高三数学专题复习-曲线的性质和轨迹问题+圆锥曲线背景下的最值与定值问题

1、专题七 曲线的性质和轨迹问题 【考点搜索】【考点搜索】 1.掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质； 2.求曲线的方程的常见方法： 待定系数法，即先确定方程的形式，再确定方程的系数； 定义法，即根据已知条件，建立坐标系、列出x和y的等量关系、化简关系; 代入法; 参数法.【课前导引】【课前导引】 1. 已知F1、F2是双曲线 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )解析 设的中点为P，依题意， 解析 设的中点为P，依题意， 答案 D2. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数， ，则动点P的轨迹为 双

2、曲线；过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB， O为坐标原点，若 则动点P的轨迹为椭圆；方程 的两根可分别作 为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线 相同的焦点. 其中真命题的序号为_（写出所有真命题的序号） 解析 的轨迹可能是双曲线的一支，也可能是一条射线，也可能无轨迹； 的轨迹是圆；计算知正确。【链接高考】 【链接高考】 xyAPF1F2OB例1(1)设椭圆的离心率为，证明 (2)证明： (3)设 求椭圆的方程. xyAPF1F2OB解析xyAPF1F2OB( 另：由ab=c2知：xyAPF1F2OB(2) 由(1)有 xyAPF1F2OBxyAPF1F2OBxyAPF1F2OB故所求椭圆的方程为x

3、yAPF1F2OB故所求椭圆的方程为说明 本题采用了待定系数法求轨迹方程.xyAPF1F2OB例2 在ABC中, 已知B(-3,0), C(3,0), 的垂心H分有向线段 所成的比为 (1) 分别求出点A和点H的轨迹方程;解答 设H点的坐标为(x,y),对应的A的坐标为(x1, y1), 则D的坐标为(x1, 0), 由H分有向线段 此即点H的轨迹方程. (2)由(1)可知, P, Q分别为椭圆的左右焦点, 设H(x, y), 且数列, 则 说明 本题采用了代入法求轨迹方程.例3 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点

4、. (1)求APB的重心G的轨迹方程. (2)证明PFA=PFB.ABPFOyxl解答 (1)设切点A、B坐标分别为 ABPFOyxl所以APB的重心G的坐标为 ABPFOyxlABPFOyxl由于P点在抛物线外，ABPFOyxlABPFOyxlAFP=PFB.ABPFOyxl方法2：所以d1=d2，即得AFP =PFB.所以P点到直线AF的距离为：同理可得到P点到直线BF的距离 因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.同理可得到P点到直线BF的距离 因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.说明 本题采用了代入法求轨迹方程.例4 如右图, 已知A: (x+2)2+y2 = B: (x2)2+y

5、2 = , 动圆P与A、B都相外切. yxABP (1)动圆圆心P的轨迹方程； (2)若直线y=kx+1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1、P2，求k的取值范围.解答 (1)依题意，PAPB= 故P的轨迹是双曲线的右支，a=1，c=2，其方程为： yxABP(2)联立方程组在1, +)有两不同的解，例5 A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的两点，且OAOB， 1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积； 2. 求证：直线AB过定点； 3. 求弦AB中点P的轨迹方程； 4. 求AOB面积的最小值； 5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.解答 (1)设A(x1, y1)，B(x2, y2)

6、，中点P(x0, y0)， OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0 y12 = 2px1，y22 = 2px2 y10, y20, y1y2=4p2 x1x2=4p2.(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2) AB过定点(2p, 0)，设M(2p, 0).(3)设OAy = kx，代入y2=2px 得: x=0， 同理， 以代k得B(2pk2, -2pk) .即 y02 = px0-2p2， 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2(4)当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立. (5)法一：设H(x3, y3), 则 由(

7、1)知，y1y2=-4p2， 整理得：x32+y32 -2px3=0， 点H轨迹方程为x2+y2-4x=0(去掉(0, 0). H在以OM为直径的圆上 点H轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉(0, 0). 评注：此类问题要充分利用(1)的结论. 法二： OHM=90, 又由(2)知OM为定线段专题七 曲线的性质和轨迹问题 第二课时【考点搜索】【考点搜索】 1. 在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用； 2. 注意向量与解析几何的密切联系.由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份

8、”，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的轨迹问题都是以向量作为背景编拟的 ； 3.注意利用曲线系解题.【课前导引】 1. 已知反比例函数 的图像是等轴双曲线，则其焦点坐标是 ( )【课前导引】A.B.C.D.解答 双曲线的实轴为直线 x-y = 0, 故两个顶点坐标为 , 且 解答 双曲线的实轴为直线 x-y = 0, 故两个顶点坐标为 , 且 答案 A 2. 已知圆x2+y2=1，点A(1，0)，ABC内接于此圆，BAC=60o，当BC在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是( )A. x2+y2 = B. x2+y2 = C. x2+y2 = D. x2+y2 = 解析 记O为原点，依题意，

9、且OB=OC=1, 故原点到直线BC的距离为由图像可知，BC中点的横坐标小于故选D. 【链接高考】【链接高考】例1 若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3, 2)，求实数m的取值范围.解答 直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2), 直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足kk1或kk2， A(-2, 3) B(3, 2) C(0, -2)ABxyO说明 此例是典型的运用数形结合的思想

10、来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率m应为倾角的正切，而当倾角在(0, 90)或(90, 180)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围.例2 根据下列条件，求双曲线方程.解答 方法一：(1)解之得：则， 解之得： 方法二：(1)设双曲线方程为 (3)设双曲线方程为 ， 解之得：k=4 双曲线方程为 比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想.例3 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且

11、与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.例3 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.解答 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得化简后，得关于的一元二次方程于是其判别式 由已知，得=0即 在直线方程y=kx+m中，分别令y=0，x=0，求得 令顶点P的坐标为(x，y)，由已知，得 代入式并整理，得 即为所求顶点P的轨迹方程. 说明 方程 形似椭圆的标准方程，但图像当然不是椭圆，你能知道它有什么几何性质？例4解（1） （2） 说明

12、向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体. 求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系. 体现了向量的工具性.专题八 圆锥曲线背景下的最值与定值问题【考点搜索】【考点搜索】 1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围. 2. 注意利用某些代数式的几何特征求范围问题（如斜率、两点的距离等）.【课前导引】 1. 设P(x, y)是曲线C：x2+y2+4x+3=0上任意一点，则 的取值范围是 ( )【课前导引】 解析 注意数形结合，表示点(x, y)与原点连线

13、的斜率. 画图可知是C. 解析 注意数形结合，表示点(x, y)与原点连线的斜率. 画图可知是C. 答案 C A【链接高考】【链接高考】例1分析 本题考查向量的运算、函数极值，导数的应用等知识.分析 本题考查向量的运算、函数极值，导数的应用等知识.解析例2解析例3解析法一法二例4例4解析解析 法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理. 在利用点差法时，必须检验条件0是否成立.解析充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视.例5解析专题八 圆锥曲线背景下的最值与定值问题第二课时 【考点搜索】【考点搜索】 1. 利用参数求范围、最值问题

14、； 2. 利用数形结合求解范围、最值问题； 3. 利用判别式求出范围； 4. 新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，如求轨迹、求角度、研究平行与垂直关系等. 要注意利用这些知识解题.【课前导引】【课前导引】解析 由于a2，c1，故椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1，为使n最大，则3=1+(n1)d，但d解析 由于a2，c1，故椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1，为使n最大，则3=1+(n1)d，但d答案 C 2. 曲线 y=x4上的点到直线 x2y1=0的距离的最小值是( ) 2. 曲线 y=x4上的点到直线 x2y1=0的距离的最小值是( ) 解析 设直线L平行于直线x=2y+1,且与曲线y=x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d，即点P到直线x=2y+1的距离， 解析 D【链接高考】【链接高考】例1解析 例2 设有抛物线 y2=2px(p0), 点F是其焦点, 点C(