随机信号分析11

1、随机信号分析赵淑清 郑薇 电子工业出版社（第2版）1为什么学习随机信号分析？随机信号理论的基础随机信号与随机变量2第1章 随机信号基础1.1 随机变量要点回顾1.2 随机变量的特征函数1.3 随机信号实用分布律1.4 离散随机变量的仿真与计算31.1 随机变量要点回顾1、基本术语41.1 随机变量要点回顾5例：抛掷一枚均匀的硬币，观测它可能出现的结果。随机试验：随机事件：基本事件：样本空间：抛硬币出现正面出现反面既不是正面也不是反面同时出现正面和反面w1=出现正面w2=出现反面=w1,w2=正，反61.1 随机变量要点回顾2 随机变量的定义一般用大写字母X, Y, Z来表示随机变量，用小写字母

2、x, y, z表示对应随机变量可能取值.71.1 随机变量要点回顾3、随机变量的举例81.1 随机变量要点回顾4、随机变量的分类91.1 随机变量要点回顾101.1.1 随机变量的分布律11一、 概率分布函数（累积分布函数）定义随机变量X取值不超过x的概率为概率分布函数或累积分布函数1.1.1 随机变量的分布律F ( x) = p( X x)12性质 3随机变量在x1， x2 区间内的概率为 P( x1 x1有 F(x2 ) F( x1)性质 2F(x)非负，且取值满足 0F(x) 1性质 4 F(x)右连续，即 F(x+ )=F( x )13例1，设随机变量X的分布律如下表，求出X的分布函数

3、。14例1.1.1 判断函数cos(x)，exp(x)是否为概率分布函数？cos(x)不满足性质1.exp(x)不满足性质2.以上函数都不是概率分布函数.15二、 概率密度函数定义:为概率分布函数F(x)对x的导数或写成积分形式连续变量：概率分布函数是连续的，其导数一定存在，故概率密度存在.离散变量：概率分布函数存在有限个间断点,则可引函数,因此概率密度总是存在的.dF ( x )dxf ( x ) = x F ( x ) =f ( ) d入(x)16概率密度函数性质性质 1 概率密度函数非负.f ( x ) 0 x 2x1 f ( x ) dx 性质 3 概率密度函数在(x 1 , x 2

4、)区间积分,给出该区间的取值概率 = 1性质 2 概率密度函数在整个取值区间积分为117例1.1.2 判断函数f(x)=Ku(x)-u(x-a)满足什么条件才有可能是概率密度函数？当a=2和a=-2时，K应该取何值？18离散随机变量的F(x)和f(x)结论：离散随机变量的F(x)是阶梯形式，f(x)是冲激串。19例2,设随机试验的分布律为求 的概率密度和分布函数，并给出图形。20解21三 多维随机变量的分布律二维随机变量：用(X，Y)表示，认为是二维平面上一个随机点n维随机变量:用(X1, X2 ,X3 Xn )表示，认为是n维平面上一个随机点22二维随机变量的概率分布函数FXY（x, y）=

5、 P（X x, Y y）概率密度1、二维分布律23二维概率密度的性质性质 3 二维概率密度函数在某个区域积分，给出该区域的取值概率性质 1 二维概率密度函数非负f XY ( x , y ) 0性质 2 二维概率密度函数在整个取值区域积分为124性质 4边缘概率密度对二维概率密度函数在一个随机变量的所有取值区间上积分，将给出另一个随机变量的概率密度函数25在Xx的条件下，随机变量Y的条件概率分布函数和条件概率密度函数2、条件分布条件概率分布函数条件概率密度函数263.独立两随机变量X、Y是相互统计独立的条件：f X ( x | y ) = f X ( x )， f Y ( y | x ) = f

6、 Y ( y ) 则称随机变量X、Y是相互统计独立。两随机变量X、Y是相互统计独立的充要条件： f XY ( x , y ) = f X ( x )f Y ( y )27课后习题：1.1 设连续随机变量X的概率分布函数为求（1）系数A； （2）X取值在（0.5， 1）内的概率P(0.5x0，求X与Y的相关系数.E X = mXEY = aEX + b = amX + b = mYCXY = E ( X - E X )( Y - E Y ) 42将Y=aX+b,mY=amX+b代入，消去y，得到同理，将X=(Y-b)/a,mX=(mY-b)/a代入，消去y，得到43结论：当X与Y呈线性关系Y=a

7、X+b,且a0,二者的相关函数,即X与Y是完全相关的.44例 1.1.5 X与Y为互相独立的随机变量，求二者的相关系数f XY ( x, y) = fX ( x) fY ( y)结论：两个随机变量互相独立肯定不相关454.统计独立与不相关(1)随机变量X与Y统计独立的充要条件是:f XY ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y )(2)随机变量X与Y不相关的充要条件是:46证明：47相互关系(3) 两随机变量统计独立，必然不相关（独立必不相关）(4) 两随机变量不相关，不一定互相独立（不相关，不一定独立）48正交(5)若随机变量X,Y的相关矩为零,则称X,Y互相正交.0 =

8、正 交 : R XY = E X Y若随机变量正交,且其中一个随机变量的数学期望为0,则二者一定不相关C XY = RXY -E X E Y = RXY = 0C XY = 049例1.1.6 二维随机变量(X,Y)满足 X=cos Y=sin式中,是在0,2上均匀分布的随机变量,讨论X,Y的独立性和相关性.50结论：两个随机变量不相关，不一定互相独立511.1.3 随机变量的函数变换作用：间接确定一个随机变量的分布方法系统仿真时直接仿真某个分布信号利用函数关系来产生需要的随机信号例如：根据无线电信号的输入信号X和噪声信号Y的函数分布X+Y，产生接收信号。52一 、一维变换设随机变量X,Y满足

9、下列函数关系如果随机变量X,Y之间的关系是单调的，并且存在反函数53fY ( y) = f h( y) h ( y)fY ( y) = f h( y) h ( y)h(Y)单调增加h(Y)单调递减1.X和Y关系是单调的（反函数是唯一的）P ( X h ( y ) =54如果h(Y)是单调增加的,那么Y的分布函数为55将上式对y求导,得到随机变量Y的概率密度h ( y )F Y ( y ) = f ( h ( y )f Y ( y ) =h ( y ) f ( x ) dxP ( X h ( y ) =F Y ( y ) = P ( Y y ) = P ( ( X ) y ) =h ( y )F

10、 Y ( y ) = f ( h ( y )f Y ( y ) =当h(y)是单调递减时，随机变量Y的概率密度56, h (Y ) =例 1.1.5 随机变量X,Y满足线性关系Y=aX+b, a,b为常数,X为高斯变量，求Y的概率密度和2)X2XXe( x m2 的概率密度f X ( x ) =解:设X的数学期望和方差分别为 m X X2 ,X1aY baX = h (Y ) =57结论：高斯变量X经过线性变换后的随机变量Y仍然是高斯分布58二、 二维变换它们的反函数存在求（Y1Y2）的联合概率密度已知二维随机变量 ( X 1 , X 2 ) 的联合概率密度f X ( x 1 , x 2 ) , 以及随机变量的函数关系592在用二重积分求体积时,若积分区域由 dS X 1 X22变为 dS Y 1 Y2ds X 1 X 2ds Y 1 Y 2 y 2 x 2 y 2 y 1 x 2 y 1, 其变换关系即为雅可比行列式 x 1 x 1=J =二维函数变换的最后表达式二维随机变量的概率是概率密度(曲面)下的体积dS X 1 X 2dS Y1 2Yf X ( x1 , x 2 ) dS X 1 X 2 = f Y ( y1 , y 2 ) d