人教版高中数学高考一轮复习-数学归纳法

1、5.5*数学归纳法第五章2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI课标要求了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.备考指导本节为选学内容,不作考试要求.但是对于归纳猜想证明的思想还是应该注意理解,提升逻辑推理素养.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】 数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n=n0(n0N*)时命题成立;(2)(归纳递推)以“当n=k(kN*,kn0)时命题成立”为条件,推出“

2、当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction).温馨提示能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件:(1)第一块骨牌倒下;(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.【知识巩固】 1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时

3、,项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”,验证当n=1结论成立时,左边式子应为1+2+22+23.()C345n+1根据题意可得,a2=3,a3=4,a4=5,故猜想an=n+1. 4.用数学归纳法证明1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是.(2k+2)+(2k+3) 当n=k时,待证等式左边=1+2+3+(2k+1),当n=k+1时,待证等式左边=1+2+3+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),所以从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).第二环节关键能

4、力形成能力形成点1用数学归纳法证明等式解题心得1.用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.2.由当n=k时等式成立,推出当n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.3.不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.对点训练1求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN*).证明 (1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,故等式成立;(2)假设当n=k(kN*)时等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1),则当n=k

5、+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k135(2k-1)(2k+1)2=2k+1135(2k-1)(2k+1),即当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,对所有nN*等式都成立.能力形成点2用数学归纳法证明不等式解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若应用其他办法不容易证明,则可考虑用数学归纳法.2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.能力形成点3归纳猜想证明(1)求a2,a3,a4;(

6、2)猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.解题心得在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点:(1)计算特例时,不仅仅是简单的计算过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;(2)如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明.对点训练3 (1)求S1,S2,S3,S4;(2)猜想该数列的前n项和Sn,并证明.第三环节学科素养提升用数学归纳法证明整除问题典例用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.证明:(1)当n=1时,xn+yn=x+y,显然能被x+y整除,命题成立.(2)假设当n=k(kN*,且k为奇数)时,命题成立,即xk+yk能被x+y整除.那么当n

7、=k+2时,xk+2+yk+2=x2(xk+yk)+yk+2-x2yk=x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y).又根据假设,xk+yk能被x+y整除,所以x2(xk+yk)能被x+y整除.又yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,所以x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,即当n=k+2时,命题成立.由(1)(2)可知,当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.解题心得用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的n=k+1的式子中拼凑出当n=k时的假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式或某数整除.证明过程中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用当n=k时的假设使问题得到解决.变式训练证明:(3n+1)7n-1能被9整除(nN*).证明 (1)当n=1时,(3n+1)7n-1=(3+1)7-1=27是9的倍数,命题成立.(2)假设当n=k(kN*)时,命题成立,即(3k+1)7k-1能被9整除.那么当n=k+1时,3(k+1)+17k+1-1=(21k+28)7k-1=(3k+1)7k-1+(18k+27)7k,由假设知