八年级数学三角形全等知识要点解析

1、 全等三角形知识要点解析目标： 1. 会灵活运用本章知识进行计算和证明。 2. 进一步稳固三角形全等的性质及判定三角形全等的方法，培养和提高运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 3. 进一步掌握数学几何问题的解法，拓展发散思维能力。重点和难点： 重点：全等三角形的概念和性质，三角形全等的判定方法和直角三角形的性质和判定。 难点：三角形全等的判定与性质的综合应用，灵活选用判定三角形全等的方法解决问题，并能用根本尺规作图进行综合作图。知识网络图： 知识要点总结： 1. 旋转的定义： 将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角，得到图形F，图形的这种变换叫旋转。 2. 旋转的性质

2、： 性质1：对应点到旋转中心的距离相等。 性质2：对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于旋转角。 性质3：旋转不改变图形的形状和大小。 3. 全等三角形及其性质： 1全等形：能够完全重合的图形叫做全等形。 2全等三角形：能够完全重合的三角形叫做全等三角形。 3全等三角形的表示方法：比方BCDAEF 4全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等； 全等三角形周长、面积、对应高、中线、角分线等对应要素都相等。 4. 三角形全等的判定定理 1一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS。 2直角三角形：HL，SAS，ASA，AAS，SSS。 5. 直角三角形： 1直角

3、三角形的性质： 两锐角互余。 如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 斜边上的中线等于斜边的一半。 ，有一个角为90。 如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30 两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2。 2直角三角形的判定： 有一个角为90的三角形为直角三角形。 有两个角互余的三角形为直角三角形。 如果三角形的三边长a、b、c，有下面关系： a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。 6. 作三角形 1三边作三角形。 2两边及其夹角作三角形 3两角及其夹边作三角形规律与方法 1. 三角形的边角关系： 1三角形的任意两边之和大于第三边，任意两

4、边之差小于第三边。 2三角形内角和等于180。 3三角形的任一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 2. 三角形的分类： 3. 证明线段相等的方法： 1可证明它们所在的两个三角形全等。 2角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。 3等角对等边。 4等腰三角形的三线合一的性质。 5垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 6等式的性质。 7中点的定义。 4. 证明角相等的方法： 1同角等角的余角相等。 2同角等角的补角相等。 3平行线的性质： 两直线平行，同位角相等。 两直线平行，内错角相等。 4全等三角形的对应角相等。 5等边对等角。 6角平分线的定义。 7等式的

5、性质。 8对顶角相等。 5. 证明垂直的方法 1证邻补角相等。 2证和直角三角形全等。 3勾股定理的逆定理。 6. 全等三角形问题中常见的辅助线的作法1)、“见山开道，遇水搭桥的利用连接隐含的公共边的辅助线添加方法构造全等三角形，进而证明线段(角)相等的结沦。2)遇到等特殊三角形， 可利用特殊三角形的性质：如为等腰、等边三角形，考虑三线合一、特殊角关系；假设为直角三角形，考虑勾股定理、斜边中线；假设为有一个角是30的直角三角形，考虑斜边中线及30角所对边之间的关系.3)、遇到三角形的中线，倍长中线，图甲：延长AD到E，使ED等于AD，并连接BE；构造中位线内购，图乙：过D作DE平行AB，交AC

6、于E；外造图丙:过C作CE平行AB，交BA延长线于E 4)、遇到角平分线：可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，三角形全等变换中的“对折思维模式，利用角分线的性质定理或者逆定理去解决问题，(图X：过D作DE、DF分别垂直AB、AC)；或者作角分线的平行线构造等腰三角形图甲：延长BA至E，使AEAC，连结CE或过C作CEAD，交BA的延长线于E；或者在角分线的夹边的长边上截取线段与短边相等构造全等三角形图乙：在较长边AB上截取AEAC，连结DE，如图乙；或者过另外的顶点作边的平行线构造等腰三角形图丙：过C作CEAB，交AD的延长线于E；或者过角分线与对边交点作边的平行线构造等腰三角形图丁：过

7、D作DEAB，交AC于E； 、根据具体情况截长法与补短，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6、根据条件利用平移、旋转、对称等图形转换关系去作辅助性,找联系解决问题。数学思想方法 1. 通过学习，逐步学会运用分析、综合、归纳、概括及类比的方法，逐步开展有条理的思考和表达能力。 2. 转化的思想：将复杂问题转化，分解，将实际问题转化成几何问题解决。 3. 图形处理方法： 1分解图形法： 复杂图形都是由较简单的根本图形组成，故可将复杂图形分解成根本图形。 2构造

8、图形的方法： 当直接说明问题有困难时，常添加辅助线，构造图形到达解题目的。掌握以下8类问题及其解法，并领会其中的数学思想： 1. 能够利用三角形全等的判定及其性质，证明线段或角相等，领会全等形的思想。 2. 能够利用等腰三角形和直角三角形的特殊性质解题，领会一般与特殊的关系。 3. 能够理解旋转，角平分线的概念及其性质，领会对称思想。 4. 能够理解逆命题与逆定理的概念，领会对立统一的思想。 5. 通过几何问题一题多解的研究和推理论证分析综合的训练，渗透转化思想和辨证唯物主义观点。 6. 通过对实际问题的研究表达理论联系实际的思想。 7. 通过用代数方法解决几何问题又表达了数形结合的思想和方程

9、的思想。 8. 能够运用尺规作图，将作图问题转化为根本作图，领会化归思想。添加辅助线口诀几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.角平分线取一点，可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称之后关系现； 角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看全等三角形问题中常见辅助线的作法例解一、倍长中线线段造全等 通过一题多种辅助线的添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移体会构造的

10、全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不管是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等。1、，如图ABC中，AB=5，AC=3，那么中线AD的取值范围是_.2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. 4、如下图，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：AC=BF。5、如图，AD为ABC的中线，求证：AB+AC2AD 6、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、

11、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC_C_D_B_A2、如图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点E，求证;ABAC+BD3、如图，在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 5、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC三、平移变换1 、AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为

12、.求证.2 、如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. 1说明BE=CF的理由；2如果AB=，AC=，求AE、BE的长.3、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：1如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写

13、出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图2如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。 4、如图甲，ABC中，C2B，12，求证：ABACCD 五、旋转1、 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 2、 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当绕点D转动时，求证DE=DF。假设AB=2，求四边形DECF的面积。 3、 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为

14、顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，那么的周长为 ； 4、四边形中，绕点旋转，它的两边分别交或它们的延长线于当绕点旋转到时如图1，易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，不需证明图1图2图35、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系 图1 图2 图3 6、如图，ABC中，A90，ABAC，BD平分ABC交AC于D，CEBD的

15、延长线于E，求证：BD2CE。 练习1、：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADADBC：D是AB中点，ACB=90，求证：DABC 3、：BC=DE，B=E，C=D，F是CD中点，求证：1=2ABCDEF214、：1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=ACBACDF21E：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2CACDB6、：AC平分BAD，CEAB，B+D=180，求证：AE=AD+BE7、 如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。：AB=CD，A=D，求证：B=CABCD9、P是BAC平分线A

16、D上一点，ACAB，求证：PC-PBAC-ABPDACB10、ABC=3C，1=2，BEAE，求证：AC-AB=2BE，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DCFAEDCB12、 如图，在ABC中，BD=DC，1=2，求证：ADBC13、如图，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B为垂足，AB交OM于点N求证：OAB=OBA14、如图，ADBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D求证：AD+BC=AB15、如图，ABC中，AD是CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：C=2B16、如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E，BFAC于F，

17、假设AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M1求证：MB=MD，ME=MF2当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？假设成立请给予证明；假设不成立请说明理由 17、：如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点，1求证：AEDEBC2观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC外，请再写出两个与AED的面积相等的三角形直接写出结果，不要求证明：18、如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE19、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BECF，BE=CF。求证：AM是A

18、BC的中线。20、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF21、公园里有一条“Z字形道路ABCD，如下图，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BECF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.22、：如下图，ABAD，BCDC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AEAF。 DBCcAFEACBDEF23、：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD 24、：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE假设AB = 5 ,求AD 的长？

19、DCBAE25.如图，给出五个等量关系： 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论只需写出一种情况，并加以证明ABC： 26、在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，1中的结论还成立吗？假设成立，请给出证明；假设不成立，说明理由.AEBMCF27、如下图，AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：1EC=BF；2ECBF28、如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：1AM=AN；2AMAN。29如图,ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，那么AB与AC+BD相等吗？请说明理由30、如图，1=2，3=4，求证：AB=CD ABCDEF31如下图，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE32将直角三角形ACB为直角沿线段CD折叠使B落在B处，假设ACB=60，那么ACD度数为多少？ 33如图，ABE和ACD是