《数学物理方程》第三版习题答案

1、2数理方程与特殊函数（第三版）第一章（定解问题）1-长为$的均匀杆，侧面绝缘-一端温度为零另一端有恒定热流g进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为q，杆的初始温度分布是Md工）JJJill2试写出相应的定解问题。r解见图1-8该问题是一维热传导方程，初始条件题中已给出，为22U(J7f0)=I2壬)(0jtgZ)现考虑边值条件设在丁=0这个端点处温度为0,则有0眈（0M）=0（t0）另一端（工=o处再恒定的热流q进人杆内9由傅里叶实验定律在边界曲面工;上有一左西3其中弘为沿边界外法向的热流强度y在”=Z端,边界外法向就是工轴的正向，而现在热量是流人杆内，表明热流方向与工轴正向相反故有jd

2、u=一QdxduBXr=t综上所述相应的定解问題为一a叽=0(00)jM(0*r)0fu(Zi)=学K心O)=血二1汽长为上的弦两端固定，开始时在工受到冲量矗的作用，试写出相应的定解问题口解该问题为一维弦振动问题边界条件是显然的4由于弦两端固定，所以在这两点处位移为零级即（02/（/“=0现考虑初始条件当冲量左作用于工=厂处时T就相当于在这点给出了一个初速度，我们考虑以点为中心，长为为的一小段弦+捞，设弦屋均匀的，其线密度为力则这一小段弦的质量为2旳、受冲击时速度为隔（心0由动量定理得在这个小段外-初速度仍为零我们想得到的是T=r处受到冲舌的初速度所以最后还要令0=此外，弦是没有初位移的，即叭

3、工=4于是初始条件为（.T,0）=0rc,IJTC|理（jo。）=彳矗（占0）加I-dN有一均匀杆+只要杆中任一小段有纵向位移或速度纹必导致邻段的压缩或伸长这种伸缩传幵去，就有纵波沿着杆传播；试推导杆的纵振动方程口:-,_J户（工3P卜P（x十dtf）S_一一一_fJ解如图1-9所示取杆长方向为丄轴正向-垂直于杆长方向的各截面均用它的平衡位置才标记在时刻仁此截面相对于平衡位置的位移为讥宀儿我们考查杆内一小段（心工+clR的振动情况，通过截面，这-小段杵受到弹性力为PS其中PS0为单位面积所受的弹性力，即应力。规定沿轴方向为正纟通过截面丁卜d上受到的弹性力为FG+d丹S.对这一小段应用牛顿第二定

4、律于是有dm=P（工十壮设杆的密度为宀则亦1=閃（1小上式化为又k+dr点处的位移讥工+ckr=讥血=比（工，）+cljr3、r此小段（上*工+1工）的伸长压缩）为学其相对伸长（压缩）为clr宇即兰点处的应变为字匕儿若略去垂直杆长方向的形变，根据d.rdrHooke定律丁应力与应变宇成正比，即F=E西dr比例系数E称为杆的杨氏模量，故所求的纵振动方程为a.其中=r=&心一均匀杆原长为仁一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长空而静止突然放手任其振动，试建立振动方程与定解条件。解该问题为杆的纵振动问题，由题答已知杆的纵振动方程为型=a2（00）苛a工杆的一端固定T设此端为=0处，则有eAOM）q0a

5、另一端a土Z）放手后就为自由端，也就是在振功过程中不受外力作用，故有边值条件已经确定下面考虑初始条件口由于弦初始时刻处于静止状态，即初速度为山故ga=On而在=0时*整个杆被纵向拉歩则单位杆长的伸长为亍故丁点处的伸长为千上即U(.TT0=22初边值条件都已确定，也就得到了该振动的定解问题fdu二B严u(Cji)=0丁ur(iTt)=0誣乂，0）=工丫Ut（.r,0）=05-若F5Ga）是任意两个二次连续可微函数-验证uF（/r+皿）+&（at）满足方程器7.診解有所以于是作自变量代换=工十皿可=K曲丫由复合函数求导法则3u_/3wQu、Qu3mISic_acj.f3/9?3?aq也=/（邑2空

6、+空&t2af2咖可臼于=0%i2才肚i序肚a*a学矢3平m铲题中所给函数-FQ+么）+GG加），经过变量代换后22即为=F（0+G（必验证其是否满足方程弟一L謬=0转化为验证其是否满足霧匕0.由于F均为二次连续可微函数亨形为盘=F(f)hG(7f)的函a2u=0,也即=F（b十皿十GCt-q）满足方程6.验证线性齐次方程的叠原理，即若血a*/宀jA+2B+C&+D竽+E竽+H=03工dy冷（工）均为线性二阶齐次方程2的解号其中A.B.C.D.E.F都是工心的函数，而且级数=门虬（如，）收敛，其中cSi=1,2,）为任意常数，并对工小可以22逐项微分两次，求证w=另阳心仍是原方程的解。f=l证

7、朋令A嘉+2B悬+C壽+唸+喙+凡故有5）的函数故L0（?=1,2,人由于其中A,B.CDEoF都只是工是线性微分算子。又由理=脱，对工,y可逐项微分两次，且级数收敛则CLu=L（另昭冷0,歹）k另“L（叫）=0=!t=z所以U=W瓯（孙）仍是原方程的解QEND第二章（分离变量法）unazur.r00zr0）（I）=护（9（才.0）=0（JT）孙（0昇）=OUj-Clyt）0分离变量；令打（心门X（jt）Tr）,代入泛定方程和边22界条件，得（JT+AX=01x（0）=0,X（l）=0（3）解固有值问题（H）：对参数入的取值情况分别讨论如下：（1）当A0,则方程紹）的解是X3=其中任意常数6皿

8、由条件（3）确定，再注意到XJ=CL厂一G厂Te故有由此解得G=GJ一AC2x/A=00，Cz=0,从而X（;r）三0,所以U（T,t）=X（）（）W0显然零解是无意义的，排除A当A0,方程（2）的通解为X&）=Gcg/Lr+Gsin而X（工）=Ci、ind+顶3沱0$旅r由初始条件（3）知G=0,Gsin=0而Cj必不为零否则XCr）=0,所以sin/V=0,即仮=0时，将固有值A代入到方程（D中得丁蔦十第二議廿离变曇法29第二議廿离变曇法292第二議廿离变曇法29第二議廿离变曇法292其通解为7（门=A.cos兰叫+B.sin于是得满足方程以及初始条杵的特解久+BQtIn亠妙3T.H7Z+

9、ortsm/jcosx0)第二議廿离变曇法29第二議廿离变曇法292第二議廿离变曇法29第二議廿离变曇法292叠加过程:定解问题级数形武的解为心Q=入+卧十E（入3呂号当十瓦鈕弓务）cos爭确定叠抽系数将讥工M）的表达式代入初始条件，得r“人+工Acds字丈tpdZxI)7=1LI-Bq+工BPcos=輕工)0V工V)兀pc利用Fourier余弦展开系数得AoBcijr)djr&Brt0HTTTT第二議廿离变曇法29第二議廿离变曇法292例2-2试用分离变量法求解定解问题%住H砥=0co.r0)(1)w(.Tf0)=护(直)山乂工，0=怜(工)化(0就=0e/(/+O=0分离变量：令叭工O=x

10、（T）rr）.代入泛宦方程和边第二議廿离变曇法29第二議廿离变曇法292界条件，得第二章分离变量法312TOC o 1-5 h z+-oci）IX+丄天=0（2）xXo）=o7x（z）=o0时，方程（冇的通解为XH=ClCOSVaIt+GsinVXr而Xd=4XC1sinTXlr+VAC2C0SVXjt任意常数5G由条件：。确定即=0CjcosVaZ+C2sin=0由此解得G=OCcosVW=0,而Cl必不为零，否则X）所以CQSa/A/=0,即仮=佝古丄切（=0J,2,-0从而固有值人=L蔦2叮,相应的固有函数为V,、（2刃+l）?rAn（J7J=ccos工D确定解的基本结构：将固有值入代入

11、到方程门）中得4Z2其通解为=百g笃叫+及血左严佥遗样就得到了一蔡列形如XOT3的特解.O=（A”cos丁丁1兀说+.sin%专,）耳%jcos+（绑七学”宜耳=021（.2/1+l）7TT21叠加过程：定解问题级数形式的解为u（J-,f）=A,cos辺f+B.sin1Jcos（2+1）7T直2Z确定叠加系数利用初始条件得E宀+6n=0IX”亠0（加+】冶實讥22=小（o2/由函数系eos（2n+1）S）在区间0,门上的正交性得LIffl=l?/、（2+1）7Tj:、丁血212卩ZJo21第二章分离变量法312(2n亠)兀“ro/r2iA.(一2er+e/)壮=00B=rrr（衍+1用例2-3

12、长为/的均匀杆，两端受压而使杆的长度缩为1（1-克几放手后杆自由振动求解杆的这一振动。解讥工M）应満足下列定解问题=0（0J0）1/（10）一2歹+e/t叫（丁,0=0心（0畫）=0,Mj-（ZiZ）=0这显然为例2-1的特例这里申Q）=2ar+显，卩工）=0+则有BfJ=0第二章分离变量法312第二章分离变量法312|（一2ex-+e/）cos竽心口（富/JoI輕土12吗込*企显然当观为偶数时A二0-故令斤=2盘+1,由例1知心二1（2昇If第二章分离变量法3121-设弦的两端固定于工=0及才几弦的初始位称如图2-2所示-初速度为零，又设有外力作用求弦作横向振动时的位移函数Lu（jr,Z）*

13、如图2-2所示弦作横向振动时初始条件为图2-2少（:r第二章分离变量法312第二章分离变量法312Mt（丁弓0）=0（文）=0则M是下列定解问】的解;第二章分离变量法312sin啤工d2仝r血竽+7IIJc2hl2sintzttc一抚p=0（OWzVZmAOi（H,O）=卩（卫）码工9）=中O.讥CkC=w（Z?r）=0该定解问题的解的形式是熟知的其解为u（j）z）二-V1/人cia死兀#1口*a幵兀、-九兀-2tH-Drtsm-t；sin-,刀i宙初始条件L也（Q=0故&=0弓而由初始条件叭0）=工A弄in字z=卩D=t22第二章分离娈法昆=0所以1777TC?an3T-s-sincos-s

14、innIImt中解弦振动方程。工*uj=0gu(三？0)云it（0昇）=mUi/）=0解心小是下列宦解问题uaa2抚彳=0（0；jr0）峠u（.r0）=0,血（工*0=工丄一工卫（ON）=0的解序该定解问题级数形式的解为2AncosJJ=I+Bsin力7t由初始条件来确定系数由于LJL-=另A声in竽疋=0wf(-*0)=5=ariir=IFTLj:(1xsinrjrdxanjtJ02aIjcsinhitrHCkrri2j;am0解uCt,/)为下列定解问題的解：f吗一护强注=00V工V1A)w(JTO)=,Ur(jr0)=汎无)=i=忆(l.f)=0遠里0(Q工(龙一1)该定解问题的边界条件

15、仍为第一类的其解的形式为aZ小（AGWTTIOanir.Af（A冲cosj-t+13“Junyt）sin工其中Am=2jp（j：）sinnffIzd/r=2jHsin和乳工dz+2（1一謊sinrwtKcLr=i/222第二章分离娈法22第二章分离娈法4K77VsmTmj：）sin?indx=文（1r）sinnjrrd.r=第二章分离变法65第二章分离变法65第二章分离娈法（-1）-1J所以*4u（x1=Gn罕cosaxTrf+r=l717T占Fl（1ljsinrt7T|sinnTCr4.解出习题一中第1题（参阅1.4之？题人解要求解的定解问题为第=左薯（00）wtO=0vu（TtO）=筝（乂

16、=0丨工一ro（Izc丨的帆工）=k该边界条件为第一类的故此定解问题的级数形式的解为sinTOC o 1-5 h z比（工岸）=tAgcos+Bfjsin）1tJ-其中0（工）siii弓工吐=annJoZ第二章分离变法65第二章分离变法65第二章分离娈法第二章分离变法65第二章分离变法65第二章分离娈法00第二章分离娈法所以聋（工,f=-sinrm试求适合于下列初始条件及边界条件的一维热传导方程的00第二章分离娈法=崔*0解设必丁为题设定解问题TOC o 1-5 h z捡一?力斗=0(00)vw(t0)=一疋)ltt(0i/)=M(/rt)0的解由于边界的解条件为第一类的其级数形式的解为w（t

17、,z）工GL（于）Win竽左fl=I1下面由初始条件确定G口由于yu（x0）=另G害in罕工00第二章分离娈法00第二章分离娈法玄（Zjt）sin警jrd2=0I2fTJ2fff-7T12卩2MTTatsinjtdr工sinjtcLt13。iZJr?Z4/2舘口-_2-所以盘（工（）=1(一l)4打兗isinxflZ解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为du二=F=03工“=o3jtU解依题意写出定解问题如下:第二章分离费量法67第二章分离费量法67Uj=0(0；J；Z,i0)TOC o 1-5 h zui.3：.0)=工it工(04Uj-(Z?/)=0用分离变量法求解，令讥门=XSTg代入

18、方程和边界条件得T+asAT-0(1)V+Xt=0(2),X(0)0,Z)=0(3)由例1的讨论知由式(2).(3)或构成的固有值问题对应的固有值为2=辽Ajj-9相应的固有函数为将入代人式(1)得(n=0)(n=1,2,)于是定解问题级数形式的解为+昏gra1由初始条件知TOC o 1-5 h zCj+Cracosj=工,1=1t故有%.xcos竽Htkr严(-1)1/JoITV所以原定解问题的解为cos空工挝打)=+工27(严一1竽凡Z=神57.根长为/的细杆表面绝缘，其初始温度分布如图2-3所示，由=0开始两端温度保持于零度宁求杆上温度分布。第二章分离费量法67第二章分离费量法67解设杆

19、上温度分布为讥疋儿依题意它满足下列定解同题：（0VQW4（存VU”3吕/V上VO4第二章分离费量法67第二章分离费量法67该定解何题级数形式的解为第二章分离费量法67第二章分离费量法67（1其中5-7yf鼻、C_r-cit*X?7T伫Cn&卩sinrr=i上Ian2tCsinT171n-JT百遇z16An=2k）2k4-1）兀（朕+1）兀z一小丄八COS:MZ左十J4gin（巔十n27r2（ife=012）WCre代入式（1中9得f、8V2ArU2fX）=5LUfsin-y-Jt+e君b哼m%总严営品牛十T第二章分离费量法67第三章(行波变换法)例3-21求下列函数的拉普拉斯变换。1时=工0)

20、为实當数)【0中a为实常数(4广(仪为正整数)5)e*sinkt,e心coski(6)fsincos倉Ck为实常数)Uft由拉普拉斯变换的定义，有sinZedi=寺jdre_edtALcx2lk(R巳$)0)同理CcosZI=护十护3)由拉普拉斯灌挾的定义号有牟4亡7曰上(4)令jTCt)=广贝口一广厂)=w!xyco)=./=-o所以由微分性质=21貳卢切CtJ=严$tyxcs兀广口=”匚决口一E2利用C2)的结聖:及平移性质易得hoP十护i/ccn同理-c*r+h由彖函数旳微分性质4#IZC/cosXar3=亲:2心同理(Re(s)A0)城让逅=CM+浄戸注本殛绪论在求拉普拉斯变换殁逆变换

21、时常用，应熟记。注2：求函数/的拉普拉斯变换时.一定零在结巣中标明(5的崔文.域Q6)6)第二章分离费量法673.4习题全解1求方程32u2(1)满足边界条件上=1=cosy(3)6)6)第二章分离费量法676)得庠h（0）+仰（工）=工命+卩I（，+戳（1）=cosy解得他（$）=cosjy务一1+护l0）輕（工）=才（7第二章分离费量法67S+1式（6）与（7联立解得讥=話+斗+511+1s3sa（7（7第二章分离费量法67取逆变换得&+x2+cosj1斗2求解波动方程的初值问uEdr解方法1rW（-XU）/sirur1rrHlrrsinrdr+占fdrirsindf=厶J0JrcosCj

22、rorcos（7第二章分离费量法67（7（7第二章分离费量法67方法2：用傅里叶变换法立（3于）蹄（工.上）亠8（7第二章分离费量法67U3今=1）&、31卫+3C1当）3寺占（妙+1一（31）Jdo?+乙J_OO3-f（7第二章分离费量法67（7（7第二章分离费量法67fl（書）*/2rice）r2（z-f）ae策三章行渋法与釈分变换迭129策三章行渋法与釈分变换迭129第二章分离费量法67趴*=鈣/16df=JUCJmgf令=工一鼠则e-M中8|JOOJa-CjdFw)F?(qj)结论保证。丄证明见本章例3-135用积分变换送解下列问题匕丹(工0,5-0)卄1=0=1令-Fr-I0p+me

23、u（T3l）e_4rdjcJo对泛定方程关于变量工取拉普拉斯变换碍由拉普拉斯变换的定义及微分性质，有drLa互旳=_Ju130数学物瑾方窿与特殊雷数导教导学导考130数学物瑾方窿与特殊雷数导教导学导考4)4)第二章分离费量法67即得du-!15J一丄=dy5解之得u(sy)=ly+c因u(s0)=片+eu(jt,0)e=chr=D+w1e_MCl$130数学物瑾方窿与特殊雷数导教导学导考130数学物瑾方窿与特殊雷数导教导学导考4)4)第二章分离费量法67130数学物瑾方窿与特殊雷数导教导学导考130数学物瑾方窿与特殊雷数导教导学导考4)0fS0dj;F3dz3130数学物瑾方窿与特殊雷数导教导

24、学导考130数学物瑾方窿与特殊雷数导教导学导考4)4)第二章分离费量法67130数学物瑾方窿与特殊雷数导教导学导考130数学物瑾方窿与特殊雷数导教导学导考4)4)第二章分离费量法67对式(1)两端关于变量K取傅里叶变换，结合微分性得d2U2n辱f0其通解为时(U1hG严十GF对式两端取傅里叶变换，得5)理(ohG)=Fo时，若要满足(6)式须有G=O,gp讥3=FOJ)F同ao)e_luJv水竇+*)对式(7)取逆变换由卷积定理得讥心=歹玖川厂叮=刃餌y&)f厂Lity+z)/(r)dr丁*f2：=引2丄，、+工)ttJ-s$+(xr)7-用积分变换法解下列定解问题：叭=E%(0J70)i=0

25、u8w_、arT-o解令w(,5)=Jdr对泛定方程关于/取拉普拉斯变换、结合微分性质得5M(,Tr5)U(J70)au(J?,5)由初始条件得132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考第二章分离费量法67132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考第二章分离费量法67看初始条件di132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考第二章分离费量法67|血(0/)杞一登山=0=(/,)e_idz=UjeJdr=J0Jfls132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考132数学慟理方程与特殊屈数导

26、教导学导考第二章分离费量法67132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考第二章分离费量法67求解d5U132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考第二章分离费量法67132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考第二章分离费量法67(oi)=o卫(r“)=5132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考第二章分离费量法67132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考132数学慟理方程与特殊屈数导教导学导考第二章分离费量法67第四章拉普拉斷方程的格林函散法1-

27、13第四章拉普拉斷方程的格林函散法1-13(4例4-9给岀二维区域n上狄里克雷问题V临=0在。上（厂为。的边界）第四章（拉普拉斯和格林函数）(4.15)(4.16)(4.17)r=（p的格林函数并建立格林函数和该问题的解之间的联系&解从二继调和函数的基本积分公式岀发w（M0）=In2単一比县（1口）d5Zttjrrdnr在第二格林公式中选卍为调和函数得/duduvjr3斤dn式（416）和武（4.17）相加，得讥MJ=|(君!n十u)各+打)山(418)Jprdudnrn丄+s且&(M,M0b=0厂%Ad为区域c上狄里克雷问题的格林画数其中0满足V%=0I由式（418）得式仏14）与（415）

28、的解为：(4.19)(4.20)(4.21)皿一卜執=-4敎W4-10解圆域上的狄里克雷问I严=0心+yko=（cs+y=圧）解首先给出圆域上的格林函数:设曲为圆内任一固定点，在瓯放一单位正电荷，胚关于圆周的反演点记为Mtt（见图4十1）即JZr叫=R2在处放电量为g的负电荷,P为球面上任一点，要保证球面上电势为零必有1,q1!11口亠士n乙咒厂切尸厶血产所Hg需满足厂啊Pq=r%p由sAOFM：知SqR=q=广叫尸r口cosy设QM0与OM的方向余弦分别是（cosj和（caff9sind）,acdP因:3Gcosy=cas（0仇）=coscostfr+sirv9sin=RRIn、f_一Inx

29、/jCbSpojcosyJ虚占一2疋缺血孑+張144数学勒锂方程与特殊函数导載寻学导考144数学勒锂方程与特殊函数导載寻学导考(4丄2兀忖+占一20cosyp諾22(|cosy+i?4p=a1尺亠直2nR疋一2陥+加由例4-9的结果即得式(4池0)：式(4.21)式的解为预一ft&)ds=p=r-R-2/ouCosy+戸(4.22)_1_ZrJoK2_S瓦c3（0%）+肩例4-il若函数比（廿是单位圆上的调和朗数，在单位圆周上u二诚（0为极角），问在原点的值等于多少岛sindS=0II解解法1由平均值公式见例4-6）知：1fsindsK=1w（0）=右4,4习题全解lt见例4-4dN见例4-1

30、。王见例4-5o乳试定文平面上的格林函数并导出平面上拉普拉斯方程狄里克雷问题的解。解上半平面上拉普拉斯方程狄里克雷问题为11(45-0(ji0)U|口=f(T)设阎（轴y）为上半平面上的任一点，利用格林函数的物理意义知在点处放一单位正电荷歩M。关干工轴的对称点Mi处放一单位负电荷后上半平面上的点M处的电势即为格林函数G（M,Mb）在賊处的值（见图2）,即G（M中岡）二111丄一In丄3G&G1刃円JT（工一恥）+號由例49的结果即得定解问题（I）的解为W（T0*恥）=lVjit，(4第五章（贝塞尔函数）2贝塞尔函数的递推公式第一组：(5.1)名丄才几（工）=丿1（工(4(4工_”几（玄门=一才

31、一”丿_（总）(5.2)注，作为特殊情形丿寫（工）=厂匕第二组：(5.3(5.5)第三组二代严才儿（工门=hTfS(5.6)(4Jo（JT）灵活运用递椎公式是解题的关键.例5-1求工几（Kde解在式（5.2）中取n=1,得-工1Jij-T1J(X)由分部积分法得prj2（jr）djr=Jj2(H)=才(工)+jtJ!(x)dJ：KjJi(j:-I-2人(Qd說hjcJj(t)ZJoCj:)+C其中用到了式（5.3）.例5-2求Ji解解法1由（5.1）式及分部积分法得Jja）乙工工JCr)d才=j：2djr3=进而得：Jj：4J1=1（8r兮几&）+牡（工目一仍丿二小+心解法2由式（5.3）,式

32、（51）及分部积分法得十丿（丁）=几（工）+4卜包几（rcLrJJJ”几工）+4Ldj?J1工）=亠1几(刃+4,r3J1(t)gjjr:Jt(x)djr=工几(Q+4jh3Ji(x)一+C又由式(54)得9人(戈)=一Ji(J7)人(文)(5.9)OT计算社e_ayJiOy及方为实数儿(4(4解利用公式g几（虹=一矿（氐）及分部积分迭得严(hr)cLt*当一学fJo(fer)e_flZdoc=bDJ0Ja5.4习题全解L当并为正整数时，讨论人（Q的收敛范围解当就为正整数时：几S=Z.2C1JZ十吩心十切！对取定级数通项为n*EmS=(l)m文2如咖2!5+7胁!第五章贝秦爪函数165第五章贝

33、秦爪函数165(4计算得lim|I=0mi脚由达朋贝尔判别法知该级数在整个数轴上收敛。N写出几（P丿】0）冲（工）5是正整数）的级数表示式的前5项.解由贝塞尔函数的级数表示式知当为整数时：OOV（1）i（主）卄鉄=纟创F5+R+1八2，DOV（1）幺创5+4!込特别地=猗）-知訂+訐-岛訐十侖少+人（工）“待尸+*猗品猗尸+寺今严+3-证明人i（0=0其中n二1,2,3,*-*帳！伽；花一小倚不含常数项，所以J2fl-l（0）=04-5丁-人(ox)=?ci(or丿=-oj(az)辛jJj(037)=?dHd_drjtJl（ar）=拭：）工山（贬）芳）第五章贝秦爪函数165第五章贝秦爪函数16

34、5(4第五章贝秦爪函数165第五章贝秦爪函数165(4乙砂(曲几or=ttrj(jar)第五章贝塞原函数167第五章贝塞原函数167166数学物理乃程与将殊關数导裁导学导考匕证明了=几（叱）为方程認V+yr+（/云n2）y=0的解&证方法1由第二组递推公式（5-4）,式（阮5得所以d几(or)d(ar)迁-几）+転几（辺门第五章贝塞原函数167第五章贝塞原函数167166数学物理乃程与将殊關数导裁导学导考第五章贝塞原函数167第五章贝塞原函数167166数学物理乃程与将殊關数导裁导学导考一ojI(ottJwtxr)-Tyoji(ar)号丿巧(or)+j(aT)J7工又(aT)二a*1(罕)or

35、/rrrV卄】(or)=d(or)ftTaj(acr)一丹十J卄(ar所以5*=(ctr十a(w+1)y叶二肛一马丿(卑)hJTEoJrrTKC)+FjHttr)=a2+瓷5+“J宀(itr)2竺Jeaz+务人仏=F3+名s代入即得一ny)=0方法2因V=aj（号=TOC o 1-5 h z352213*5(2m+11、9-1I可2誉十）少B41第五章贝塞原函数167第五章贝塞原函数167166数学物理乃程与将殊關数导裁导学导考第五章贝塞原函数167第五章贝塞原函数167166数学物理乃程与将殊關数导裁导学导考所以烏3=SmeD（一打酬2鸟卄t了2卄*（27n+l）!A2十-ir(2+1)!E

36、m+1lJL第五章贝塞原函数167第五章贝塞原函数167166数学物理乃程与将殊關数导裁导学导考第五章贝塞原函数167第五章贝塞原函数167166数学物理乃程与将殊關数导裁导学导考同理可得=由递推公式（5.4得=J（）第五章贝塞邪函数第五章贝塞邪函数168数学物理方程与特殊函敢导教导学导考第五章贝塞邪函数第五章贝塞邪函数168数学物理方程与特殊函敢导教导学导考)第五章贝塞邪函数第五章贝塞邪函数168数学物理方程与特殊函敢导教导学导考第五章贝塞邪函数第五章贝塞邪函数168数学物理方程与特殊函敢导教导学导考一般地，在式（5.7）中取打n*得=（1严仏卑几（工厂JH-IT（i严息呼（）%沁）V3TX

37、OJTX取血=2,即得丿$（才）=第五章贝塞邪函数第五章贝塞邪函数168数学物理方程与特殊函敢导教导学导考第五章贝塞邪函数第五章贝塞邪函数168数学物理方程与特殊函敢导教导学导考LG)sin(j?t)+cos(j?ir)Okt丈工y=吕打(工)是方程yr+(lt3一2)y=0证因y=（j?）易知y=+工寺丿寺（JT）+是r斗（疋）专工勺律3+工訂笃S二吕丿倉（文十工-纣律（工）#工-寺心）所以工亍y斗（乂）+XTJy|（JT）（Xs2）xJ（x）=n至护r亨工）+工寺（工+Q2话）打（工门因If（）满足今阶贝塞尔方程即得结论成立9试证歹=工几（小是方程才y工护十（1十/=0的一个解n证容易计算

38、得y=人（工）+刃=（丁/=2儿Q）+W（Q所以工Vp+刃）人（工）=0168数学物理方程与特殊函敢导教导学导考15.利用递推公式证明：（1丿仝5=丄丿*（工）XC2）J3（.t）十3J仏（工+4丿笃（工）=0证1）由式3）知厂。（工=jm由式54儿式（5.5）得丿；（H）=丿“心X令n=1,得几（工）=J1（Z一兀（工）JC所以J（x）=一厂丄（e）+丄丿1（工JCJC一J1（工+J?（o）+J工=J2C.r）注：当然也可用下法求】）=JCXJ（jt）工工T丿2（才）=Ji（.r）J?x）T（2）由（1及式（5.4得J心）=儿3+2几j）=儿3+办.（”才川刃才2即人=2JU）+J0（x）求导得厂2（H=2丿Ja4-JZn（J-）在式