高考二轮复习解答题知识点(数学理专题三-立体几何)

1、专题三 立体几何 整理 范荣鑫立体几何作为考查学生的空间想象能力与数学基础知识的综合能力的手断，每年都会有一个解答题，主要是以多面体为载体，考查空间线面关系、空间角的求法以及距离的计算，所以出题重心就落在这三方面，此外，探索型问题也是立体几何中的常见题型，在知识点的交汇处出题也是高考命题的热点之一。考点筛查表：证线线平行例6（1）线线垂直例1（1）线面平行例4（1）线面垂直例5（1）面面平行面面垂直例4（2）、例5（3）求线线角例5（2）、例8（2）线面角例3（2）、例7（2）面面角例1（2）点线距离点面距离例2（2）线线距离线面距离面面距离体积例6（2）探究性问题例7（2）、例题9、例题10

2、、例题11、例题12一、基本题型在立体几何的常见题型中，最基本的就是考察三大部分（1）证空间关系。在证明空间关系中，多以证明线线、线面、面面平行垂直为主，几何法主要考察用概念，公理，判定定理，性质定理进行严格的推理证明的能力；向量法在证明垂直问题上更为得力，另外，第一步证明中给出的点或向量的坐标在第二步的计算中一般也需要用到。（2）求空间角（3）求空间距离。在空间角的求法中异面直线所成的角，线面角，二面角都是考察的重点；在求空间距离中多以点线距离，点面距离为主，其它距离可以转化为这两种距离。例题1（2011年新课标卷18题）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB

3、=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；在这里，若对三垂线定理比较熟悉，则易知要证BD垂直于AD；若用向量法，则先要证明BD垂直于AD然后再建系设点。()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则,。设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则 即 因此可取n=教学中发现，有的同学解不定方程时令x或y或z等于0，认为这样挺方便而导致错误。其实，若x或y或z等于0，则对应平面必平行于坐标平面。设平面PBC的法向量为m，则 可取m=（0，-1，） 在这里，容易判断两个法向量一进一出，故法向量所成角的

4、大小即二面角的平面角大小。要求学生会判断法向量是一进一出还是同进同出，而不仅限于直观判断。故二面角A-PB-C的余弦值为 例题2（2010年高考江苏卷试题16）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。求证：PCBC；求点A到平面PBC的距离。解：（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC

5、，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。（方法二）体积法（方法三）向量法（略）这道题，我们更推崇使用向量法，这样学生在立体几何问题上思维单一，处理问题模式化，更适合于中等学生。难点在于点到平面的距离公式的理解和记忆，所以需要学会推导公式并记忆。例题3 (2010年全国高考宁夏卷18）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点证明：PEBC若APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图，

6、则 （）设 则 可得 因为所以 （）由已知条件可得 设 为平面的法向量 则 即因此可以取，由，可得 所以直线与平面所成角的正弦值为例题4（2011江苏16）如图，在四棱锥中，平面PAD平面 ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD例题5（2011北京理16） 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长. 证明：（）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）设ACBD=O.因为BAD=60，

7、PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以设PB与AC所成角为，则.（）由（）知设P（0，t）（t0），则设平面PBC的法向量,则所以令则所以同理，平面PDC的法向量因为平面PCB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=例题6（2011安徽理17）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，OAB，,，都是正三角形。（）证明直线；（II）求棱锥FOBED的体积。（向量法）（1）过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向

8、，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.由条件知则有所以即得BCEF. （II）解：由OB=1，OE=2，而OED是边长为2的正三角形，故 所以过点F作FQAD，交AD于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ=，所以例题7（2011福建理20） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。例题8（

9、2011重庆理19） 已知二面角，求线线角如题（19）图，在四面体中，平面平面， （）若，求四面体的体积； （）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值 （I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DFAC.故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30=1，AF=ADcos30=.在RtABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，由勾股定理易知故四面体ABCD的体积 （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG/AD，GH/BC，从而FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角. 设E为

10、边AB的中点，则EF/BC，由ABBC，知EFAB.又由（I）有DF平面ABC， 故由三垂线定理知DEAB.所以DEF为二面角CABD的平面角，由题设知DEF=60设在从而因RtADERtBDE，故BD=AD=a，从而，在RtBDF中，又从而在FGH中，因FG=FH，由余弦定理得因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为解法二：如答（19）图2，过F作FMAC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Fxyz.不妨设AD=2，由CD=AD，CAD=30，易知点A，C，D的坐标

11、分别为显然向量是平面ABC的法向量.已知二面角CABD为60，故可取平面ABD的单位法向量，使得设点B的坐标为，有易知与坐标系的建立方式不合，舍去.因此点B的坐标为所以从而故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为二、探索性问题立体几何的探索型问题往往考察学生的分析问题，解决问题的能力，常见题型为是否存在点或其他元素使得某种关系或数量成立。在这类问题中动点在线上或动点在面上的设法要求学生熟练掌握。 例题9（ 2010年高考全国卷I理科19）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .（）证明：SE=

12、2EB；（）求二面角A-DE-C的大小 .此题虽然不是探索性问题，但在第一问中用向量求解用到的点E在线段SB上的设法与探索性问题中常见的点在线上或点在面上的设法相同，故选择这道题目作为引子解：以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，由,得 ，故 .令，则.例题10（2011浙江理20） 如图，在三棱锥中，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。 （I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的

13、正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz则，由此可得，所以，即（II）解：设设平面BMC的法向量，平面APC的法向量由得即由即得由解得，故AM=3。综上所述，存在点M符合题意，AM=3。例题11（2009浙江卷理）（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点， （I）设是的中点，证明：平面； （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，. 则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面B

14、OE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为例题12（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （）求证：ACSD； （）若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（）在（）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。例题12(本小题13分)如图，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA =

15、AD = CD = 2AB = 2，M为PC的中点。20070409 （1）求证：BM平面PAD； （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定N的位置，若不存在，说明理由； （3）求直线PC与平面PBD所成的角的正弦值。 解：（1）取PD的中点E，连EM、AM， M是PC的中点，又，ABME是平行四边形，BMAE，BM平面PAD。 （2）以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M（1，1，1），。设，则，若MN平面PBD。则MNBD，MNPB。在平面PAD内存在一点、使MN面PBD 。（3）设平面PBD的法向量为，令，直线PC与面PBD所成角正弦值为。例题13、如图所示：正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为, E是PB中点，（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。XPABCDOYZ参考答案：（1）60（2） 设F（x,y,z）,可求出F点坐标（含的），从而由得，进而得F坐标，可判断F为AD靠近A的四等分点