin（一1）1L-lim乂一1a?-l+1J一一41二:卫一1sinu1=lirn紅*u1+11limas1sill（爼21）X-1sin（护-Ij1叫3+D1卫一1ar21=lim（1）ti

3、TOu.2=limT?1a(l斥Tu阴淇乙ni!I12/xfcx：rrqJ-血11+賈显洁F他阚T0.r丄1lim/x)t,f(T)7(7)LartjiJ哦兀对贰毋1-aaMTA不要和另一个8人0形式混淆了=lim.1+1)|十J鼻_3?01L宀11Inn-ar=uxpf1：-limKS-3-0 x=tixp(1+1)二疋SillXlim=1=limhm2/tO2)皿半Jmto2“r肿+5t2sin2y(3+5沪5+By(3+5沪5+6?/3+05+0/lim(sinrrllim1+(siriT_月沏U曲】wi）如g11tn(sina?1)Lani?lirn(1+slux-1)EiQa，_-严

4、f话Lim罗T遼limcosTV27V2COSX叱?xplirnlim=1-lim（护T+訂（1+命+十占（占）卜护（“占-岛4（間）（1+1+gU+mU4-4r卡（*）；呎pt号t静沽sfe+右十？（占川TOC o 1-5 h zI+寺卩+占+曲+诃+市+。（尹）4（一懐一缶+君十0抒“甲十斗十番十击十古+*）+（-X-丸一击一命十口忡）1.*嵯+屈十5戶十前门+口（占卄十卜斗_占+缶十（古川5*十宀伪FT時验諾+护（討的占）*呛）J_1可S：2r(2-lfn(3+2)3Dlim:ETOU=lim加-1严念十Z严/2t.)30(肚+2严(2“2證+1)0lim(2+级lini宙Too(站+町

5、旳(20)恥(3十0)加(2+0)2和.3202Km11hi(1+：)tj-In(j：+/1+t2)】(!+对,In(1+土)-In(上+d垃)n.(1H-t)In(r+汽十i_j(裳+/】十川)=1In=I血/?InlimIT-MtHf0T(+/L+J2-1)宀常内&+逍1+T2=1T(.FT5/1+T2-L)TOC o 1-5 h z工f“r仗+/斗牡1T*e(14-1(14j-*jJ1=Hill:-W-1常(l+寺护討心+o(x4)T聲-#4菇何)-1z(坐+Ji+上工一1)卩十(丄+普一看十。(E)hTJ-0洒+_(1*2；)(丄一;r十专=Jlih3Tb-0(Jl)x+F十哥士叫沪)

6、=ill已丄3(1_1)+(_!+!)；+(1_1Jim=mr2_.,_青斗b)-翱上+的门_丸+晋斗+巩沪)十越(1書十#7吕斗叽眞)+晋+口(山护limtanxtan3北lim裁T芳cos3工sm工cosxlirnKT吕11111績寻sm3ttTlimNT弓7T2lim3（号7）FT2+111+22liriiar1limlim迥一jlima?1lim:TT1(1x)lnrrif丄产I)2lim沪注or?1lim7111XT戈+111XT)-1J-J；+111+111XJne：rInzlim-_驶t11rr+Im?+ln-(3；Inx一111x)v1-3Jimt甘血乂_2-=趣1冃上再（血町

7、茫HZ十密*（757+1-3）（2血+1）-32y/2x+1+3/工2+/2y/w2_=lini*己心4Vx-2-V2y/x2+/2=;im“二“一一ttI（工-2）-22rSlira-linin虫tax-4htaJ2工十1+32（t-4）並*風2M2苗2/2cosHill）+aa2T-2liuilirnITTfllimTElimmmcosalirnrckhcojs.lirnsin（JT口）COSa+COS-snixsinalim丄出Ta.j：切垃dx別np=2co界口=（乂壇a2suiicsinalirnKTflK=2cos口=lim2cos-mTfl11111r*0护111（1+尊）.Il

8、l（1+2二：lim當T02I2丿4一个运用第二类重要极限的形式的极限abcde都是常数fir+82+3（加1)+42j;424吐i）任+刃1十書1+茲411a.捋iTTOC-近=c2arcsirixarcsinx331limlimlimT0iimftarcsinj：.x卸+。（?/gircftmj:IO吕十（?卢lirn芒mt。寻士。（沪）.(t+x)-(ji+Bz+Cj2):Inn=Dz-n(14:川.h%!十讨二和（.F1）二|-寺4呼-普+4（沪*）I十（牛）卄（品）M巧=鸚粘）*豊一十ch)需M+叭划一（从碗+c）cj4=0豈e方=_舟建0=0）担=liiii:tT(l1+ax+o3

9、)1+吉也+pj:rb=liinx(1+g)=1+0粋+可0(0!_)(g)+予0一1)(02)(砲)+o尊#1_+QX/1+bx11II1x-0工丄丄.(1+ax)”_(+bx)5=Inn出torr重要极限其实是当底数和指数两个部分的极限都分别存在时才能使用它的形式判断重要极限的步骤:第一步是：严形式liini1+或lim(l+/x)ch(x)-这里当lim/(工)=0时irn(l+f(:r)趋向Ir0Slimg(x)趋向0时imJr口l-limh(x)为无穷大于是lim(l+/(Q)扁为产形式x=lim（l+*）的极限存在吗？（存在且等于）irnx的极限存在吗？（为无穷大）所以limll+

10、iatJX的极限不存在（无穷犬）不可以写作分子和分母的阶数比较设lima(x)=OJim(x)=0-tbyxj则G(X)和方(X)为等价无穷小,用Q(兀)b(兀)来表示若lim4=02abX)则a(x)是b(x)的高阶无穷小即当x趋向a时,d(x)比b(x)更快趋向0,所以d(x)比b(x而骼至少能展开为心-小的形式这里的斤是系数/是x-a的阶数nm71-fl工+2T+IX-=lim工一1=lim1x一1（z_l）十（异l_）+（d1）丄+（E，1）=lim也T1（卫-1）1+（工+1）十（K，+工+1_）+（血，+工2+蔑+1_）十+（Zn1+TH2卡工+T3+X+1）JT1+lilHr1J

11、：1（T1）+（弗一1）（为+1）十（盘一1）（护+X+1）+m+（矿一1）（炉i+xtl2十肝+护+=+1）z11+3+1）卡（r2+r+1）4-（加+M+卫+1佃髀一1+沪一+中7十+#+忑+1=lim宝T1=1+（1+1）十（1+1+L）十（1+1_+1.+L）+（1+1+1+*1|1+2+3+44-x+unn+1）2a2=（打&）（71+6）c?沪=（a一&）（a2+ab+t）2淤一沪-p-/?）（汕+2）=g（辭+a2b+肿+沪）Gm-bm=（a一（严一+严一络+amb2十+abm2+bmr）口=（0.册（胪+诚+F）=（詼i扬）（护冷+f讪1/十?卽）芮一还二护烬十口中汕十辭=他_召)(址*斗iw+卫尊.Letu=h-(kLet/；