有关Leibniz流形若干性质的讨论(图文)

1、有关Leibniz流形假设干性质的讨论(图文)论文导读：本文给出了Leibniz流形上Leibniz括号的一些性质，并讨论了微分同胚对Leibniz流形结构的保持，同时得到了微分同胚所诱导的Leibniz括号的假设干性质。关键词：Leibniz流形，Leibniz括号，微分同胚0.引言如所知，大多数经典的动力系统都可以用Poisson结构来描述.流形上的Poisson结构是一个双线性映射，同时，这个括号还满足反称性、导性即Leibniz法那么、和Jacobi恒等式.赋予Poisson结构的流形叫Poisson流形【1】，它是分析力学最好的数学框架，并在几何光学、热力学、量子论等物理分支中有重要

2、应用.但最近人们注意到,如果将Poisson结构弱化，那么能够较好地描述更为一般的动力系统.比方不要求括号积满足Jacobi恒等式，那么得到近Poisson结构，如果再去掉反称性，就得到本文所讨论的Leibniz流形又称为伪Poisson流形【2】.它可为一些非完全约束的动力系统，耗散系统提供几何框架，此外，它还能作为广义Hamilton控制系统的状态空间，如电力系统、励磁控制系统等都可用Leibniz流形结构来处理【2】【3】【4】.所以Leibniz流形的理论需要人们给予更多的关注和研究，本文就是参与这一努力的尝试.1.准备工作定义1【5】：设是一个光滑流形，上的Leibniz括号是一个双

3、线性映射：满足其中将称为Leibniz流形。定义2【6】：设是一个光滑流形，上的L-括号是一个Leibniz括号，且满足Leibniz恒等式此时把叫做L-流形。论文参考。易见，假设L-流形上的L-括号满足反称性，那么成为Poisson流形。定义3【7】：光滑映射如果是单一的，到上的，并且也是光滑的，那么称是微分同胚,这时也称流形与是微分同胚的。论文参考。2.主要结果Leibniz流形的结构取决于其上的Leibniz括号，在此我们先给出Leibniz括号的一些性质.定理1：设为Leibniz流形，为上的Leibniz括号，如果是上的常函数，那么，有.证明：对有所以.同理可证.定理2：设为Leib

4、niz流形，为上的Leibniz括号，如果，使得是中某一点，那么，.证明：.同理可证.定理3：设为一维Leibniz流形，为上的Leibniz括号，如果，使得是中某一点，那么，.证明：取以为中心的局部坐标系，设坐标函数为，那么函数在点处的泰勒展开为因为所以，又因为为常数，所以再注意，类似地，对的泰勒展开的更高次项都有同样情形，所以同理可证.现考察微分同胚对Leibniz结构所产生的作用.定理4：设是Leibniz流形, 是光滑流形，是微分同胚，那么也是Leibniz流形.证明：对，定义，显然，满足双线性.下面验证满足Leibniz法那么，对有：即满足Leibniz法那么. 那么是Leibniz

5、流形.在这里，称是由微分同胚所诱导的上的Leibniz括号.对L-流形，定理4的结论仍然成立，因此我们有：推论4.1：设是L-流形, 是光滑流形，是微分同胚，那么也是L-流形.证明：对，定义，由定理5知，满足双线性和Leibniz法那么，下面只需证明满足Leibniz恒等式即可.对有：即满足Leibniz恒等式，从而那么是L-流形.现在假设是Leibniz流形，是光滑流形，在和之间有两个不同的微分同胚和，那么由定理5，在上就分别有由和所诱导的Leibniz括号和.另外，当把看成Leibniz流形，由于此时是微分同胚，那么在上当然就存在由所诱导的Leibniz括号，那么我们有：推论4.2相容性：

6、设，以及，均如上述，那么.证明：对有，此即.另外，设是Leibniz流形，和都是光滑流形，和分别为到及到的微分同胚，由定理5，也是Leibniz流形，那么上就存在由所诱导的Leibniz括号.由于也是微分同胚，从而上也存在由所诱导的Leibniz括号，这时我们有：推论4.3传递性：设，以及，和均如上述，那么=.证明：对有，由的任意性，有=.3.小结Leibniz括号的非交换性为非交换系统提供了一个几何模型，但同时也增加了研究的难度【9】。论文参考。本文在给出Leibniz括号一些性质的同时，重点论述了微分同胚对Leibniz结构所产生的作用，即它能够很好的保持光滑流形上的Leibniz结构，这

7、样，通过微分同胚，我们可以得到更为广泛的Leibniz流形的例子，从而有利于Leibniz流形理论的研究。另外，作为Poisson流形的推广，Leibniz流形还有很多性质有待进一步研究，如Leibniz流形的可积性、Lie群在Leibniz流形上的作用等，这些内容将是我们今后的研究目标.参考文献：【1】 贺龙光，辛几何与泊松几何引论.北京：首都师范大学出版社，2001.9.【2】 程代展,席在荣,卢强等,广义Hamilton控制系统的几何结构及其应用 .中国科学(E辑) 2000.30(4):341-355.【3】 Gheorghe IVAN, Dumitru OPRIS, Dynamicalsystems on Leibniz algebroids , ArXiv: Math, DG/0508229 vl,2005:1-14.【4】 Loday J,Piraslvili T. Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and (co)【5】 Ortega, J.P,Bielsa, V.P., Dynamics on Leibniz manifolds , Journal of Geometry andPhysics, 2004(52): 127.【6】 王宝勤,张福娥，赵晓华， 关于L流形的一