山东大学工程流体力学（杜广生）课件第4章 相似原理与量纲分析

1、工程流体力学第4章 相似原理与量纲分析 本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。 解决流体力学问题的方法理论分析 实验研究 模型实验以相似原理为基础 数值模拟 第一节 流动的力学相似 表征流动过程的物理量 描述几何形状的如长度、面积、体积等 描述运动状态的 如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的如质量力、表面力、动量等 按性质分几何相似运动相似动力相似流动相似应满足的条件一 几何相似（空间相似）定义： 模型和原型的全部对应线形长度的 比值为一定常数 。（4-1） 以上标“ ”表示模型的有关量 :长度比例尺（相似比例常数） 面积比例尺:（4-2） 体积比例尺:（4-3）

2、 图4-1 几何相似 满足上述条件，流动才能几何相似 二 运动相似（时间相似）定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比 例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。图4-2速度场相似 时间比例尺:速度比例尺:（4-4） （4-5） 运动粘度比例尺:体积流量比例尺:加速度比例尺:（4-6） （4-7） （4-8） 长度比例尺和速度比例尺确定所有运动学量的比例尺。三 动力相似（时间相似）定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对 应瞬时，作用在两相似几何微团上的力，作 用方向一致、大小互成比例，即它们的动力场相似。 力的比例尺:图4-3 动力场相似 （4-9）

3、 （4-10） 又由牛顿定律可知： 其中： 为流体的密度比例尺。 压强（应力）比例尺:力矩（功，能）比例尺:（4-11） （4-12） 动力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13） （4-14） 有了模型与原型的密度比例尺，长度比例尺和速度比例尺，就可由它们确定所有动力学量的比例尺。 定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。第二节 动力相似准则 由式 (4-10) 得: （4-15） （4-16） （4-17） 当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即 ；反之亦然。这就是牛顿相似准则。 称为牛顿数，它是作用力与惯性力的比值。 或: 令: 一、重力相似准则（弗劳德准则）

4、二、粘性力相似准则（雷诺准则）三、压力相似准则（欧拉准则）四、弹性力相似准则(柯西准则)五、表面张力相似准则（韦伯准则）六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则） 流场中有各种性质的力，但不论是哪种力，只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。 牛顿出生于英格兰林肯郡的小镇乌尔斯普。在牛顿出生之前三个月，他的父亲就去世了，两年之后他的母亲改嫁他人，把牛顿留给了他的祖母。牛顿的天才很早就展现来。 牛顿最开始在乡村学校读书，12岁的时候离家到格兰瑟文法学校就读。在格兰瑟他寄宿在当地的一个药剂师家中并最终和这名药剂师的继女订了婚。1661年，也就是19岁的时候，牛顿进入剑桥大学三一学院学习。在那里

5、，牛顿沉静在学习之中而疏忽了未婚妻，药剂师的继女就嫁给了别人。牛顿后来终身未婚。 在那个时代，大学里仅仅教授亚里士 多德的理论，但是牛顿对于当代哲学家的思想更感兴趣，比如，笛卡尔、伽利略、哥白尼、开普勒等等。在1665年他发现了二项式定理，同一年他获得了文学学士学位。不久就爆发了瘟疫，学校被迫关闭，牛顿回到家乡继续他的研究。在接下来的两年之内，牛顿在微积分、光学和重力问题上做出了卓越的作。 1667年牛顿重返剑桥大学。1669年10月27日牛顿被选为卢卡斯数学教授。1672年起他被接纳为皇家学会会员，1703年被选为皇家学会主席直到逝世。 1696年牛顿任造币厂监督，1699年升任厂长，170

6、5年因改革币制有功受封为爵士。1727年3月31日，牛顿因患肾结石症医治无效，在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世，葬于伦敦威斯敏斯特教堂(westminster abbey)。 牛顿（Newton,16431727年）一、重力相似准则将重力比 带入式(4-15)得：或: 令: （4-18） （4-19） （4-20） 称为弗劳德数，它是惯性力与重力的比值。 当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，即 ；反之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。 重力场中 ，则：（a） （4-15） 弗劳德 英国造船工程师，实验水力学专家。1810年11月28日生于英国德文郡的达丁海姆，1879年5月4日卒于英国

7、托基。他曾在牛津大学的奥里尔学院学习，也从事过土木工程实践。36岁时开始从事船舶流体力学研究。19世纪60年代，开始利用缩尺模型研究船舶阻力。以后由英国海军部提供经费，他在自己家的附近建造了一座模型试验水槽，确定运动阻力的主要部分是表面摩擦力和波。1870年当选为皇家学会委员，1876年获皇家奖章。1855年造船工程师学会出版了他的论文集。水力学中描述惯性力与重力的无量纲数，后被命名为弗劳德数。二、粘性力相似准则将粘性力之比 带入式(4-15)得：或: 令: （4-21） （4-22） （4-23） （b） 称为雷诺数，它是惯性力与粘性力的比值。 当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，

8、即 ；反之亦然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。 模型与原型用同一种流体时， ，则：（4-15） 雷诺 雷诺（O.Reynolds，18421912，爱尔兰）。英国力学家、物理学家和工程师。 1842年8月23日生于北爱尔兰。1867年毕业于剑桥大学王后学院。1868年出任曼彻斯特欧文学院（后改名为维多利亚大学）的首席工程学教授。1877年当选为皇家学会会员。1888年获皇家勋章。他是一位杰出的实验科学家。他于1883年发表了一篇经典性论文决定水流为直线或曲线运动的条件以及在平行水槽中的阻力定律的探讨。这篇文章以实验结果说明水流分为层流与紊流两种形态，并提出以无量纲数Re（后称为雷诺数）作为

9、判别两种流态的标准。 三、压力相似准则或: 令: （4-24） （4-25） （4-26） 当压强用压差代替：将压力比 带入式(4-15)得： 称为欧拉数，它是总压力与惯性力的比值。 当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，即 ；反之亦然。这就是压力相似准则（欧拉准则）。 （4-27） （4-28） 欧拉数: 欧拉相似准则: （4-15） 欧拉 欧拉（Leonhard Euler ，1707-1783）：瑞士数学家、力学 家、天文学家、物理学家，变分法的奠基人，复变函数论的先驱者，理论流体力学的创始人。 欧拉曾任彼得堡科学院教授，柏林科学院的创始人之一。他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性

10、系统稳定性理论的开创人。他认为质点动力学微分方程可以应用于液体（1750）。他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和根据确定的流体质点（1759）描述流体速度场。前者称为欧拉法，后者称为拉格朗日法。欧拉奠定了理想流体的理论基础，给出了反映质量守恒的连续方程（1752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755）。欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等。 欧拉的专著和论文多达800多种。四、弹性力相似准则将弹性力之比 带入式(4-15)得：（4-29） 或: （4-30） 令: （4-31） 称为柯西数，它是惯性力与弹性

11、力的比值。 当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，即 ；反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西准则）。 （4-15） 柯西数法国人：柯西1789年8月2l日出生生于巴黎，他的父亲路易弗朗索瓦柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。 一生建树颇多，在连续介质力学的研究中给出了柯西数。 四、弹性力相似准则若流场中的流体为气体，由于 （ 为声速）则弹性力之比 带入式(4-15)得：（4-32） 或: （4-33） 令: （4-34） 称为马赫数，它是惯性力与弹性力的比值。 当模型与原型的弹性力相似，则

12、其马赫数必定相等，即 ；反之亦然。这就是弹性力相似准则（马赫准则）。 （4-15） 马赫经验批判主义的创始人之一；马赫数、马赫带也是其研究成果。马赫（ErnstMach，18381916） 奥地利物理学家、生物学家、心理学家、哲学家。1838年2月18日生于奇尔利茨。在维也纳大学学习数学、物理学和哲学，1860年毕业，并获博士学位。 18641867年在格拉茨大学先后任数学教授和实验物理学教授，18671895年在布拉格大学任实验物理学教授，两度被选为校长。1901年退休，但仍在家继续从事科学著述。1916年2月19日在德国特斯特腾逝世。他研究物体在气体中高速运动时，发现了激波。确定了以物速与

13、声速的比值（即马赫数）为标准，来描述物体的超声速运动。马赫效应、马赫波、马赫角等这些以马赫命名的术语，在空气动力学中广泛使用，这是马赫在力学上的历史性贡献。五、表面张力相似准则将表面张力之比 带入式(4-15)得：（4-35） 或: （4-36） 令: （4-37） 称为韦伯数，它是惯性力与表面张力的比值。 当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，即 ；反之亦然。这就是表面张力相似准则（韦伯准则）。 韦伯数代表惯性力和表面张力效应之比，韦伯数愈小代表表面张力愈重要，譬如毛细管现象、肥皂泡、表面张力波等小尺度的问题。一般而言，大尺度的问题，韦伯数远大于1.0，表面张力的作用便可以忽略。

14、（4-15） 六、非定常性相似准则或: 令: （4-38） （4-39） （4-40） 将惯性力之比 带入式(4-15)得： 称为斯特劳哈尔数，它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。 当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等，即 ；反之亦然。这就是非定常相似准则（斯特劳哈尔准则）。 （4-15） 以上给出的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉数、柯西数、马赫数、韦伯数、斯特劳哈尔数均称为相似准则数。 如果已经有了某种流动的运动微分方程，可由该方程直接导出有关的相似准则和相似准则数，方法是令方程中的有关力与惯性力相比。第三节 流动相似条件 流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例

15、。 相似流动必然满足以下条件： 1任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；2相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件；3由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。 模型实验主要解决的问题 ： 1根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。 图4-4 油池模型 第四节 近似模拟试验 以相似原理为基础的模型实

16、验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。 简化模型实验方法中流动相似的条件，除局部相似之外，还可采用自模化特性和稳定性。 在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。 自模化的概念实质是自身模拟的概念。比如在某系统中，有两个数与其它量比起来都很大，则可认为这两个数自模拟了。又

17、比如，在圆管流动中，当Re2320时，管内流动的速度分布都是一轴对称的旋转抛物面。当Re4105管内流动状态为紊流状态，其速度分布基本不随Re变化而变化，故在这一模拟区域内，不必考虑模型的Re与原型的Re相等否，只要与原型所处同一模化区即可。 图4-5 弧型闸门 （4-7） 图4-6 内装蝶阀的管道 第五节 量纲分析法 一、物理方程量纲一致性原则二、瑞利法三、 定理 一、物理方程量纲一致性原则 1、讨论理论力学时，基本单位（量纲）有三个： 质量(M)、时间(T)、长度(L)； 物理量单位的种类叫量纲，由基本单位和导出单位组成单位系统。 3、运动学问题有两个基本单位（量纲）： 时间(T)、长度(L)。 2、讨论流体力学和热力学时，基本单位（量纲）有四个： 质量(M)、时间(T)、长度(L)、温度( )； 物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲。任一物理量 的量纲表示为dim 。 流体力学中常遇到的用基本量纲表示的导出量纲有： 任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量纲表示的物理方程必定是齐次性的，这便是物