微积分在经济分析活动中的应用(图文)

1、微积分在经济分析活动中的应用(图文)论文导读：微积分作为数学知识的根底，是学习经济学的必备知识，着重讨论了微积分在经济学中最根本的一些应用，计算边际本钱、 边际收入、 边际利润并解释其经济意义；寻求最小生产本钱或制定获得最大利润的一系列策略。关键词：微积分，边际分析，弹性，本钱，收入，利润，最大值，最小值一、导数在经济分析中的应用1、 边际分析在经济分析中的的应用1 边际需求与边际供应需求函数Q=fp在点p处可导其中Q为需求量，P为商品价格，那么其边际函数Q=f(p)称为边际需求函数，简称边际需求，f(p)称为当价格为p时的边际需求，其经济意义为：当价格到达p时，如果价格上涨一个单位，那么需求

2、将相应减少f(p)个单位。供应函数Q=Q(P)可导其中Q为供应量，P为商品价格，那么其边际函数Q=Q(p)称为边际供应函数，简称边际供应，Q(p)称为当价格为p时的边际供应。其经济意义为：当价格到达p时，如果价格上涨一个单位，那么供应增加Q(p)个单位。2 边际本钱函数总本钱函数C=C(Q)=C+C(Q)；平均本钱函数=(Q)=C(Q)/Q；C=C(Q)称为边际本钱函数, C(Q)称为当产量为Q时的边际本钱，其经济意义为：当产量到达Q时，如果增减一个单位产品，那么本钱将相应增减C(Q)个单位。3 )边际收益函数总收益函数R=R(Q)平均收益函数=(Q)/Q,边际收益函数R=R(Q), 简称边际

3、收益，R(Q)称为当商品销售量为Q时的边际收益，经济意义为：当销售量到达Q时，如果增减一个单位产品，那么收益将相应地增减R(Q)个单位。4) 边际利润函数利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q)平均利润函数=(Q)=L(Q)/Q，边际利润函数=L(Q)=R(Q)-C(Q), L(Q)称为当产量为Q时的边际利润，其经济意义是：当产量到达Q时，如果增减一个单位产品，那么利润将相应增减L(Q)个单位。例1 某企业每月生产Q=-Q+30Q-20L(Q)=(-Q+30Q-20)=-2Q+30那么每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为L(10)= -2x10+30=10千元/吨；L(15)= -2

4、x15+30=0千元/吨；L(20)= -2x20+30= -10千元/吨；以上结果说明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润那么不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。显然企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？2、最大值与最小值在经济问题中的应用最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使本钱最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的假设干应用。1 最低本钱问题例2 设某厂每批生产某种产品x

5、个单位的总本钱函数为C(x)= mx-nx+px，常数m0,n0,p0，1问每批生产多少单位时，使平均本钱最小？2求最小平均本钱和相应的边际本钱。解：1平均本钱(X)= mx- nx + p ,(x)=2mx - n令(x)=0 ，得x= 而(x)=2m 0。论文参考网。所以，每批生产个单位时，平均本钱最小。2最小平均本钱=m () - n.+p=- +p = -+p, 又C(x)=3mx-2nx+p，C() = 3m ()- 2n+p= -+p, 所以，最小平均本钱等于其相应的边际本钱。2) 最大利润问题例3 设某厂每批生产某种商品Q单位的费用为CQ=5Q+200元，得到的收益是RQ=10Q

6、-0.01Q(元)，问每批生产多少单位时利润最大？最大利润是多少？解：产品的费用函数C(Q)=5Q+200收益函数R(Q)=10Q -0.01Q 那么利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)= -0.01Q+5Q -200L(Q)= -0.02Q +5令(Q)=0得Q=250L(Q)=-0.02二、弹性在经济分析中的应用1、 弹性函数设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量y/y=f(x+x)-f(x)/y与自变量的相对改变量x/x之比，当x0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为即=f(x) ;在点x=x处，弹性函数值=f(x) 称为fx在点x= x处的弹

7、性值，简称弹性。函数f(x)在点x的弹性反映随x的变化f(x)变化幅度的大小，也就是f(x) 在x对x变化反响的强烈程度或灵敏度。f(x)表示在点x=x处，当x产生1%的改变时，fx近似地改变f(x) %。2、 需求弹性经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。对于需求函数Q=fP(或P=PQ)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)或P=P(Q)为单调减少函数，P与Q异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为(p)= -f(p)例4 设某商品的需求函数为Q=e求(1)需求弹性函数；(2)P=3 , P=5 , P=6时的需求弹性。解：(1)(p)= -f(p) (p/f(p)=

8、；(2)(3)= 0.6 ; (5) =1; (6)= 1.2(3)=0.6(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。(6)=1.21，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。3、 收益弹性收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即R=PQ=Pf(p)琑=f(p)+pf(p)=f(p)(1+f(p)= f(p) (1-)所以，收益弹性为=R(P) (P/ R(P)=f(p) (1-)=1-这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。1假设0即价格上涨或下跌1%，收益增加

9、或减少(1-)%；2假设1，那么3假设=1，那么=0即价格变动1%，收益不变。三、积分在经济中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数即原函数，一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，那么采用定积分来解决。例5 设生产x个产品的边际本钱Cx=100+2x，其固定本钱为C=1000元，产品单价规定为500元。假设产销平衡，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。解:总本钱函数为C(x)=(100+2t)dt + C(0 )=100 x + x+1000总收益函数为R(x)=500 x总利润L(x)=R(x)-C(x)=400 x - x-1000，L=400-2x，令L=0，得x=200，因为L(200)综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具