2022-2023学年人教A版必修第一册 第四章 4.2.1指数函数的概念 学案

1、第四章 指数函数与对数函数4.2指数函数4.2.1指数函数的概念素养导引1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义(数学抽象)2.理解指数函数的概念(数学抽象)一、指数函数一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R【批注】关于指数函数底数的概念：(1)指数函数解析式的特征：a0，且a1；ax的系数为1；自变量x的系数为1的函数(2)指数函数的底数规定a0，且a1的原因：如果a0，当x0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x0时，ax无意义如果a0，例如y(4)x，这时对于x eq f(1,2) ， eq f(1,4) ，该函数无意义如果a1，则y1x是一个常量

2、，没有研究的价值为了避免上述各种情况，所以规定a0，且a1.诊断辨析记忆(对的打“”，错的打“”).1函数yx4是指数函数. ()提示：函数yx4是幂函数，不是指数函数；2函数yax是指数函数()提示：当底数a0，且a1时才是指数函数；3函数y10是刻画的指数增长变化规律()提示：.刻画的是指数衰减的变化规律二、指数增长模型设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则yN(1+p)x(xN).【批注】1.如果每次的衰减率为p，其他条件不变，则yN(1p)x；2形如ykax(kR，k0；a0，且a1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型诊断1(教材P114例1改编)

3、若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为()Af(x)x3Bf(x)2xCf(x) Df(x)【解析】选B.设f(x)ax eq blc(rc)(avs4alco1(a0，且a1) ，则a38，a2，所以f(x)2x.2(教材P115练习T1改编)指数函数f(x)的图象过点(2，4)，则f(2)_【解析】设f(x)ax(a0，且a1)，因为f(x)的图象过点(2，4)，所以a24，a eq f(1,2) ，即f(x)，所以f(2) eq f(1,4) .答案： eq f(1,4) 学习任务一指数函数的概念及其应用(数学抽象)1(多选题)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的

4、是()Ay(4)xByxCy( eq r(3) 1)xDyax2(a0，且a1)【解析】选BC.由指数函数的定义，A中底数为负，D中指数不是x，故B，C正确2若函数y(2a1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()Aa0且a1Ba0且a1Ca eq f(1,2) 且a1 Da eq f(1,2) 【解析】选C.函数y(2a1)x(x是自变量)是指数函数，则 eq blc(avs4alco1(2a10，,2a11) ，解得a eq f(1,2) 且a1；3若函数y(k2)ax2b(a0，且a1)是指数函数，则k_，b_【解析】根据指数函数的定义，得 eq blc(avs4alco1(k

5、21，,2b0，) 解得 eq blc(avs4alco1(k1，,b2.) 答案：12判断一个函数是指数函数的方法(1)判断的依据是指数函数的定义，即函数解析式的三个结构特征；(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y eq f(1,2x) 是指数函数学习任务二指数函数的解析式及其应用(数学运算)【典例】已知函数f(x)为指数函数，且f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq f(r(3),9) ，求f(2)的值【解题思维】观察指数函数；f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq f(r(3),9) ；求值联想f(x)ax；代入得方程；指数运算法则

6、转化设出方程；解出a值；指数运算求值【解析】设f(x)ax(a0，且a1)，由f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq f(r(3),9) 得 eq f(r(3),9) ，所以a3，又f(2)a2，所以f(2)32 eq f(1,9) .求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式为f(x)ax(a0且a1).(2)利用已知条件求底数a.(3)写出指数函数的解析式已知指数函数f(x)的图象过点( eq f(1,2) ， eq f(r(2),2) )，则f(x)_，f(2)2的值为_【解析】设指数函数f(x)ax(a0，且a1)，把点 eq blc(rc)(avs4al

7、co1(f(1,2)，f(r(2),2) 代入可得 eq f(r(2),2) ，解得a eq f(1,2) ，所以f(x)，所以f(2)2 eq f(1,16) .答案： eq f(1,16) 学习任务三函数模型ykax的实际应用(数学建模)【典例】(2022深圳高一检测)在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数量大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数量大约为原来的多少倍？【解析】设湖泊中原来蓝藻数量为a，则a(16.25%)306a，所以经过60天后该湖泊的蓝藻数量为ya(16.25%)60a(16.25%)30236a.所以经过60天后该湖泊的蓝藻数量大约为原来的36倍关于函数ykax在实际问题中的应用(1)函数ykax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k0时，若a1，则刻画指数增长变化规律，若0a1，则刻画指数衰减变化规律(2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题(2022昆明高一检测)某林场计划第一年造林1 000公顷，以后每年比前一年多造林20%，则第四年该林场造林多少公顷？【解析