点线面的位置关系与平行关系

1、点、线、面位置关系以及线面平行关系【知识点杭理】1、公理及推论公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内.用符号语言表示公理1:公理1作用：判断直线是否在平面內.公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号：平面a和0相交，交线是a,记作a A B=a.符号语言：PeApB=ArB = LPel .公理2作用：它是判定两个平面相交的方法.它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.(它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论：一直线和直

2、线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面.公理3及其推论作用：它是空间内确定平面的依据；它是证明平面重合的依据.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.2、空间直线与直线之间的位置关系异面宜线定义：不同在任何一个平面內的两条直线.异面直线性质：既不平行，又不相交.异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线.异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或克角，即所成角.两条异面克线所成角的范 围是(0。, 90。,若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条

3、，或两条同时平移到某个 特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角.C、利用三角形来求角.异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度，叫做 两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补.3、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内一一有无数个公共点.直线不在平面內弹交一一只有一个公共点.(或直线在平面外)平行一一没有公共点.三种位置关系的符号表示：cu a ； aC a =A； a/ a .直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外.4、平面与平面之间的

4、位置关系：平行一没有公共点：a/ fi；相交一有一条公共直线：adfi = J.5、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条宜线平行，那么这条直线和这个平面平行.一（记忆口诀：线线平行线面平行）符号表示为：a （Z a.b c a.a/h=a/a图形如右图所示.用符号表示为:au 0.bu卩、（心匕= ullablla6用符号表示为:au 0.bu卩、（心匕= ullablla图形如右图所示.直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过该直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（记忆口诀：线面平行 线线平行）alia用符号表示为：“U0=/?a（p

5、= b图形如右图所示.8、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为：a/?./p|a0/7 = b=a/b .其它性质：a/0Juan/0；a/0,/丄丄 0 ；夹在平行平面间的平行线段相等.图形如右图所示.【典型例题】题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题例题1：如图，已知空间四边形ABCD中，E. F、G、H分别是AB. AD. BC. CD上的点，且EF交GH于P.求 证：P在直线BD上.变式h如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点, CF CG2 rIz 、=一，则()CB CD3EF与GH互相平行E

6、F与GH异面C) EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上(D) EF与GH的交点M 一定在直线AC上变式2：如图所示，设E, F , G , H分别是空间四边形ABCD的边A3,BC, CD、04上的点，且埜= = 2, = = 求证：AB AD CB CD(1) E, F , G、H四点共面；当入=口时，四边形EFGH是平行四边形；当几工“时，四边形FGH是梯形.题型二、异面直线的判定或求异面直线所成的角例题2:力是彩平面外的一点，E、F分别是必、彳的中点,求证：直线肪与血是异面直线；)若AC丄BD、AOBD、求与加所成的角.变式3：给出下列关于互不相同的克线l.m.n和平

7、面4队丫的三个命題:若/，加为异面直线，I u a、m u卩，则al I p ；若a 11队I u a、m u 0、则/ / /加；若 af!0 = /, A / = /?, yCa = n, /,则 ml In,其中真命题的个数为()2 3B. 2C. 1D. 0题型三、直线与平面、平面与平面平行的判定MM3:如图所示，正方体ABCDAiBiCiDi中，侧面对角线AB. BG上分别有两点E, F,且BiE=CiF.求证:EF 平面 ABCD.Aea,Ae /3 3 w w 0 n = AB I(Z a,A el A e a AyB,C e a A、B、C 已卩 A,B,C Oa p a ma

8、, nz a, m nil a m a a, n 丄 BC P-ABCD 2 2AB /CD, AB =丄DC E PD F PC AEU PBC ABCD AB O F O FC M OM / DAF 273 A4BCA4CDC ABCD -M N CD CC舛M DN ABCDEF - ABCXDXE,FXFB C、E FC严伍 FBEG ABCD-ABCD E,F BB,DD. AFIIEC AEUFC, O、D AB,PB OD/PA PAu PAC OD(z PAC ODII PAC E、F PB、PC EF/BC AD/BC AD/EF A)u PAD EF u PAD EF/ P

9、AD CB CB, E ED BBg E CXB D AB ED/C.A EDu CDB、CA h CDB、C.A/ CDB、BDMO ABCD O AC O BD M PD PB! IMO PEu ACM MOu ACM PBH ACM CE P FP、BP F CD pfhed、pf = Led AB/ED,AB=-DE ABMPF、AB = PF ABFP AF! I BP AFu 2 2BCE BPu BCE AF/ BCE F AA. HBB, /CC, A4, = BB = CCX ACC.A,AC/MjCp AC = AC ABCD F F AC E FCIIA.E, FC =

10、A、E A.EFC FAJICE FAu ABD CE 11.解:(1)在正方体 ABCD-AiBiCiDi 中，胚入分别是易氏邱?用中点zq 5 = 90AD =可以证明DC | A.BLSI | AXBA堤朋l的中点、LM | 45_同理坤=轨氏3=吕C可以求得蓉= CB=g= Z是的中点= LM =nAZJ是等边三角形弋M :ZD今是等腰直角三角形B竺=1 今 mviixc血的2 / /NB-Z AABCMCD=-乙乙ACH平面胚VPAC AF 3丁打= Z A ly/3 Z= Z A ly/3 ZNB PD =5D X 平面PN u平面胚VP设平面MVPD平CD = PEHCu平面4C

11、D1=FE|AC，即平面MNP与平面ACD的交线/AC.旳|平面MVP3、拓展训练答案B,【解析】对于A,直线厶与厶可能异面；对于C,直线厶、厶、厶可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时 而不共面；对于D,直线Z、12、厶相交于同一个点时不一定共面，所以选B.B,解析】在a内存在直线与/相交，所以A不正确；若a内存在直线与/平行，又V/(Z a,则有Ma、 与题设相矛盾，.B正确，C不正确；在a内不过/与a交点的直线与/异面，D不正确.C,【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交， 所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个 平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.B 5. 90s【答案】证明：因为圆柱的上下底面平行，且FB、GEi是截面与圆柱上、下底面的交线，所以 FBIICE依题意得，正六边形ABCDEF是圆内接正六边形，所以，正六边形的边长等于圆的半径，即A8 = 4F = 1在中，由正六边形的性质可知，ZBAF = 120 ,所以，BF2 = AB- + AF2