高考理科第一轮复习课件(7.3平行关系)+(7.4垂直关系)

1、第三节平行关系1.直线与平面平行的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定定理若平面外一条直线与此_的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)_,_,_,l性质定理如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的_与该直线平行(线面平行线线平行)_,_,_,lb平面内交线laalll=b2.平面与平面平行的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条_都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行面面平行)_,_,_,_,_,性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面_,那么它们的_平行_,_,_,ab相交直线abab=Pab相交交线=a=b判断

2、下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(2)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(3)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.()(4)若直线a平面,P,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()(5)若平面平面,直线a平面,则直线a平面.()【解析】(1)错误.当这两条直线为相交直线时,才能保证这两个平面平行.(2)正确.如果两个平面平行,则在这两个平面内的直线没有公共点,则它们平行或异面.(3)错误.若直线a与平面内无数条直线平行,则a或a.(4)错误.有且只有一条直线,且该直线为过直

3、线a和点P的平面与平面的交线.(5)错误.若平面平面,直线a平面,则a或a.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.下列命题中,正确的是()(A)若ab,b,则a(B)若a,b,则ab(C)若a,b,则ab(D)若ab,b,a,则a【解析】选D.由直线与平面平行的判定定理知选项D正确.2.已知直线l,m,平面,下列条件能得出的是()(A)l,m,且l,m(B)l,m,且lm(C)l,m,且lm(D)l,m,且lm【解析】选C.如图,在正方体AC1中,AA1平面ABCD,BB1平面A1B1C1D1且AA1BB1,则平面ABCD平面A1B1C1D1,故选C.3.直线a不平行于平面,则下列结论成立的

4、是()(A)内的所有直线都与a异面(B)内不存在与a平行的直线(C)内的直线都与a相交(D)直线a与平面有公共点【解析】选D.因为直线a不平行于平面,则直线a与平面相交或直线a在平面内,所以选项A,B,C均不正确.故选D.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的结论是_(只填序号).AD1BC1;平面AB1D1平面BDC1;AD1DC1;AD1平面BDC1.【解析】借助图形可知AD1与DC1所在的直线为异面直线,故错误.答案:考向 1 线面平行的判定与性质 【典例1】(1)若一条直线和两个相交平面都平行,则这条直线和它们的交线的位置关系是.(2)如图,在正方体ABCD-A1

5、B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,并且CM=DN.求证:MN平面AA1B1B.【思路点拨】(1)把文字叙述转化为符号叙述,然后利用线面平行的性质,把线面平行转化为线线平行.(2)“线线平行”“线面平行”“面面平行”是可以互相转化的.本题可以采用任何一种转化方式.【规范解答】(1)已知a,a,=l,设过a的平面=m,a,am.设过a的平面=n,a,an,mn.n,m,m.又m,=l,ml.al.答案:平行(2)方法一:如图所示,作MEBC交BB1于E;作NFAD交AB于F,连接EF,则在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,BD=B1C,B1M=BN.又BD=B1C,又BC

6、=AD,ME=NF.又MEBCADNF,四边形MEFN为平行四边形,MNEF.又EF平面AA1B1B,MN平面AA1B1B,MN平面AA1B1B.方法二:过M作MQBB1交BC于Q,连接NQ.MQ平面AA1B1B,BB1平面AA1B1B,MQ平面AA1B1B.由MQBB1得又CM=DN,CB1=DB,NQDC,NQAB.NQ平面AA1B1B,AB平面AA1B1B,NQ平面AA1B1B.又MQNQ=Q,平面MQN平面AA1B1B.又MN平面MQN,MN平面AA1B1B.【互动探究】若将本例题(2)中的条件“CM=DN”改为则如何证明?【证明】将 转化为CM=DN.以下同例题.【拓展提升】1.判断

7、或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba).(3)利用面面平行的性质(,aa).(4)利用面面平行的性质(,a,a,aa).(5)利用空间向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.2.判断或证明两直线平行的常用方法(1)利用公理4(ab,bcac).(2)利用线面平行的性质定理(a,a,=bab).(3)利用面面平行的性质定理(,=a,=bab).(4)利用线面垂直的性质定理(a,bab).(5)利用向量共线证明.【提醒】利用线面平行的性质或判定定理时,适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法.【变式备选】(1)如图,四边形AB

8、CD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:APGH.【证明】如图,连接AC交BD于点O,连接MO,四边形ABCD是平行四边形,O是AC的中点.又M是PC的中点,APOM.又AP平面BDM,AP平面BDM.平面PAHG平面BDM=GH,PAGH.(2)如图,在四棱锥P-ABCD中,CDAB,DC= AB,试在线段PB上找一点M,使CM平面PAD,并说明理由.【解析】当M为PB的中点时,CM平面PAD.方法一:取AP的中点F,连接CM,FM,DF.则FMAB,FM= AB.CDAB,CD= AB,FMCD,FM=CD,四

9、边形CDFM为平行四边形,CMDF.DF平面PAD,CM平面PAD,CM平面PAD.方法二:在四边形ABCD中,设BC的延长线与AD的延长线交于点Q,连接PQ,CM.CDAB,QCD=QBA.CQD=BQA,CQDBQA,C为BQ的中点.M为BP的中点,CMPQ.PQ平面PAD,CM平面PAD,CM平面PAD.方法三:取AB的中点E,连接EM,CE,CM.在四边形ABCD中,CDAB,CD= AB,E为AB的中点,AEDC,且AE=DC,四边形AECD为平行四边形.CEDA.DA平面PAD,CE平面PAD,CE平面PAD.同理,根据E,M分别为BA,BP的中点,得EM平面PAD.CE平面CEM

10、,EM平面CEM,CEEM=E,平面CEM平面PAD.CM平面CEM,CM平面PAD.考向 2 面面平行的判定与性质 【典例2】(1)(2013西安模拟)设m,n是平面内的两条不同直线,l1,l2是平面内的两条相交直线,则的一个充分而不必要条件是()(A)m且l1 (B)ml1且nl2(C)m且n (D)m且nl2(2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:B,C,H,G四点共面;平面EFA1平面BCHG.【思路点拨】(1)逐项验证,既要验证充分性,还要验证必要性.(2)要证明B,C,H,G四点共面,可证明直线GH与直线BC共面;

11、可利用面面平行的判定定理证明.【规范解答】(1)选B.对于选项A,不合题意;对于选项B,由于l1与l2是相交直线,而且由l1m可得l1,同理可得l2,故可得,充分性成立,而由不一定能得到l1m,l2n,它们也可以异面,故必要性不成立,故选B;对于选项C,由于m,n不一定相交,故是必要非充分条件;对于选项D,由nl2可转化为n,同选项C,故不符合题意.综上选B.(2)G,H分别是A1B1,A1C1的中点,GH是A1B1C1的中位线,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四点共面.E,F分别是AB,AC的中点,EFBC.EF平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.A1G

12、EB,四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB.A1E平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.A1EEF=E,平面EFA1平面BCHG.【互动探究】在本例(2)条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:平面A1BD1平面AC1D.【证明】如图所示,连接A1C交AC1于点H,四边形A1ACC1是平行四边形,H是A1C的中点,连接HD,D为BC的中点,A1BHD.A1B平面A1BD1,DH平面A1BD1,DH平面A1BD1.又由三棱柱的性质知,D1C1BD,四边形BDC1D1为平行四边形,DC1BD1.又DC1平面A1BD1,BD1平面A1BD1,DC1平面A1BD1,又DC

13、1DH=D,平面A1BD1平面AC1D.【拓展提升】1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义:即判断两个平面没有公共点.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面平行的性质(1)两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面.(2)若一平面与两平行平面相交,则交线平行.【变式备选】如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90, BAC=CAD=60,PA平面ABCD,E为PD的中点,AB=1.证明:直线CE平面PAB.【证明】取AD中点F,连接EF,CF,在PAD中,EF是中位

14、线,可得EFPA.EF平面PAB,PA平面PAB,EF平面PAB.RtABC中,AB=1,BAC=60,又RtACD中,CAD=60,AD=4,结合F为AD中点,得ACF是等边三角形,ACF=BAC=60,可得CFAB.CF平面PAB,AB平面PAB,CF平面PAB.EF,CF是平面CEF内的相交直线,平面CEF平面PAB.CE平面CEF,CE平面PAB.【典例3】如图所示,平面平面,点A,点C,点B,点D,点E,F分别在线段AB,CD上,且AEEB=CFFD.(1)求证:EF.(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60,求EF的长.考向 3 平行关系

15、的综合应用 【思路点拨】(1)要证EF,可转化为证明EF与内的某一直线平行或证明EF所在的平面与平行.(2)以EF为边构造三角形可求得EF的长.【规范解答】(1)当AB,CD在同一平面内时,由,平面平面ABDC=AC,平面平面ABDC=BD,ACBD.AEEB=CFFD,EFBD.又EF,BD,EF. 当AB与CD异面时,设平面ACD=DH,且DH=AC.,平面ACDH=AC,ACDH,四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G,使AGGH=CFFD,得GFHD.又AEEB=CFFD=AGGH,EGBH.又EGGF=G,平面EFG平面.又EF平面EFG,EF.综上,EF.（2）如图所示，连接

16、AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且ME= BD=3，MF= AC=2，EMF为AC与BD所成的角（或其补角），EMF=60或120.在EFM中由余弦定理得即EF= 或EF=【拓展提升】三种平行关系的转化方向及注意事项(1)转化方向如图所示:(2)注意事项在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行.【变式训练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心

17、,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ平面PAO?【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.证明如下:Q为CC1的中点,P为DD1的中点,QBPA.P,O分别为DD1,DB的中点,D1BPO.又D1B平面PAO,PO平面PAO,QB平面PAO,PA平面PAO,D1B平面PAO,QB平面PAO,又D1BQB=B,D1B,QB平面D1BQ,平面D1BQ平面PAO.【满分指导】平行关系证明题的规范解答 【典例】(12分)(2012山东高考)如图,几何体E-ABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CB=CD,ECBD.(1)求证:BE=DE.(2)若BCD

18、=120,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC.【思路点拨】已知条件条件分析ABD为正三角形三角形三个内角相等,三边相等CB=CDCBD为等腰三角形,若O为DB的中点,则COBDECBD证明线面垂直M为AE的中点可构造三角形的中位线【规范解答】（1）取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB=CD，所以COBD.1分又ECBD，ECCO=C，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，所以BDOE.3分又O为BD的中点，所以BE=DE.5分（2）方法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MNBE.6分又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC.7分又因为A

19、BD为正三角形,所以BDN=30.又CB=CD，BCD=120，因此CBD=30，所以DNBC.9分又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDN=N，故平面DMN平面BEC.11分又DM平面DMN，所以DM平面BEC.12分方法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB=CD，BCD=120，所以CBD=30.7分因为ABD为正三角形，所以BAD=ABD=60，ABC=90，所以AFB=30，所以AB= AF.9分又AB=AD，所以D为线段AF的中点.10分连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DMEF. 11分又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.12

20、分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2012四川高考)下列命题正确的是()(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【解析】选C.利用线面位置关系的判定和性质解答.A错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条母线相交;B错误,ABC的三个顶点中,A,B在的同侧,而点C在的另一侧,且AB平行于,此时可有A,B,C三点到平面距离相等,但两平面相交;D错误,如教室中两个相邻墙面都与地面

21、垂直,但这两个面相交.2.(2013衡水模拟)已知直线m,n和平面,则mn的一个必要不充分条件是()(A)m,n (B)m,n(C)m,n (D)m,n与成等角【解析】选D.对于A,m,n为mn的既不充分也不必要条件;对于B,m,n为mn的充分不必要条件;对于C,m,n为mn的既不充分也不必要条件;对于D,m,n与成等角为mn的必要不充分条件,故选D.3.(2013新余模拟)已知直线m,n与平面,给出下列三个命题:若m,n,则mn;若m,n,则mn;m,m,则.其中真命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选C.对于,m,n可能平行、相交或异面,正确,所以真命题的个数为2.4.

22、(2012辽宁高考改编)如图,直三棱柱ABC-ABC,BAC=90,AB=AC= AA=1,点M,N分别为AB和BC的中点.证明:MN平面AACC.【证明】方法一:连接AB,AC,由已知BAC=90,AB=AC,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱, 所以M为AB的中点.又因为N为BC的中点,所以MNAC.又MN平面AACC,AC平面AACC,因此MN平面AACC.方法二:取AB中点P,连接MP,NP,而M,N分别为AB与BC的中点,所以MPBBAA,PNAC.因为MP,PN平面AACC,AA,AC平面AACC,所以MP平面AACC,PN平面AACC.又MPNP=P,因此平面MPN平面AACC.而M

23、N平面MPN,因此MN平面AACC.1.设,为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“=m,n,且,则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.,n;m,n;n,m.可以填入的条件有()(A)或 (B)或(C)或 (D)或或【解析】选C.由面面平行的性质定理可知,正确;当n,m时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,正确.2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()(A)不存在 (B)有1条(C)有2条 (D)有无数条【解析】选D.平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,

24、由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行,故选D.第四节垂直关系1.直线与平面垂直(1)定义条件:直线l与平面内的_一条直线都垂直.结论:直线l与平面垂直.任何（2）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条_直线都垂直,那么该直线与此平面垂直_,_,_,_,_,l性质定理如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线_,_,ab相交lalbabab=Aab平行2.二面角二面角的定义从一条直线出发的_所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作

25、二面角的_,这两个半平面叫作二面角的_二面角的度量二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作_棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.平面角是_的二面角叫作直二面角两个半平面棱面垂直于直角3.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是_,就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)定理 文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条_,那么这两个平面互相垂直.AB_性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面.=MNAB_AB垂线AB交线ABMN于点B判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).

26、(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.()(2)若直线a平面,直线b,则直线a与b垂直.()(3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0, .()(4)二面角是指两个相交平面构成的图形.()(5)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.()【解析】(1)错误.直线l与平面内的无数条直线都垂直时,直线l与平面可平行,可相交,直线l也可在平面内.(2)正确.由b可得b平行于内的一条直线,设为b,因为a,所以ab,从而ab.(3)错误.异面直线所成角的范围是(0, ,而二面角的范围是0,.(4)错误.二面角

27、是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.(5)错误.若平面平面,则平面内的直线l与可平行,可相交,也可在平面内.(6)错误.平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,不能保证该直线垂直于此平面,故不能推出.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.设,为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是()(A)若,=n,mn,则m(B)若m,n,mn,则n(C)若n,n,m,则m(D)若m,n,mn,则【解析】选C.C选项中,n,n,.又m,m.2.设a,b,c表示三条不同的直线,表示两个不同的平面,则下列命题中不正确的是() 【解析】选D.由a,ba可得,b与的位置关系有:b,b

28、,b与相交,所以D不正确.3.直线a平面,b,则a与b的位置关系是.【解析】由b可得b平行于内的一条直线,设为b.因为a,所以ab,从而ab,但a与b可能相交,也可能异面.答案:垂直4.将正方形ABCD沿AC折成直二面角后,DAB=.【解析】如图,取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,BOAC,故DOB为二面角的平面角,从而DOB=90.设正方形边长为1,则DO=BO= 所以DB=1,故ADB为等边三角形,所以DAB=60.答案:60考向 1 直线与平面垂直的判定和性质 【典例1】(1)(2013海淀模拟)设l,m,n为三条不同的直,为两个不同的平面,下列命题中正确的个数是()若l,m,

29、则lm;若m,n,lm,ln,则l;若lm,mn,l,则n;若lm,m,n,则ln.(A)1(B)2(C)3(D)4(2)(2013鹰潭模拟)如图,三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,ABBC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC,PC于D,E两点,PB=BC,PA=AB.求证:PC平面BDE;若点Q是线段PA上任一点,判断BD,DQ的位置关系,并证明你的结论.【思路点拨】(1)根据线面平行、面面平行及线面垂直的判定定理和性质定理逐个判断.(2)利用线面垂直的判定定理证明;证明BD平面PAC即可.【规范解答】(1)选B.对于,直线l,m可能互相平行,不正确;对于,直线m,n可能是平行直线,此时不

30、能得l,不正确;对于,由“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”得知,正确;对于,由lm,m得l,由n,得n,因此有ln,正确.综上所述,其中命题正确的个数是2,故选B.(2)DE垂直平分线段PC,PB=PC,DEPC,BEPC,又BEDE=E,PC平面BDE.由得,PCBD.PA底面ABC,PABD.又PCPA=P,BD平面PAC,当点Q是线段PA上任一点时都有BDDQ.【互动探究】本例题(2)若改为“设Q是线段PA上任意一点,求证:平面BDQ平面PAC”,如何证明?【证明】由(2)的解法可知BD平面PAC.又BD平面BDQ,平面B

31、DQ平面PAC.【拓展提升】1.判定线面垂直的四种方法方法一:利用线面垂直的判定定理.方法二:利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.方法三:利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.方法四:利用面面垂直的性质定理.2.线面垂直性质的重要应用当直线和平面垂直时,则直线与平面内的所有直线都垂直,给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法.【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程,如用判定定理证明线面垂直时,一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件.【变式备选】如图,几何体ABCDPE中,底面ABCD是边长为4的正方形,PA平面ABCD,P

32、AEB,且PA=2BE= (1)证明:BD平面PEC.(2)若G为BC上的动点,求证:AEPG. 【证明】(1)连接AC交BD于点O,取PC的中点F,连接OF,EF,EBPA,且EB= PA,又OFPA,且OF= PA,EBOF,且EB=OF,四边形EBOF为平行四边形,EFBD.又EF平面PEC,BD平面PEC,BD平面PEC.(2)连接BP, EBA=BAP=90,EBABAP,PBA=BEA,PBA+BAE=BEA+BAE=90,PBAE.PA平面ABCD,PA平面APEB,平面ABCD平面APEB.BCAB,平面ABCD平面APEB=AB,BC平面APEB,BCAE.又BCPB=B,A

33、E平面PBC.G为BC上的动点,PG平面PBC,AEPG.考向 2 面面垂直的判定与性质【典例2】(2013惠州模拟)如图所示,ABC为正三角形,CE平面ABC,BDCE,CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA.(2)平面BDM平面ECA.【思路点拨】(1)由于CE=2BD,故可考虑取CE的中点F,通过证明DEFADB来证明DE=DA.(2)证明面面垂直,应先证明线面垂直.【规范解答】(1)取CE的中点F,连接DF.CE平面ABC,CEBC.BDCE,BD= CE=CF=FE,四边形FCBD是矩形,DFEC.又BA=BC=DF,RtDEFRtADB,DE=DA.(2)取AC

34、中点N,连接MN,NB,M是EA的中点,MN CE.由BD CE,且BD平面ABC,可得四边形MNBD是矩形,于是DMMN.DE=DA,M是EA的中点,DMEA.又EAMN=M,DM平面ECA,而DM平面BDM,平面BDM平面ECA.【拓展提升】 1.面面垂直的两个证明思路(1)用面面垂直的判定定理,即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.2.面面垂直的性质应用技巧两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面

35、内的直线”.【变式训练】(2013宝鸡模拟)如图,矩形ABCD中,ABBC,E,F分别在线段BC和AD上,EFAB,将矩形ABEF沿EF折起,记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF平面ECDF.(1)求证:NC平面MFD.(2)若EC=CD,求证:NDFC.【证明】(1)因为四边形MNEF,ECDF都是矩形,所以MNEFCD,MN=EF=CD.所以四边形MNCD是平行四边形,所以NCMD.因为NC平面MFD,MD平面MFD,所以NC平面MFD.(2)连接ED,因为平面MNEF平面ECDF,且NEEF,所以NE平面ECDF,所以FCNE.又EC=CD,四边形ECDF为正方形,所以FCED.又N

36、EED=E,所以FC平面NED.又ND平面NED,所以NDFC.考向 3 垂直关系的综合应用【典例3】如图所示,M,N,K分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.求证:(1)AN平面A1MK.(2)平面A1B1C平面A1MK.【思路点拨】(1)要证线面平行,需证线线平行.(2)要证面面垂直,需证线面垂直. 【规范解答】(1)如图所示,连接NK.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形,AA1DD1,AA1=DD1,C1D1CD,C1D1=CD.N,K分别为CD,C1D1的中点,DND1K,DN=D1K,四边形DD1KN为平行

37、四边形.KNDD1,KN=DD1,AA1KN,AA1=KN,四边形AA1KN为平行四边形,ANA1K.A1K平面A1MK,AN平面A1MK,AN平面A1MK.(2)连接BC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ABC1D1,AB=C1D1.M,K分别为AB,C1D1的中点,BMC1K,BM=C1K,四边形BC1KM为平行四边形,MKBC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1平面BB1C1C,BC1平面BB1C1C,A1B1BC1.MKBC1,A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形,BC1B1C.MKB1C.A1B1平面A1B1C,B1C平面A1B1C,A1B1B1C=B1,M

38、K平面A1B1C.又MK平面A1MK,平面A1B1C平面A1MK.【拓展提升】垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积.【变式训练】(2013唐山模拟)如图,已知三棱锥A-BPC中,APPC,ACBC,M为AB的中点,D为PB的中点,且PMB为正三角形.(1)求证:DM平面APC.(2)求证:平面ABC平面APC.【证明】(1)M为AB中点,D为PB中点,DMAP.又DM平面APC

39、,AP平面APC,DM平面APC.(2)PMB为正三角形,且D为PB中点,DMPB.又由(1)知DMAP,APPB.又APPC,PBPC=P,AP平面PBC,APBC.又ACBC,APAC=A,BC平面APC.又BC平面ABC,平面ABC平面APC.【满分指导】解决垂直关系综合问题的规范解答【典例】(12分)(2012广东高考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF= AB,PH为PAD中AD边上的高.(1)证明:PH平面ABCD.(2)若PH=1,AD= ,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积.(3)证明:EF平面PAB.【

40、思路点拨】已知条件条件分析AB平面PADAB垂直平面PAD内的所有直线E是PB的中点三棱锥E-BCF的高为PH的一半E为PB的中点,DF AB可作出PA的中点G,利用三角形的中位线可得GE DF【规范解答】(1)由于AB平面PAD,PH平面PAD,故ABPH.1分又PH为PAD中AD边上的高,故ADPH.2分ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD,PH平面ABCD.4分（2）由于PH平面ABCD，E为PB的中点，PH=1，故E到平面ABCD的距离h= PH= .5分又因为ABCD，ABAD，所以ADCD，6分故 7分因此 8分（3）过E作EGAB交PA于G，连接DG.由于E为PB的中

41、点，G为PA的中点.AD=PD，故DPA为等腰三角形，DGAP.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG. 10分9分又ABPA=A，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.11分又GE AB,DF AB,GE DF.四边形DFEG为平行四边形，故DGEF.EF平面PAB.12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013宿州模拟)已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面,则下列命题中的真命题是()(A)若m,n,则mn(B)若m,n,则mn(C)若m,n,则mn(D)若m,n,则mn【解析】选A.由m,可得m或m,又n,故mn,即A正确;如图(1),m,n,但mn,故C错;如图(2)知B错;如图(3)正方体中,m,n,但m,n相交,故D错.2.(2013上饶模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段AC1上有两个动点E,F,且EF= .给出下列四