人教版高中数学高考一轮复习-　立体几何中的向量方法

1、7.6立体几何中的向量方法第七章2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI课标要求1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.备考指导立体几何解答题是高考六道大题之一,每年必考,主要考查空间线、面位置关系的性质与判定,

2、应用向量方法求空间角,折叠问题以及存在性探究题等,难度中等.主要涉及逻辑推理、直观想象和数学运算的学科素养,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.复习时要注意归纳常用的证明空间平行、垂直的模型与规律,认真分析图形,建立恰当的空间直角坐标系,准确写出相关坐标,计算所求的角或角的函数值等.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】 (3)空间平面的法向量定义:直线l ,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 .2.空间中直线、平面位

3、置关系的向量表示 温馨提示1.用向量刻画空间中直线、平面的平行、垂直关系时,要注意线面关系与向量关系的异同,可简记为“同类同性,异类相反”,即线线平行(垂直)、面面平行(垂直)中向量仍平行(垂直),但线面平行(垂直)中向量变为垂直(平行).2.因为直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,所以应优先选取方便运算的向量.【知识巩固】 1.下列说法正确的画“”,错误的画“”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.()(4)若空间向量a平行于平面,则a所在直线与平面平行.()(5)两条直线的方向向量的夹角就

4、是这两条直线所成的角.()2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()C3.已知点A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()A4.设u,v分别是平面,的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,与的位置关系为;当v=(4,-4,-10)时,与的位置关系为. 当v=(3,-2,2)时,uv=(-2,2,5)(3,-2,2)=0.当v=(4,-4,-10)时,v=-2u.5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若AB=PA,则平面PAB与平面PCD的夹角为.45 如图,以A为坐标

5、原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由题意,知AD平面PAB,设E为PD的中点,连接AE,则AEPD,又CD平面PAD,所以CDAE,从而AE平面PCD.第二环节关键能力形成能力形成点1利用空间向量证明平行、垂直例1如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC, ,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1平面AA1C;(2)AB1平面A1C1C.证明 二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,AA1平面A1ABB1,AA1

6、平面BAC.又AB=AC, ,CAB=90,即CAAB,AB,AC,AA1两两互相垂直.以A为坐标原点,以AC,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设AB=2,则点A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).解题心得1.用向量法证明平行类问题的常用方法 2.用向量法证明垂直类问题的常用方法对点训练1如图,在三棱锥P-ABC 中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求证:APBC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.

7、试证明平面AMC平面BMC.证明 (1)如图所示,以O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.所以点O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).能力形成点2利用空间向量解决探索性问题例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.解题心得立体几何探索性问题的求解方法有以下两种:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后加以证

8、明,得出结论;(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目要求进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.本题是设出点P的坐标,借助向量运算,判断关于z0的方程是否有解.对点训练2如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:ACSD.(2)若SD平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由.(1)证明 连接BD,设AC交BD于点O,连接SO,则ACBD.由题意知SO平面ABCD.能力形成点3利用空间向量求空间角命题角度1 利用

9、空间向量求直线与平面所成的角例3如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明 由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.命题角度2 利用空间向量求两个平面的夹角例4如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求平面PAB与平面PCB的夹角的余弦值.(1)证明 由BAP=CDP=

10、90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解 在平面PAD内作PFAD,垂足为F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.解题心得1.利用向量法求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(或钝角的补角),取其余角就是斜线和平面所成的角.2.利用向量法求两个平面的夹角的方法:求出两个平面的法向量分别为n1,n2,设两个平面的夹角为,则cos = |cos|,进

11、而求出的值.对点训练3(1)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD.将ABD沿BD折起,使得平面ABD平面BCD,如图.求证:ABCD;若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.证明 平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AB平面ABD,ABBD,AB平面BCD.又CD平面BCD,ABCD.解 过点B在平面BCD内作BEBD,如图.由知AB平面BCD,BE平面BCD,BD平面BCD,ABBE,ABBD.(2)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且AB=AD=2, ,BAD=120.求异面直线A1B与AC1所成角的

12、余弦值;求平面A1BD与平面A1AD的夹角的正弦值.能力形成点4利用空间向量求距离例5如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD, ,求点A到平面MBC的距离.解 如图,取CD的中点O,连接OB,OM,则OBCD,OMCD.又平面MCD平面BCD,交线为CD,所以OM平面BCD.以O为坐标原点,OC,BO,OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.解题心得1.求解点到平面距离的基本步骤为: 2.求平面外一点B到平面的距离,可以先求出点B在平面内的射影,再运用两点间的距离公式.3.求线面距离、面面距离可转化为求点面距离来解决.BC第三环节学科素

13、养提升转化与化归思想立体几何中的展开问题典例在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,ACB=90, AC=6,BC=CC1= ,P是BC1上一动点,如图所示,则CP+PA1的最小值为.解析:PA1在平面A1BC1内,PC在平面BCC1内,将其铺平后转化为平面上的问题.展开平面A1BC1,平面BCC1,如图所示,计算得A1B=AB1= ,BC1=2.又A1C1=6,故A1BC1是直角三角形,A1C1B=90.又BCC1为等腰直角三角形,所以A1C1C=135.设P是BC1上任一点,则CP+PA1A1C,即当A1,P,C三点共线时,CP+PA1有最小值.在A1C1C中,由余弦定理,得解题心得1.“展开问题”是“折叠问题”的逆向思维,“展开问题”是指将立体图形的表面(或部分表面)按一定的要求铺成平面图形,再利用平面图形的性质解决立体问题的一类题型.解决展开问题的关键是:确定需要展开立体图形中的哪几个面(有时需要分类讨论),以及利用什么平面的性质和定理来解决对应的立体