统计学课件：第三章 抽样与抽样分布

1、第 三 章抽样与抽样分布 一 统计抽样与抽样方法 二 抽样分布 三 中心极限定理的应用一 常用的抽样方法（一）总体与样本1、总体（Population） 总体是指根据研究目的所确定的所要研究的同类事物的全体，是所要说明其数量特征的研究对象。 总体单位：构成总体的个别事物。2、样本（Sample） 从总体中抽取的部分总体单位所构成的整体。大样本： 小样本：（二）参数和统计量参数：概括整个总体所有数据的一个数值。 （总体的某种特征值） 例：总体平均数、总体比例，总体方差等统计量：概括整个样本所有数据的一个数值。 （样本的某种特征值） -例：样本平均值、样本比例，样本方差等参数是固定的，统计量是变化

2、的每一个参数，有一个相应的样本统计量总体参数样本统计量总体与样本的指标表示法 总体参数 样本统计量 (Parameter) (Sample Statistic)容量平均数比例方差标准差小练习 某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？（三） 抽样方法 特点：按一定的概率以随机原则抽取样本

3、抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概 率随机抽样：按照随机原则选取样本，即每个样本都有相同的被抽中的机会。随机抽样最基本的组织方式有：简单随机抽样(Sample random sampling)、分层抽样（Stratified sampling)、系统(等距)抽样（Systematic sampling)整群抽样(Cluster sampling)。 随机抽样的优点： 1、避免主观选样带来的倾向性误差 2、方便人们计算和控制抽样误差因此，在推断统计中，一般采用随机抽样方法二 抽样

4、分布 （一）总体分布 （二）样本分布 （三) 抽样分布 (一)总体分布和样本分布 假定某公司进口了100000只灯管，从中抽出100只进行检验,检验其使用寿命。这100000只灯管即为总体，抽出的100只即为样本。 100000只灯管使用寿命的分布即为总体分布。使用寿命（小时）X灯管数比重（%）4000以下340004500114500500018500055003555006000206000650096500以上4合计100总体分布 抽出的某100只即为一个样本，这100只灯管使用寿命的分布即为该样本的分布。使用寿命（小时）灯管数比重（%）4000以下3400045001145005000

5、18500055003555006000206000650096500以上4合计100某个样本分布 抽样分布是什么分布？ （1）抽样分布的概念 （2）了解抽样分布是怎么形成的？ （3）抽样分布与总体分布、样本分布 的关系 （4）多种抽样分布形式（均值的抽样分布、比例的抽样分布、方差的抽样分布）(二)抽样分布(Sampling distribution) 抽样分布是指样本统计量的概率分布。如：上例中，将所有可能样本的均值作为一个新的总体的分布即为样本均值的抽样分布。再如：将所有可能样本的比例作为一个新的总体的分布即为样本比例的抽样分布。 试想： 如果所有样本均值这个新的总体的分布为正态分布，意味

6、着什么？(可以将正态分布作为统计推断的工具，利用正态分布的性质计算）一个复杂的例子：上例中，在重复抽样的条件下，可抽取 个可能样本，计算所有可能样本的均值：此时：平均使用寿命（小时）灯管数比重（%）4000以下14000450054500500020500055004855006000206000650056500以上1合计100抽样分布： 将上例一般化，如果总体有N个单位，从中采取重复抽样方法，随机抽取n个单位进行调查，则有： 设一个总体，含有4个单位（个体），即总体单位数N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下：均值：方差：一个简单例子

7、：样本均值的抽样分布总体分布14230.1.2.3 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表：3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n = 2 的样本（共16个） 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P ( x )1.53.0

8、4.03.52.02.5x 小结1：均值抽样分布与总体分布的关系（1）式中：M为样本数目 n为样本容量抽样分布 = 2.5 2 =1.25总体分布P ( x )1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x14230.1.2.3 均值抽样分布与总体分布的关系（2）小结2：样本均值抽样分布的形成过程（见书P101）1、确定研究总体2、从总体中抽取容量为n的所有样本3、计算出所有样本的均值(某统计量的值)4、编制样本平均值的频数分布表，并绘制直方图、曲线图以观察其分布特征例：见书P100思考: 这里只是两个极端的例子,其他情况下抽样分布与总体分布仍然是这种关系么?书P104中位数的抽样

9、分布 = 50 =10X总体分布n = 4抽样分布Xn =16 当总体服从正态分布N(,2 )时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值 也服从正态分布， 的数学期望为，方差为2/n。即 N(,2/n)从正态总体中抽样从非正态总体中抽样结论： 从非正态中体中抽样，所形成的抽样分布最终也是趋近于正态分布的。只是样本容量需要更大些。总结：中心极限定理 设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布 当样本容量足够大时(n 30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布一个任意分布的总体X正态分布非正态分布正态

10、分布三 中心极限定理的应用中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取容量为n的样本，当n足够大时，样本平均数的分布服从正态分布。正 态 分 布人的身高、体重等生理指标服从正态分布科学观测的测量误差服从正态分布一些股票的收益率也服从正态分布收入、降雨量 日常生活中存在着大量的服从正态分布的随机现象。正态分布的重要性体现在： 1、许多随机现象可用正态分布描述或近似描述 如：2 、许多分布可用正态分布近似计算。 如二项分布、泊松分布等。中心极限定理表明：在一定条件下，很多变量的叠加都可用正态分布近似3、正态分布可导出一些有用的分布。如t分布 正态分布是

11、变量的一种分布，其分布密度函数定义如下：，记为1、正态分布的概率密度函数以课本55页第12题（3）粗略估计一下，男生中有？%的人体重在5565公斤之间？（4）粗略估计一下，女生中有？%的人体重在4060公斤之间？f(x)xab即服从正态分布的随机变量在区间（a，b）上取值的概率等于分布密度函数图中绿色阴影部分面积。P(ax30 无限总体 （2）方差未知设则有：用样本方差近似代替 总体方差进行估计3、总体很大、方差未知、小样本总体N很大，且近似正态分布4、非正态总体、方差未知、小样本补充：均值抽样分布的其他问题一、样本容量与抽样分布的标准差的 关系 小练习： 用简单随机重复抽样方法抽取样本单位，

12、如果要使抽样分布的标准差降低50%，则样本容量需要扩大到原来的 （ ） A、2倍 B、 3倍 C、4倍 D、5倍 C二、关于抽样误差：1、什么是抽样误差？2、如何度量抽样误差？ 关于抽样误差，有三个相互区别而又相互联系的概念： 含义：是指某一具体样本的样本估计值与总体参数的真实值之间的离差。 分析：每次抽样的实际抽样误差是无法计算的。所谓抽样误差可以计算和控制，并不是指某次具体抽样的实际抽样误差，而是指所有可能样本从理论上来考察的抽样平均误差和抽样极限误差（1）：实际抽样误差（2）抽样平均误差 抽样平均误差概括的反映了所有可能样本的均值与相应总体均值（参数）的平均误差程度，可衡量样本对总体的代

13、表性大小。 抽样平均误差的计算根据中心极限定理理论，抽样平均误差实际上就是抽样分布的标准差，即： 影响抽样平均误差的主要因素： （1）总体标准差 （2）样本容量其他因素 如抽样方法（是否重复抽样），抽样组织方式等都会影响抽样平均误差的大小（3）抽样极限误差（暂不作要求） 抽样极限误差也称允许误差，是指在一定概率下抽样误差的可能范围。本概念在第四章中将会详细讲解 不重复抽样所得样本对总体的代表性较大，抽样平均误差较重复抽样误差小。如方差已知、大样本下：三、有限总体的修正系数 有限总体修正系数可以省略的前提是（ ）。A、n/N0.5 B、n/N0.5 C、n/N0.05 D、 n/N0.05 C 例题：某家具厂在批量生产的100张椅子中随机抽取36张作检验，每张椅子的评分是0分至10分，