数学模型第二章习题答案要点

1、第一章作业解答第 页共23页第一章作业解答第 页共23页第二章(2)(2008年10月9日)15.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是p，用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v、S、p的关系.解：设P、v、s、p的关系为f(P,v,s,p)二0，其量纲表达式为：P=ML2T-3,v=LT-1,s=L,p=ML-3，这里L,M,T是基本量纲.量纲矩阵为：A=-212-3(L)1001(M)-3-100(T)(P)(v)(s)(P)3-3y3二0二0齐次线性方程组为：2y+y+2y12y+y14-3y-y12它的基本解为y=(-1,3,1,1)由量纲P定理得兀二P-1v3s1p1，P=

2、Xv3s1p1，其中九是无量纲常数.i16.雨滴的速度v与空气密度p、粘滞系数卩和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,p，卩,g的关系为f(v,p，卩,g)=0.其量纲表达式为v=LM0T-1,p=L-3MT0,卩=MLT-2(LT-1L-1)-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1,g=LMoT-2，其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为-1-3-11-(L)0110(M)A=-10-1-2(T)(v)(p)(卩)(g)齐次线性方程组Ay=0，即y-3y-y+y

3、二01234y+y二023-y-y_2y二0134的基本解为y=(-3,-1,1,1)由量纲P定理得冗二v-3p-iyg.iLlgv八3市，其中中是无量纲常数.16*.雨滴的速度v与空气密度P、粘滞系数卩、特征尺寸丫和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,P,卩,Y，g的关系为f(v,Y,p,卩,g)二0其量纲表达式为v=LMoT-i，p=L-3MTo,卩=MLT-2(LT-iL-i)tL-2二MLL-2T-2T二L-iMT-i,Y=LM0T0，g=LMoT-2其中L，

4、M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=0-1-31-10-2(L)(M)(T)(P)(卩)(g)-3y齐次线性方程组Ay=0-y+y2345y+y34-y-y-2y145的基本解为y1=(1，-2，0，0，-2)31y2二(0,-2,-1，1，-2)得到两个相互独立的无量纲量兀二vy-1/2g-1/2兀二y-3/2p-1|Llg-1/22即v=、帀兀,Y3/2Pg1/2L-1=兀-1.由(兀,兀)=0,得兀=p(兀-1)121212申(y3/2pg1/2卩-1),其中p是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，

5、即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期t，摆长l,质量m，重力加速度g，阻力系数k的关系为f(t,l,m,g,k)二0其量纲表达式为：t二LMoT,l二LMoTo,m二LMTo,g二LMoT-2,k二fv-i二MLT-2(LT-1)-1二LMT-1,其中L,M,T是基本量纲.量纲矩阵为_o1o1o-(L)oo1o1(M)A=1oo21(T)(t)(l)(m)(g)(k)齐次线性方程组y+y二o24r.在每个生产周期T内，开始的一段时间GtT)一边生产一边销售，后来的0一段时间(Ttr2和k-r的情况.解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下:又(k-r)T=r(T-T)000k贮

6、存费变为r(kr)T-Tc二22k于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用(单位时间内)为C(T)=二+C2r(k一r)T2T2kTcr(k-r)T=+c-T22kdCdTcr(k-r)4+cT222k2ckcr(k一r)2i2ck易得函数C(T)在T*处取得最小值，即最优周期为：T*=1一-cr(k一r)2当kr时，T皿i.相当于不考虑生产的情况.cr2当k沁r时，Tg.此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量第三章2（2008年10月16日）3.在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度九与开始救火时的火势b有关,试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度九与火势b有关

7、，可知火势b越大，灭火速度九将减小，我们作如下假设:k八(b)=b+1，分母b+1中的1是防止bT0时九g而加的.TOC o 1-5 h zH曲中P務厂()c012丄c0212(b+1)丄c01x(b+1)丄总费用函数CW=11+几1+21+cx22(kx-0b-0)kx-0b-03最优解为x=Xkb2+2cb(b+1)0(b+1)(b+1)012+2ck2k HYPERLINK l bookmark177 o Current Document 135.在考虑最优价格问题时设销售期为T,由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q（t）=q+Pt，0为增长率.又设单位时间的销售量为x=a-bp（p为

8、价格）.今将销售o期分为ott2和t2tt两段，每段的价格固定，记作pi,p2求pi,p2的最优值,使销售期内的总利润最大如果要求销售期t内的总售量为Qo，再求Pi，p2的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为a-bp,0tT2a-bp,T2tT又q=qo+册于是总利润为12U(p,p)=JT2p一q(t)a-bp)dt+fTp一q(t)a-bp)dt12011T2220(a-bp)pt-qt_一121022+(a-bp)pt-qt-20=(a-bp)(pT-匹)+(a-bp)(叮-叮-匹)i2282八228第一章作业解答第 页共23页卩_-b(少-辽-肥)+T(a-bp)Qp22821

9、QUb(pT_-b(Qp2令QU_0,QU_0,QpQp1得到最优价格为:_1_2b1p_一卩Ta+b(q+)_04川3卩T)a+b(q+)04在销售期T内的总销量为Q_J2(a-bp)dt+”(a-bp)dt_aT-bT(p+p)02于是得到如下极值问题：maXU(pi，p2)_(a-bpi)(一弓一竽)+(a-bp2)(罕血aT-_2比+p2)_Qo利用拉格朗日乘数法，解得：aQpTIibbT8I-aQ丄pT2bbT8即为p,p的最优值.12第三章3（2008年10月21日）6.某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0

10、.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100（吨）;每次订货费ci=2500（元）；每天每吨角钢的贮存费c=0.18(元)又现在的订货周期T=30(天)20根据不允许缺货的贮存模型：C(T)1+crT+krT22得:C(T)二竽0+9T+100kdC2500二一+9dTT2解得：T*.250050=-93由实际意义知：当T*二50(即订货周期为50时，总费用将最小.又C(T*)二3第00+9x50+100k=300+100kC(T0)二鬻+9930+10址=35333+100k2C(T)C(T*)=(353.33+

11、100k)(300+100k)=53.33.0350故应改变订货策略改变后的订货策略(周期)为T*=y，能节约费用约53.33元.数学模型作业解答第四章(2008年10月28日)某厂生产甲、乙两种产品，一件甲产品用A原料1千克，B原料5千克；一件乙产品用A原料2千克，B原料4千克现有A原料20千克，B原料70千克甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S则此问题的数学模型为：maxS=20 x+30yx+2y20s.t.5x+4y0,x,ygZ这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线li：以及x=O,

12、y=O组成的凸四边形区域.直线l:20 x+30y=c在可行域内平行移动.易知：当l过l与l的交点时,12S取最大值.x+2y二205x+4y二70解得x_；0Iy=5此时S=20 x10+30 x5=350（元）max某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表货物体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲5220乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x,x，所获利润为z.则问题的数学模型可表示为12maxz=20 x+1

13、0 x125x+4x2412st2x+5x0,x,ygZ12这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线l:5x+4x=24112:2x+5x=1312及xi=0,x2=0组成直线l：20X10 x2=C在此凸四边形区域内平行移动.2l2x1l易知：当l过li与l2的交点时，z取最大值5x12x1+4x=242+5x=132z二20 x4+10 x1二90.max3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,

14、工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x件，乙型微波炉y件,相应的利润为S.则此问题的数学模型为：maxS=3x+2y2x+3y100s.t.4x+2y6,y12,x,ygZ这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线l:2x+3y=100,12:4x+2y=120及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l:3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l过-与的交点时,S取最大值.第一章作业解答第 页共23页第一章作业解答第 页共23页x二20y

15、=20S=3x20+2x20=100.max数学模型作业解答第五章1(2008年11月12日)1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明：11若s一,则i(t)先增加，在s二一处最大，然后减少并趋于零；s(t)单调减少0QQ1)2)1若sY则i(t)单调减少并趋于零，s(t)单调减少至s.0Q解：传染病的SIR模型(14)可写成厂d二卩i(Gs-1)dtds二一九sidtdsds由=九si,知Y0. HYPERLINK l bookmark73 o Current Document dtdts(t)单调减少.而s(t)0.lims(t)=s存在.8tT8故s(t)单调减少至s.81(1)若s.由

16、s(t)单调减少.s(t)s.0G01当一YsYs时,Gs一10.G01当sY时,Gs一1Y0.G又由书上(18)式知i二0.8d0,i(t)单调增加;dtdY0,i(t)单调减少.dt即limi(t)二0.tT8当s二1时,di二0.i(t)达到最大值i.bdtm(2)若SY丄,则sCL丄，从而bS-1Y0.dY0.0bbdt.i(t)单调减少且limi(t)二0即i二0.gtT8a4.在5.3节正规战争模型(3)中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为二4.b初始兵力x与y相同.00问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型

17、,讨论如何判断双方的胜负.解:用x()yC)表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数，则正规战争模型可近似表示为：dx-r=aydt性=bx,(1)dtx(0)=x,y(0)=y00r0-a现求(1)的解：(1)的系数矩阵为A=了nb0二九2ab二0./.九二：ab1,2九,九对应的特征向量分别为12再由初始条件，得(2、(2、Ceabt+C11丿20,亦即yobr2X2+-a0a2数学模型作业解答第六章(2008年11月20日)1在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h分别就hrN/4，hrN/4，Ax及xYx均有F(x)=rx(1)0，即匚

18、Y0.x不稳定;00N4dt0当h0时，得到两个平衡点：4hN-.1一NrNx=12I4hN+.1NrNx=22N易知：xiN，F(x)0，F(x)N，且尽量接近N，但不能等于N.2222.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：x(t)=rxln.其x中r和N的意义与Logistic模型相同.设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量h及获得最大产量的捕捞强度E和渔场鱼量水平x0解：xC)变化规律的数学模型为 HYPERLINK l bookmark300 o Current Documen

19、t dx(t)N=rxInExdtxN HYPERLINK l bookmark282 o Current Document 记F(x)=rxIn-Exx令F(x)=0,得rxInN-Ex=0 xx=Ne0 xi-又FSrlnN-r-EF(x0)=-r0,FW平衡点为xo,第一章作业解答第 页共23页第一章作业解答第 页共23页最大持续产量的数学模型为：maxh=Exs.t.rxlnEx=0,x丰0.x由前面的结果可得h=ENe一rdhdE=Ne得最大产量的捕捞强度E=r.从而得到最大持续产量h=rN/e，此时渔场鱼量水平mmx*dx(t)x于=rx(1-方)03.设某渔场鱼量x(t)(时刻t

20、渔场中鱼的数量)的自然增长规律为:其中r为固有增长率,N为环境容许的最大鱼量.而单位时间捕捞量为常数h.10求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20.试确定捕捞强度E，使渔场单位时间内具有最大持续产量Q，求此时渔场鱼量水平x*.mm0TOC o 1-5 h zdx(t)x HYPERLINK l bookmark302 o Current Document 解：I0 x(t)变化规律的数学模型为=rx(1-)-hdtNr即x2-rx+h=0-一(1)Nxx记“)=M-n-h，令rx(1-n-h=0A=r2-4rh=r(rN4h)N1)的解为：x1,2当AY0时，(1)无实根，此时无平衡点；N当

21、A=0时，(1)有两个相等的实根，平衡点为x=.02xrx2rxf(x)=r(1-)=r-百，f(x)=0不能断定其稳定性.TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark317 o Current Document NNN0 xrNdx但VxAx及xYx均有f(x)=rx(1-)-Y0，即Y0 x不稳定; HYPERLINK l bookmark323 o Current Document 00N4dt0当AA0时，得到两个平衡点:4hrN易知A；Yy，3込-f(X1)0，广WX0平衡点X不稳定，平衡点x稳定.12maxh20.最大持续产量的数学模型为：“、八sl.f(x

22、)二0 HYPERLINK l bookmark333 o Current Document xNrNN即maxh=rx(1-)，易得x*二此时h=，但x*二这个平衡点不稳定. HYPERLINK l bookmark335 o Current Document N02402NNN要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x,且尽量接近q,但不能等于.数学模型作业解答7.右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向Hamilton圈为3T1T4T5T2T3.所以此竞赛图是双向

23、连通的.等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为A=0001令e=(1,1,1,1,1，各级得分向量为00010SG=Ae=(2,2,1,2,3,S(2)=ASG=(4,3,2,4,5,SG）二AS（2）=（7,6,4,7,9,S（4）=AS（3）=（13,11,7,13,17由此得名次为5，1（4），2，3（选手1和4名次相同）.注：给5位网球选手排名次也可由计算A的最大特征根九和对应特征向量S得到:九二1.8393，S二（0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769第九章（2008年12月18日）1在9.1节传送带效率模型中，设工人数n固定不变若想提高传送带效率D,种简

24、单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变.另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好解：两种情况的钩子数均为2m.第一种办法是2m个位置，单钩放置2m个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置2m个钩子.由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为n当乔较小1时，有2m（1、nD-1-1-nV2m丿2m二1-口4m1n（n-1）、+2m8m2丿D=1-

25、E，Eu一4m下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对.1任一只钩对被一名工人接触到的概率是一；m任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1-丄；m11记p二，q二1-.由工人生产的独立性及事件的互不相容性.得，任一钩对为空mm的概率为qn，其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上1件产品的概率为npq，其空钩数为血.所以一个周期内通过的2m个钩子中，空钩的平均数为n+npqn-1）+npqn-1），2m-qn+m-npqn-1=m于是带走产品的平均数是2m-未带走产品的平均数是n-2m-n+npqn-1此时传送带效率公式为)_n

26、2m一mYqn+npnq丿mD=nnnn-1近似效率公式：由于(1n1-Jm丿nn(n-1)1n(n-1)(n-2)1u1-+m2m2m3.n-1(n-l)(i-2)1u1-+m(n-1)(n-2)Du1-f1-Im丿m26m2当n1时，并令E=1-D，E6m2n26m2两种办法的比较：n由上知：Eu，Eu4m2nE/E=，当mAn时,3m所以第二种办法比第一种办法好数学模型作业解答第九章（2008年12月23日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r是一随机

27、变量，其概率分布如下表：售出报纸数r（百份）012345概率P(r)0.050.150.1试问报童每天订购多少份报纸最佳（订购量必须是100的倍数）？解：设每天订购n百份纸，则收益函数为7r+(4)(nr)rnf(r)=7nrn收益的期望值为G(n)=工(llr4n)P(r)+7n无P(r)r=0r=n+1现分别求出n=0,l,2,3,4,5时的收益期望值.G(0)=0；G(1)=4X0.05+7X0.1+7X(0.25+0.35+0.15+0.1)=6.45;G(2)=(8x0.05+3x0.1+14x0.25)+14x(0.35+0.15+0.1)=11.8；G(3)

28、=(12x0.051x0.1+10 x0.25+21x0.35)+21x(0.15+0.1)=14.4G(4)=(16x0.055x0.1+6x0.25+17x0.35+28x0.15)+28x0.1=13.15G(5)=20 x0.059x0.1+2x0.25+13x0.35+24x0.15+35x0.1=10.25当报童每天订300份时，收益的期望值最大.5某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如表所示：品种原材料能源消耗（百元）劳动力（人）利润（千兀）甲2144乙3625现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为20

29、00人.试安排生产任务（生产甲、乙产品各多少件）,使利润最大,并求出最大利润.解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为maxS=4x+5ys.t.2x+3y1400 x+6y24004x+2y0,y0,x,yeZ模型的求解：用图解法.可行域为：由直线l:2x+3y=14001l:x+6y=24002:l:4x+2y=20003及x=0,y=0组成的凸五边形区域.直线1：4x+5y=C在此凸五边形区域内平行移动.易知：当1过J与的交点时，S取最2x+3y=1400大值.由4x+2y=2000解得：x=400,y=200S=4x400+5x200=2600（千元）

30、.max故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.6.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表货物体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲5220乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x,x，所获利润为z.则问题的数学模型可表示为12maxz=20 x+10 x12飞x+4x2412st2x+5x0,x,ygZ12这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线1:5x+4x=24112:2x+5x=1312及x1=0,x2=0组成直线1:203+10 x2=C在此凸四边形区域内平行移动.212x116：4-易知：当l过l与l2的交点时，z取最大值5x由V2x11+4x=24x=4+5x=13解得Vx=122z二20 x4+10 x1二90.max7深水中的波速v与波长九、水深d、水的密度p和重力加速度g有关，试用量纲分析方法给出波速v的表达