2022-2023学年人教A版必修第一册 第二章 2.2 第2课时基本不等式的应用 学案

1、第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第2课时基本不等式的应用素养导引1.能灵活运用基本不等式求最大(小)值(数学运算)2.会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题(数学建模)学习任务一基本不等式的变形应用(逻辑推理、数学运算)【典例】1.(2022温州高一检测)若b是正数，且3a22b211，则b eq r(3a2) 的最大值是_【解析】因为b是正数且3a22b211，所以b eq r(3a2) eq f(r(6),6) eq r(（2b2）（93a2）) eq f(r(6),6) eq f(2b293a2,2) eq f(5r(6),3) ，当且仅当 eq blc(avs

2、4alco1(3a22b211，,2b293a2，) 即 eq blc(avs4alco1(af(r(3),3),br(5) ，时，等号成立，即b eq r(3a2) 的最大值是 eq f(5r(6),3) .答案： eq f(5r(6),3) 2(1)y eq f(x27x10,x1) (x1)的最小值为_(2)y eq f(x1,x23x8) (x1)的最大值为_【解析】(1)y eq f(x27x10,x1) eq f(（x1）25（x1）4,x1) (x1) eq f(4,x1) 5，因为x1，所以x10，所以y2 eq r(（x1）f(4,x1) 59，当且仅当x1 eq f(4,x

3、1) ，即x1时，等号成立，故所求最小值为9.答案：9(2)y eq f(x1,x23x8) eq f(x1,（x1）2（x1）6) eq f(1,（x1）f(6,x1)1) ，因为x1，所以x10，所以y eq f(1,2r(（x1）f(6,x1)1) eq f(1,12r(6) eq f(2r(6)1,23) ，当且仅当x1 eq f(6,x1) ，即x eq r(6) 1时，等号成立故所求最大值为 eq f(2r(6)1,23) .答案： eq f(2r(6)1,23) 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变

4、形(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提已知x eq f(1,2) ，则2x eq f(1,2x1) 的最大值是_【解析】因为x eq f(1,2) ，所以12x0.因为2x eq f(1,2x1) 2x1 eq f(1,2x1) 1(12x eq f(1,12x) )1，又因为12x eq f(1,12x) 2 eq r(（12x）f(1,12x) 2(当且仅当x0时，等号成立).所以2x eq f(1,2x1) 211，即最大值是1.答案：1【补偿训练】 当x_时，y eq f(x24,x1) (x1)取得最小值为_【解析】因为x1，所以

5、x10，y eq f(x24,x1) eq f(（x1）22（x1）5,x1) x1 eq f(5,x1) 22 eq r(（x1）f(5,x1) 222 eq r(5) ，当且仅当x1 eq f(5,x1) ，即x1 eq r(5) 时等号成立，所以y eq f(x24,x1) (x1)的最小值为2 eq r(5) 2.答案：1 eq r(5) 2 eq r(5) 2学习任务二常数代换法解基本不等式问题(数学运算)【典例】(2022黄冈高一检测)(1)已知a，b均为正实数，且2a8bab，求ab的最小值；(2)已知a，b，c都为正实数，且abc1，求 eq f(1,a) eq f(1,b)

6、eq f(1,c) 的最小值【解析】(1)因为2a8bab，所以 eq f(8,a) eq f(2,b) 1.又因为a0，b0，所以ab(ab) eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,a)f(2,b) 10 eq f(8b,a) eq f(2a,b) 102 eq r(f(8b,a)f(2a,b) 18，当且仅当 eq f(8b,a) eq f(2a,b) ，即a2b时，等号成立由 eq blc(avs4alco1(a2b，,f(8,a)f(2,b)1，) 得 eq blc(avs4alco1(a12，,b6.) 所以当a12，b6时，ab取得最小值18.(2)因为abc1，所以

7、eq f(1,a) eq f(1,b) eq f(1,c) eq f(abc,a) eq f(abc,b) eq f(abc,c) 3( eq f(b,a) eq f(a,b) )( eq f(c,a) eq f(a,c) )( eq f(c,b) eq f(b,c) )32229，当且仅当abc eq f(1,3) 时等号成立所以 eq f(1,a) eq f(1,b) eq f(1,c) 的最小值为9.常数代换法求最值的基本步骤构造定值通过代数式的变形，构造定值的式子常数代换把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商推理变形利用基本不等式推理变形求得最值验证等号成立的条件，求得最

8、大(小)值闪问常数代换法适用于哪种问题情境？提示：常数代换法适用于变量x，y是正实数，整式axby与分式 eq f(m,x) eq f(n,y) 一个值已知求另外一个的最(大)小值问题已知x0，y0且xy1，若px eq f(1,x) y eq f(1,y) ，求p的最小值【解析】由x0，y0且xy1得px eq f(1,x) y eq f(1,y) x eq f(xy,x) y eq f(xy,y) 3 eq f(y,x) eq f(x,y) 325，当且仅当xy eq f(1,2) 时，等号成立，所以p的最小值为5.【补偿训练】 已知x0，y0，且满足 eq f(8,x) eq f(1,y

9、) 1，求x2y的最小值【解析】因为x0，y0， eq f(8,x) eq f(1,y) 1，所以x2y( eq f(8,x) eq f(1,y) )(x2y)10 eq f(x,y) eq f(16y,x) 102 eq r(f(x,y)f(16y,x) 18，当且仅当 eq blc(avs4alco1(f(8,x)f(1,y)1，,f(x,y)f(16y,x)，) 即 eq blc(avs4alco1(x12，,y3) 时，等号成立所以当x12，y3时，x2y取得最小值18.学习任务三基本不等式的实际应用(数学建模)【典例】(2022兰州高一检测)某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12 m

10、2的背面靠墙的小屋，小屋正面的造价为1 200元/m2，侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5 200元如果小屋墙高为3 m，且不计小屋背面和底面的费用，问：怎样设计小屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？【解题思维】观察(1)底面为矩形且面积为12 m2的背面靠墙的小屋，小屋正面的造价为1 200元/m2，侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5 200元(2)怎样设计小屋能使总造价最低？最低总造价是多少元联想(1)总造价由正面、侧面、屋顶三个部分的造价构成(2)用基本不等式求最小值转化设房屋正面的长为x m，侧面的长为y m，房屋的总造价为z元根据题意，用x，y表示z，再结合基本不等

11、式，即可求解【解析】设房屋正面的长为x m，侧面的长为y m，房屋的总造价为z元，根据题意，有xy12，故z3x1 20023y8005 2001 200(3x4y)5 2001 200(3x4 eq f(12,x) )5 2001 200(2 eq r(3xf(48,x) )5 20034 000，当且仅当3x eq f(48,x) ，即x4时，等号成立，故当x4时，y3.所以将房屋设计成正面长为4 m，侧面长为3 m时，总造价最低，最低总造价是34 000元运用基本不等式解决实际问题的步骤(1)认真审题，恰当选择变量(x或y)，并求其取值范围；(2)用x或y表示要求最大(小)值的量z；(3

12、)利用基本不等式，求出z的最大(小)值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为y2x2(154k)x120k8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量x1时，总成本y142.(1)求k的值；(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【解析】(1)由题意，除尘后y2x2(154k)x120k8kx2x2(153k)x120k8，因为当日产量x1时，总成本y142，代入计算得k1；(2)设生产产品的总利润为L，由