随机向量以及其概率分布

1、关于随机向量及其概率分布第一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.1 随机向量的联合分布4.1.1 二维随机变量的联合分布函数引例 假设某商店一天内的顾客人数X服从参数为1000的Poisson分布；购买某种商品的人数记为Y，若每个顾客购买这种商品的概率为0.25，且各个顾客是否购买这种商品是相互独立的。求一天有m个顾客进入商店且有n个顾客购买这种商品的概率。第二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月定义 设随机试验的样本空间为，X、Y为定义在上的随机变量，则称(X,Y)为一个二维随机向量。若(X,Y)是一个二维随机变量，则称函数 F(x,y)=P(Xx,Yy)(等式右边表示随机事

2、件Xx、Yy的乘积的概率)为随机变量(X,Y)的(联合)分布函数。第三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月二维随机向量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质：0F(x,y)1且F(-,y)=F(x,-)=0，F(+,+)=1；当x固定时F(x,y)是y的单调不减函数，当y固定时F(x,y)是x的单调不减函数；F(x,y)最多有可列个间断点，且在间断点(x0,y0)处关于x和y都是右连续。第四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例 已知(X,Y)的分布函数为求：A、B；概率P(0X1,0Y5)。离散型随机向量的联合概率分布的性质：pij0；p11+p12+p1n+p21+p22+p2

3、n+pn1+pn2+pnn+=1。第八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.1.3 二维连续型随机向量定义 对二维随机向量(X,Y)，若存在非负可积函数f(x,y)，有则称(X,Y)为二维连续型随机向量，f(x,y)为X与Y的联合概率密度函数或(X,Y)的密度函数，简记为(X,Y)f(x,y)。第九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月连续型随机向量的密度函数f(x,y)的性质：f(x,y)0； 例 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为求：A；P(X+Y1)。第十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月定理 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)，联合分

4、布函数为F(x,y)。则有例 随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为求：A；P(XY)；(X,Y)的联合分布函数F(x,y)。第十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例 随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为求：A；P(XY)。定义 若随机向量(X,Y)的密度函数为则称随机向量(X,Y)服从D上的均匀分布。第十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月定义 若随机向量(X,Y)的密度函数为则称随机向量(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)N(1,2,12,12,r)。第十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.2 边缘分布4.2.1 边缘分布函数定义 对二维随机向量(X,

5、Y)，随机变量X、Y 的分布函数称为(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数。定理 若(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则(X,Y)关于X的边缘分布函数为FX(x)=F(x,+)，(X,Y)关于X的边缘分布函数为FY(y)=F(+,y)。第十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.2.2 二维离散型随机向量的边缘分布律定义 若(X,Y)是二维离散型随机向量，则随机变量X、Y的概率分布称为(X,Y)关于X、Y的边缘概率分布。定理 若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,，则(X,Y)关于X的边缘概率分布为pi=P(X=xi)=p

6、i1+pi2+pij+，i=1,2,3,，(X,Y)关于Y的边缘概率分布为pj=P(Y=yj)=p1j+p2j+pij+，j=1,2,3,，第十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月求边缘概率分布时，可在表格上直接进行： YX y1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pi2pijpipjp1p2pj第十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例 若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布如右求(X,Y)关于X、Y的边缘概率分布。例 若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布如右求(X,Y)关于X、Y的边缘概率分布。 YX 23410.20.250.0

7、5200.250.053000.2 YX 23410.10.250.1520.060.150.0930.040.10.06第十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.2.3 二维连续型随机向量的边缘密度 定义 若(X,Y)为二维连续型随机向量，则称随机变量X、 Y的概率密度为(X,Y)关于X、Y的边缘概率密度。定理 若(X,Y)f(x,y)，则(X,Y)关于X、Y的边缘概率密度分别为：第十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例 若二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度为：求：c的值；(X,Y)关于X、Y的边缘概率密度。第十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.3

8、条件分布4.3.1 条件分布函数定义 (X,Y)为二维随机向量，若对固定的x，极限存在，则称之为在X=x下Y的条件分布函数，记为FY|X(y|x)。第二十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月定义 (X,Y)为二维随机向量，若对固定的y，极限存在，则称之为在Y=y下X的条件分布函数，记为FX|Y (x|y)。第二十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.3.2 二维离散型随机向量的条件分布律定义 设(X,Y)为二维离散型随机向量，若对固定的xi，有PX=xi0，则称为在条件X=xi下Y的条件分布列。若对固定的yj，有PY=yj0，则称为在条件Y=yj下X的条件分布列。第二十二张，P

9、PT共四十一页，创作于2022年6月例 若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布如右，求：边缘分布；在条件Y=2下X的条件分布；条件X=2下Y的条件分布。 YX12300.10.050.1510.050.150.0520.150.1030.100.1第二十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.3.3 二维连续型随机变量的条件分布密度定义 设(X,Y)为二维连续型随机向量，若对固定的x，有fY(y) 0，则称为在条件X=x下Y的条件分布。若对固定的y，有fY(y) 0，则称为在条件Y=y下X的条件分布。第二十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例 若二维连续型随机向量(X,

10、Y)的联合概率密度为：求：(X,Y)关于X、Y的边缘密度函数；在条件X=0下Y的条件密度函数；条件密度函数fX|Y(x|y)。第二十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.4 随机变量的独立性定义 设(X,Y)为二维随机向量，若对任意x、yR，有F(x,y)=FX(x)FY(y)则称X与Y相互独立。定理 若X与Y相互独立，则FX|Y (x|y)=FX(x)；FY|X (y|x)=FY(y)。第二十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为 PX=xi ,Y=yj=pij，i,j=1,2,3,，则X与Y相互独立的充要条件为：对任意i,j， pi

11、j=pipj例 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率分布如右图：且X与Y相互独立，求a、b的值。 YX01210.080.20.122a0.3b第二十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月若连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则X与Y相互独立的充要条件为： f(x,y)=fX(x)fY(y)例 已知随机向量(X,Y)的联合概率密度为判断X与Y是否相互独立。例 已知Xe(1)，Ye(2)，且X与Y相互独立，求P(XY)。第二十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月定义 设随机试验的样本空间为，X1、X2、Xn为定义在上的随机变量，则称(X1,X2,Xn)为一个n维随

12、机向量。若(X1,X2,Xn)是一个n维随机向量，则称函数F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn)为随机向量(X1,X2,Xn)的(联合)分布函数。函数FXi(x)=P(Xix)为随机向量(X1,X2,Xn)关于Xi的的边缘分布函数。第二十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月定义 若随机向量(X1,X2,Xn)的(联合)分布函数F(x1,x2,xn)及其边缘分布函数FXi(x)满足F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn)则称X1、X2、Xn相互独立。定理 若X1、X2、Xn相互独立，则其中任意k个随机变量也相互独立，2kn 。第三十张，PPT

13、共四十一页，创作于2022年6月定义 若随机向量(X1,X2,Xm)、(Y1,Y2,Yn)和(X1,X2,Xm,Y1,Y2,Yn)的(联合)分布函数分别为F1(x1,x2,xm)、F2(y1,y2,yn)和F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)，且F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn)则称(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立。定理 若(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立，对任意函数g和h，则g(X1,X2,Xm)与h(Y1,Y2,Yn)相互独立。第三十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月定理 若(X1,X

14、2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立，记则Ak与Ak、Ak与Bk、Bk与Ak、Bk与Bk相互独立。第三十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.5 随机向量函数的分布定义 设(X,Y)是二维随机变量，Z是随机变量。对连续函数g(x,y)，若X=x和Y=y描述的事件发生时，Z=g(x,y)描述的事件一定会发生，则称随机变量Z为(X,Y)的函数，记为Z=g(X,Y)。求二维随机变量(X,Y)的函数Z的分布时，常把Z描述的事件转化为用(X,Y)表示。第三十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.5.1 二维离散型随机变量函数的分布 例 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为求

15、X+Y、X-Y、XY、X/Y的概率分布。 YX-11200.10.20.110.150.30.15第三十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月总结 求离散型随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的概率分布的步骤为：把(X,Y)的取值代入z=g(x,y)中得到Z的所有取值；对Z的每一个取值z0，找出所有满足g(x,y)=z0的(x,y)，把对应的概率PX=x,Y=y相加得到P(Z=z0)。例 设Xg(p1)，Yg(p2)，且X与Y相互独立，求X+Y的概率分布。第三十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月定理 对和的分布，重要的离散型分布的结果：设XB(n1,p)，YB(n2,p)，

16、且X与Y相互独立，则X+YB(n1+n2, p)； 设XP(1)，YP(2)，且X与Y相互独立，则X+YP(1+2)。定义 若两个同种分布的随机变量的和仍服从这种分布，并且和的参数等于参数的和，则称这种分布具有可加性或再生性。第三十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月4.5.2 二维连续型随机向量函数的分布已知(X,Y)f(x,y)，g(x,y)为已知函数，求Z=g(X,Y)的概率密度的步骤为：把FZ(z)转化为用(X,Y)表示(其中Dz为区域或者几个区域的并)：FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=P(X,Y)Dz)；计算积分FZ(z)=P(X,Y)Dz对FZ(z)求导得到Z的概率密度。这种方法一般称为分布函数法。第三十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例 已知求X+Y的概率分布。定理 已知(X,Y)f(x,y)，则X+Y的概率密度为已知XfX(x)，YfY(y)，且X与Y相互