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1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二十一章 二次函数与反比例函数21.1 二次函数【知识与技能】1.认识二次函数,知道二次函数自变量的取值范围,并能熟练地列出二次函数关系式【过程与方法】通过对实际问题的探索,熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围.【情感态度与价值观】培养学生探索新知的能力,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动地获取知识. 能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 熟练地列出二次函数关系式. 多媒体课件. (课件展示问题)1.什么叫函数?它有几种表示方法?2.什么叫一次函数?(y=kx+b)自变量是什么?函数是什么?常量是什么
2、?为什么要有k0的条件?k值对函数性质有什么影响?【教学说明】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念,加深对函数定义的理解.强调k0的条件,以便与二次函数中的a进行比较. 一、思考探究,获取新知1.函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系,我们已学过正比例函数,反比例函数和一次函数.看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.问题1 某水产养殖户用长40米的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗,要使围成的水面的面积最大,则它的边长应是多少米?设:围成的矩形的一边长为x米,那么,矩形水面的另一边长为(20-x)米,若面积是Sm2,则有:S=x(20-x)问题2 有一玩具厂,
3、如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个,如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个,问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少?设:增加x人,这时,共有(15+x)人,每人每天可少装配10 x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10 x)个,所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为:y=(190-10 x)(15+x)在问题1中函数的表达式可化简为:S=-x2+20 x在问题2中函数的表达式可化简为:y=-10 x2+40 x+28502.教师引导学生观察问题1.问题1中的函数关系式,提出以下问题让学生思考回答;(1)这两个函数关系式的自变量
4、各有几个?(2)多项式-2x220 x和-10 x240 x2850分别是几次多项式?(3)这两个函数关系式有什么共同特点?(4)你能结合一次函数的概念,给这种函数下个概念吗?【归纳结论】表达式形如y=ax2bxc(a、b、c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数,其中x是自变量.a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项.3.想一想,在二次函数中自变量的取值范围有什么要求呢?说出问题1、问题2中自变量的取值范围.【归纳结论】二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,自变量x的取值范围为0 x20.【教学说明】学生通过
5、实际问题的分析,列出关系式,并观察、利用类比的思想总结出二次函数的概念.二、典例精析,掌握新知【例1】 判断下列函数是否为二次函数?如果是,指出其中常数a、b、c的值.(1)y=1-3x2; (2)y=x(x-5);(3)y=x-x+1;(4)y=3x(2-x)+3x2;(5)y=;(6)y=;(7)y=x4+2x2-1.解:(1)、(2)是二次函数.(1)中,a=-3,b=0,c=1;(2)中,a=1,b=-5,c=0.【例2】 当k为何值时,函数y=(k-1)+1为二次函数?解:令k2+k=2,得k1=-2,k2=1.当k1=-2时,k-1=-2-1=-30;当k2=1时,k-1=1-1=
6、0.所以当k=-2时,函数y=-3x2+1为二次函数.【例3】 写出下列各题的函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系式;(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式;(3)菱形的两条对角线长的和为26 cm,求菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式.解:(1)S=6a2,是二次函数;(2)y=,是二次函数;(3)S=x(26-x),是二次函数.三、运用新知,深化理解1.下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)( A )【分析】紧抓二次函数的概念.2.m取哪些值时,函数y=(m2-m)x
7、2+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数?【分析】若函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数,须满足的条件是:m2-m0.解:若函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数,则m2-m0.解得m0且m1.因此,当m0且m1时,函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数.3.(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系;(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;【分析】(1)根据正方体表面积公式可得.(2)面积与半径有关,所以根据周长表示出半径就可求出面积.解:(1)S=6a2(a0).(2)y=(x0).4.
8、正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式;(2)当小正方形边长为3cm时,求盒子的表面积.解:(1)S2=152-4x2=225-4x2(0 x);(2)当x=3cm时,S=225-432=189(cm2).5.已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函数值是4;当x=2时,函数值是-5.求这个二次函数的解析式.解:把x=1,y=4;x=2,y=-5分别代入y=x2+px+q,得方程组 所以这个二次函数的表达式为y=x2-12x+15【教学说明】理论学习
9、完二次函数的概念后,让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数,将理论知识应用到实践操作中. 1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a0)的函数叫做二次函数.2.能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 1.布置作业:教材“习题21.1”中第1、2、5题。 本节课通过简单的实际问题,学生会很容易列出函数关系式,也很容易分辨出哪个是二次函数.通过复习类比,大部分同学对于二次函数的理解都比较好,会找自变量,会列简单的函数关系式,总体效果良好!第二十一章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图像与性质21.2.1 二次函数y=ax2的图象
10、和性质【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x2的图象,并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=-x2的图象,并能够比较与y=x2的图象的异同,初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度与价值观】培养学生数形结合的思想,积累数学经验,为后续学习服务. 会画y=ax2的图象,理解其性质. 结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质,并归纳总结出来. 多媒体课件. (课件展示问题)一次函数y=kx+b和反比例函数(k0)图象是什么形状?有哪些性质呢?那么二次
11、函数y=ax2+bx+c(a0)的图象会是什么样?通常怎样画一个函数的图象呢?引入课题【教学说明】通过创设问题情景,引导学生复习描点法,复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法,为学习二次函数的图象奠定基础. 一、思考探究,获取新知1.试着画出y=x2的图象.【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程,进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤,为将来画其他函数的图象奠定基础,同时也培养了学生动手操作能力,经历了知识的形成过程.2.观察二次函数y=x2的图象,回答下列问题.(1)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(2)图象有最低点吗?如果有,最低点
12、的坐标是什么?(3)当x0时,随着x的增大,函数y如何变化?当x0时呢?【归纳结论】二次函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称,过坐标原点并向上伸展的曲线,像这样的曲线叫做抛物线.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.3.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=x2和y=2x2的图象.解:(1)列表.(2)描点、连线.4.探究.(1)观察二次函数y=x2和y=2x2的图象,分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标;再指出图象有最高点还是有最低点?图象何时上升、何时下降?(2)你能根据函数y=x2和y=2x2的图象的共同特点,总结出二次函数y=ax2(a0)的性质吗?【归纳结论】二次函数y=ax
13、2(a0)的图象及性质为:5.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=-x2、y=-x2和y=-2x2的图象.仿照上面的表格,总结出y=ax2(a0)的性质.6.对比函数y=x2和y=-x2、y=x2和y=-x2、y=2x2和y=-2x2的图象,指出它们的相同与不同之处.7.思考:(1)a0与a0时,函数y=ax2的图象有什么不同?(2)|a|的大小对函数y=ax2的图象的开口大小有什么影响?(3)二次函数的图象是什么形状?【归纳结论】1.抛物线y=ax2(a0)的对称轴是y轴,顶点是原点;2.a0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小;3.a0时,抛物线y
14、=ax2的开口向下.顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大.【教学说明】让学生自己去观察分析,过程让学生自己去感受,结论让学生自己去总结,实现学生主动参与、探究新知的目的.二、典例精析,掌握新知【例1】 画出二次函数y=x2的图象.解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.x-3-2-10123y9410149 (2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示. 思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果
15、是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物
16、线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】 在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.解:分别填表,再画出它们的图象.x-4-3-2-101234y=x284.520.500.524.58 x-2-1.5-1-0.500.511.52y=2x284.520.500.524.58 思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0)
17、,函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。师生活动:学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax2和y=-ax2呢?师生活动:学生在平面
18、直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.教师引导学生小结(知识点、规律和方法).一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0,当x0时,y随x的增大而增大;如果a0,当x0时,y随x的增大而减小.三、运用新知,深化理解1.已知函数y=(m-2)xm2-7是二次函数,且开口向下
19、,则m= -3 .【分析】它是二次函数,所以m2-7=2,得m=3,且开口向下,所以m-20,得m2.即:m=-3.2.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).(1)求此抛物线的函数解析式;(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上.【分析】(1)把a的值求出即可;(2)把B的坐标代入,等式成立则是在此抛物线上,否则不在.解:(1)把(-2,-8)代入y=ax2中得:a=-2.解析式为:y=-2x2(2)把(-1,-4)代入y=-2x2中等式不成立,点B(-1,-4)不在此抛物线上.3.已知y=(k+2)是二次函数,且当x0时,y随x的增大而增大.(1)求k的值;(2)求顶点坐标和对称轴
20、.解:(1)由题意,得解得k=2.(2)二次函数为y=4x2,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.4.已知正方形周长为m,面积为Scm2.(1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象;(2)根据图象,求出S=1cm2时,正方形的周长;(3)根据图象,求出C取何值时,S4cm2.【分析】此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C的取值应在取值范围内.解:(1)由题意,得S=C2(C0).列表:描点、连线,图象如图:(2)根据图象得S=1cm2时,正方形的周长是4cm.(3)根据图象得,当C8cm时,S4cm2.【教学说明】学生独立完成以后,让他们发表自己的
21、看法,教师更正、强调. 1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来. 1.布置作业:教材“习题21.2”中第1、2题. 本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求,通过教学情景创设和优化课堂教学设计,体现了在活动中学习数学,在活动中“做数
22、学”,并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力,极大地调动了学生的学习积极性和热情,培养了学生学习数学的兴趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口,在分析、练习基础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”,让学生体会到学习成功的乐趣.精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二十一章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图像与性质21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【知识与技能】1.使学生掌握用描点法画出函数yax2bxc的图象.2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生通过绘画
23、、观察二次函数yax2bxc的图象,理解二次函数yax2bxc的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的.【情感态度与价值观】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识. 通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标. 理解二次函数yax2bxc(a0)的性质. 多媒体课件. (课件展示问题)由前面的知识,我们知道,函数y=2x2的图象,向上平移2个单位,可以得到函数y=2x2+2的图象;函数y=2x2的图象,向右平移3个单位,可以得到函数y=2(x-3)2的图象,那么函数y=2x2的图象,如何平移,才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢?函数y4(
24、x2)21具有哪些性质?【教学说明】通过这些练习题,使学生对以前的知识加以复习巩固,以便这节课的应用.这几个问题可找层次较低的学生回答,由其他同学给予评价. 一、思考探究,获取新知你能确定y=-2x2+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗?具有哪些性质?学生讨论得到:把二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a(x-h)2+k的形式再通过配方,确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.解:y=-2x2+4x+6=-2(x2-2x)+6=-2(x2-2x+1-1)+6=-2(x-1)2-1+6=-2(x-1)2+8因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8).你能从上
25、图中总结出二次函数yax2bxc(a0)的性质吗?【归纳结论】二次函数y=ax2bxc(a0)的对称轴是x=-,顶点坐标是(-,)【教学说明】让学生仔细观察所画图形,相互交流得出结论.二、典例精析,掌握新知问题1:你将用什么方法来研究上面提出的问题? (画出二次函数y2(x1)2和二次函数y2x2的图象,并加以观察)问题2:你能在同一直角坐标系中,画出二次函数y2x2与y2(x1)2的图象吗?教学要点 1让学生完成下表填空。x3210123y2x2y2(x1)2 2让学生在直角坐标系中画出图来:3教师巡视、指导。问题3:现在你能回答前面提出的问题吗?教学要点1教师引导学生观察画出的两个函数图象
26、根据所画出的图象,完成以下填空:开口方向对称轴顶点坐标y2x2y2(x1)2 2让学生分组讨论,交流合作,各组选派代表发表意见,达成共识:函数y2(x1)2与y2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同;函数y2(x一1)2的图象可以看作是函数y2x2的图象向右平移1个单位得到的,它的对称轴是直线x1,顶点坐标是(1,0)。问题4:你可以由函数y2x2的性质,得到函数y2(x1)2的性质吗?教学要点 1.教师引导学生回顾二次函数y2x2的性质,并观察二次函数y2(x1)2的图象; 2让学生完成以下填空:当x_时,函数值y随x的增大而减小;当x_时,函数值y随x的增大而增大;当x_时,函数
27、取得最_值y_。三、运用新知,深化理解1.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( C )A.(1,-4) B.(-1,2)C.(1,2) D.(0,3)【分析】方法一:直接用二次函数顶点坐标公式求.方法二:将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式,即y=a(x-h)2+k的形式,顶点坐标即为(h,k),y=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以顶点坐标为(1,2),答案选C.2.抛物线y=-x2+x-4的对称轴是( B )A.x=-2 B.x=2C.x=-4 D.x=4【分析】直接利用公式.3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( C )A.ab0,c0
28、B.ab0,c0C.ab0,c0 D.ab0,c0【分析】由图象,抛物线开口方向向下,a0,抛物线对称轴在y轴右侧,-0,又a0,b0,ab0,抛物线与y轴交点坐标为(0,c)点,由图知,该点在x轴上方,c0.答案选C.4.把抛物线y=-2x2+4x+1的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是( C )A.y=-2(x-1)2+6B.y=-2(x-1)2-6C.y=-2(x+1)2+6D.y=-2(x+1)2-6【分析】抛物线y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3的图象向左平移2个单位得到y=-2(x+1)2+3,再向上平移3个单位得到y=-2(x+1)2+
29、6.答案选C.5.已知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上,求a的值.【分析】顶点在坐标轴上有两种可能:(1)顶点在x轴上,则顶点的纵坐标等于0;(2)顶点在y轴上,则顶点的横坐标等于0.解得:a=-2.当顶点在x轴上时,有9- =0,解得:a=4或a=-8.所以,当抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上时,a有三个值,分别是-2,4,-8.【教学说明】应用所学,加深理解,巩固新知. 二次函数yax2bxc(a0)的对称轴是x,顶点坐标是(-,). 1.布置作业:教材P20“练习”. 本节课的重点是用配方法确定抛物线的顶点和对称轴.为了学生能在较复杂的题中顺利应用配方法,
30、教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成,并来讨论做题思路.这样这个重点和难点也就得到了自然地突破.精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二十一章 二次函数与反比例函数21.2 二次函数的图像与性质21.2.3 二次函数表达式的确定【知识与技能】经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法,培养数学应用意识.【过程与方法】会用待定系数法求二次函数的表达式.【情感态度与价值观】逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯. 求二次函数的解析式. 求二次函数的解析式. 多媒体课件. (课件展示问题)问
31、题1:如何求一次函数的解析式?至少需要几个点的坐标?问题2:你能求二次函数的解析式吗?如果要求二次函数的解析式需要几个点的坐标?【教学说明】通过类比的思想猜想求二次函数的解析式需要坐标点的个数. 一、思考探究,获取新知问题:1.已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2),求函数的解析式.【分析】可设函数关系式为yax2bxc,根据二次函数的图象经过三个已知点,可得出一个关于a,b,c的三元一次方程组,从而可以求出a,b,c的值。【归纳结论】这种求二次函数表达式的方法称为一般式.2.已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1),求函数的解析式.【分析】根据已
32、知抛物线的顶点坐标,可设函数关系式为ya(xh)2k,再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值.【归纳结论】这种求二次函数表达式的方法称为顶点式.【归纳结论】求二次函数yax2bxc的解析式,关键是确定a、b、c的值.由已知条件可列出三个方程,解此方程组,求出三个系数a,b,c.二、典例精析,掌握新知【例1】 有一个二次函数,当x=0时,y=-1;当x=-2时,y=0;当x=时,y=0.求这个二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,根据题意,得 解方程组,得.答:所求二次函数的表达式为y=x2+x-1.【例2】 已知抛物线的对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-
33、5)两点,求二次函数的关系式.解法一:设所求二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得解这个方程组,得所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到: 解这个方程组,得所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5.【例3】抛物线y=x2-4x+8与直线y=x+1交于B、C两点.(1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线;(2)
34、记抛物线的顶点为A,求ABC的面积.解:(1)如图,画出直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+8. (2)由y=x2-4x+8=(x-4)2,得点A的坐标为(4,0).解方程组得B、C两点的坐标分别为B(2,2)、C(7,4.5).过B、C两点分别作x轴的垂线,垂足分别为B1、C1,则SABC=-=(BB1+1)B1C1-AB1BB1-AC11=(2+4.5)5-22-34.5=7.5.小结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值,就是已知该函数的顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大.三、运用新知,深化理解1.教材P21例3、P22例4、例5.已知一个二次函数
35、的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式.【分析】二次函数yax2bxc通过配方可得ya(xh)2k的形式称为顶点式,(-h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为:ya(x8)29由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值.解:y=-x2+2x+12.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(-1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),求抛物线的解析式.【分析】应用待定系数法求出a,b,c的值解:依题意:抛物线的解析式为y=-
36、x2+4x+53.已知抛物线的对称轴是直线x2,且经过(3,1)和(0,5)两点,求二次函数的关系式.【分析】可设二次函数yax2bxc,已知两点的坐标,可列两个方程,再根据对称轴x2列出一个方程,则可求出a,b,c的值.解法1:设所求二次函数的解析式是yax2bxc,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c-5,又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x2,可以得解这个方程组,得:所以所求的二次函数的关系式为y-2x28x5.解法2:设所求二次函数的关系式为ya(x2)2k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,5)两点,可以得到解这个方程组,得:所以,所求二次函数的关系式为
37、y2(x2)23,即y2x28x5.4.已知抛物线的顶点是(2,-4),它与y轴的一个交点的纵坐标为4,求函数的关系式.【分析】根据顶点坐标公式可列出两个方程.解法1:设所求的函数关系式为ya(xh)2k,依题意,得ya(x2)24因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4,所以抛物线过点(0,4),于是a(02)244,解得a2.所以,所求二次函数的关系式为y2(x2)24,即y2x28x4.解法2:设所求二次函数的关系式为yax2bxc.依题意,得解这个方程组,得:所以,所求二次函数关系式为y2x28x4.【教学说明】凡是能用“顶点式”确定的,一定可用“一般式”确定,进一步明确两种表达式只是形
38、式的不同和没有本质的区别;在做题时,不仅会使用已知条件,同时要养成挖掘和运用隐含条件的习惯. 1.求二次函数的关系式,常见的有几种类型?两种类型:(1)一般式:y=ax2+bx+c;(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k).2.如何确定二次函数的关系式?让学生回顾、思考、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通常需要三个已知条件.在具体解题时,应根据具体的已知条件灵活选用合适的形式,运用待定系数法求解. 1.布置作业:教材“习题21.2”中第9、11、14题. 本节课研究了二次函数y=ax2+bx+c表达式的求法:归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关
39、键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设方程为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.要根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式,体会一题多解的乐趣,激发学生的学习欲望.本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生探索、归纳,得到新知.精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二十一章 二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程【知识与技能】1.体会函数与方程之间的联系,初步体会利用函数图象研究
40、方程问题的方法;2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征.【过程与方法】经历类比、观察、发现、归纳的探索过程,体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想.【情感态度与价值观】培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质. 经历“类比观察发现归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程. 准确理解二次函数与一元二次方程的关系. 多媒体课件. (课件展示问题)我们学习了一元一次方程kxb0(k0)和一次函数ykxb(k0)后
41、,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y0时,一次函数ykxb就转化成了一元一次方程kxb0,且一次函数ykxb(k0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kxb0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2bxc0(a0)和二次函数yax2bxc(a0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.【教学说明】让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考,梳理旧知识,起到承上启下之效,同时通过老师的引导,培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质. 一、思考探究,获取新知1.观察二次函数y=x2+3x+2的图象,并回答下列问题.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)二次函数
42、yax2bxc的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2bxc=0的根有什么关系?【教学说明】引起学生的认知冲突,激发学生的求知欲望,大胆猜想,通过交流寻求解决类似问题的方法.【归纳结论】一元二次方程ax2+bx+c=0.当0时有实数根,这个实数根就是对应二次函数yax2bxc的值等于0时自变量x的一个值,即二次函数的图象与x轴一个交点的横坐标.2.用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0近似解.(精确到0.1)由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根,由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表:观察上表可以发现,
43、当x分别取-3和-2时,对应的y由正变负,可见在-3和-2之间肯定有一个x使y=0,即方程的一个根.题目要求精确到0.1,当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25更接近0,所以选x=-2.4.因此,方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4.请仿照上面的方法,求出方程精确到0.1的另一个根.3.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2,y=-2x+1的图象,如图,它们交点A,B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.【教学说明】引导学生讨论,交流,发表不同意见,并进行归纳.二、典例精析,掌握新知【例】 用图象法求一元二次方程x2+2x-1
44、=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图. 由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表:x-2.5-2.4y0.25-0.04 观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.
45、4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根. 如有条件,可以在计算机上用几何画板处理.三、运用新知,深化理解1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是( B )A.ac0B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3C.2a-b=0D.当x0时,y随x的增大而减小【分析】根据抛物线的开口方向,对称轴,与x轴、y轴的交点,逐一判断.解:A.抛物线开口向下,与y轴
46、交于正半轴,a0,c0,ac0,故本选项错误;B.抛物线对称轴是x=1,与x轴交于(3,0),抛物线与x轴另一交点为(-1,0),即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3,故本选项正确;C.抛物线对称轴为x=1,2a+b=0,故本选项错误;D.抛物线对称轴为x=1,开口向下,当x1时,y随x的增大而减小,故本选项错误.故选B.2.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6,x2=( C )A.-1.6 B.3.2C.4.4 D.以上都不对【分析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3,根据抛物线是轴对
47、称图形和已知条件即可求出x2.解:由抛物线图象可知其对称轴为x=3,又抛物线是轴对称图象,抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称,而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1,x2,那么两根满足23=x1+x2,而x1=1.6,x2=4.4. 故选C.3.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是( C )A.8x9 B.9x10C.10 x11 D.11x12【分析】根据表格知道8x12,y随x的增大而增大,而-0.3801.2,由此即可推出方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的一个解x的范围.解:依题意得当8x
48、12,y随x的增大而增大,而-0.3801.2,方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是10 x11.故选C.【教学说明】学生独立完成3个小题,小组交流所做结果,练习巩固,加深理解. 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 1.布置作业:教材“习题21.3”中第2、4、8题. 本节课主要是向学生渗透两种思想:函数与方程互相转化的思想;数形结合思想.三种题型:函数图象与x轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标.精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二十一章 二次函数与反比例函数21.4 二次函数应用【知识与技能】经历探究
49、图形的最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验.【过程与方法】经历探索问题的过程,获得利用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型和数学应用的价值,通过观察、比较、推理、交流等过程,发展获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.【情感态度与价值观】通过动手实做及同学之间的合作与交流,让学生积累经验,发展学习动力. 会根据不同的条件,利用二次函数解决生活中的实际问题. 从几何背景及实际情景中抽象出函数模型. 多媒体课件. (课件展示问题)问题:某开发商计划开发一块三角形土地,它的底边长100米,高80米.开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼,这座大楼地基的最大面积是多少?要解
50、决这些实际问题,实际上也就是求面积最大的问题,在数学中也就是求最大值的问题.这节课我们看能否用已学过的数学知识来解决以上问题.【教学说明】通过几个实际情景设置悬念,引入新课. 一、思考探究,获取新知探究:在第21.1节的问题中,要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米?它的最大面积是多少平方米?根据题意,可得,S=x(20-x)问题:这是一个什么函数?要求最大面积,就是求 的最大值.你会求S的最大值吗?将这个函数的表达式配方,得S=-(x-10)2+100(0 x20)这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段,如图,它的顶点坐标是(10,100),所以,当x=10时,函数取最大值,即S最
51、大值=100(m2)此时,另一边长=20-10=10(m)答:当围成的矩形水面边长都为10m时,它的面积是最大为100m2.你能总结此类题目的解题步骤吗?【归纳结论】在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中,可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.其步骤为:第一步设自变量;第二步建立函数的解析式;第三步确定自变量的取值范围;第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内).【教学说明】由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值,因此首先和同学们一起复习二次函数最值的求法,对于一般式,要求掌握配方法的同时,也能利用基本结论,对于顶点式,要求能直接说出其最值及取
52、得最值时自变量的值.二、典例精析,掌握新知1.教材P39例4.2.兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x,y)都在一个二次函数的图象上,(如图所示),则6楼房子的价格为2080元/平方米.3.如图,从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:米)与小球运动时间t(单位:秒)的函数关系式是h=9.8t-4.9t2,那么小球运动中的最大高度h最大=(4.9)米.4.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1cms的速度移动,同时点Q从点B出发沿B
53、C边向点C以2cms的速度移动,如果P、Q两点同时出发,分别到达B、C两点后就停止移动.(1)运动第t秒时,PBQ的面积y(cm2)是多少?(2)此时五边形APQCD的面积是S(cm2),写出S与t的函数关系式,并指出自变量的取值范围.(3)t为何值时s最小,最小值是多少?解:(1)y=(6-t)2t=-t2+6t(2)S=612-(-t2+6t)=t2-6t+72(0t6)(3)S=(t-3)2+63当t=3时,S有最小值等于63.5.一个涵洞成抛物线形,它的截面如图.现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点O与水面的距离为2.4m.ED离水面的高FC=1.5m,求涵洞ED宽是多少?是否会
54、超过1m?(提示:设涵洞所成抛物线为y=ax2(a0)【分析】根据此抛物线经过原点,可设函数关系式为y=ax2.根据AB=1.6,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,那么B点坐标应该是(0.8,-2.4),利用待定系数法即可求出函数的解析式,继而求出点D的坐标及ED的长.解:抛物线y=ax2(a0),点B在抛物线上,将B(0.8,-2.4),它的坐标代入y=ax2(a0),求得a=-,所求解析式为y=-x2.再由条件设D点坐标为(x,-0.9),则有:-0.9=-x2,解得:x=,故宽度为2=,x0.5,2x1,所以涵洞ED不超过1m.【教学说明】通过练习的过程,前后呼应,巩固已学知识,并让学生
55、体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型.三、运用新知,深化理解1.教材P37例2.2.求下列函数的最大值或最小值.(1)y=2x2-3x-5;(2)y=-x2-3x+4.【分析】由于函数y=2x2-3x-5和y=-x2-3x+4的自变量x的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值.解:(1)二次函数y=2x2-3x-5中的二次项系数20,因此抛物线y=2x2-3x-5有最低点,即函数有最小值.因为y=2x2-3x-5=2(x-)2-,所以当x=时,函数y=2x2-3x-5有最小值是-.(2)二次函数y=-x2-3x+4中的二次项系数-10
56、,因此抛物线y=-x2-3x+4有最高点,即函数有最大值.因为y=-x2-3x+4=-(x+)2+,所以当x=-时,函数y=-x2-3x+4有最大值是.3.要用总长为20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的花圃,怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?【分析】先写出函数关系式,再求出函数的最大值.解:设矩形的宽AB为xm,则矩形的长BC为(202x)m,由于x0,且202x0,所以0 x10.围成的花圃面积y与x的函数关系式是yx(202x),即y2x220 x.配方得y-2(x5)250所以当x5时,函数取得最大值,最大值y50.因为x5时,满足0 x10,这时202x10.所以应围成宽5m,长
57、10m的矩形,才能使围成的花圃的面积最大.4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.如果设矩形的一边AB=xm,那么当x为多少时,矩形面积最大?最大面积是多少?5.如图,在RtABC中,C=90,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上,分别作DEAC,DFBC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y.(1)用含y的代数式表示AE;(2)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围;(3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系,并求出S的最大值.解:(1)由题意可知,四边形DECF为矩形,因此AE=AC-DF=8-y.(2)由DEB
58、C,得,即,所以,y=8-2x,x的取值范围是0 x4.(3)S=xy=x(8-2x)=-2x2+8x=-2(x-2)2+8所以,当x=2时,S有最大值8.【教学说明】应用所学知识解决实际问题,使学生明白数学来源于生活,适用于生活. 二次函数的应用中有关最值的问题是和一元二次方程、一次函数相结合的产物,所以要求的综合能力较强,对知识的要求也较高。在解决利润问题时,应认清变量所表示的实际意义,注意隐含条件的使用,同时注意考虑问题要周全。 1.布置作业:教材“习题21.4”中第4、5题. 在教学中一定要注意学生易错地方:学生往往列出表达式后不根据背景写出自变量的范围;求最值时,只知代入顶点坐标公式
59、,不考虑自变量范围.精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二十一章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数【知识与技能】1使学生理解并掌握反比例函数的概念。2能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式。3能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想。【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度与价值观】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值. 理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模
60、型思想. 多媒体课件. (课件展示问题)1.复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积S一定时,长a和宽b成反比例,即abS(S是常数)2.电流I、电阻R、电压U之间满足关系式UIR.当U=220V时,你能用含R的代数式表示I吗?【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础. 一、思考探究,获取新知问题1:某村有耕地200km2,人口数量x逐年发生变化,该村人均耕地面积y与人口数量x之间有怎样的函数关系?问题2:某市距省城248千米,汽车行驶全程所需的时间th与平均速度vkm/h之间有怎样的函数关系?问题3:在一
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