山大理论力学典型错解选评

1、理论力学典型错解选评第1篇静力学题11结构的尺寸及荷载如图所示。自重不计，试求支座反力。图 1-1错误解答：因为外荷载为竖向力，根据平面平行力系的平衡条件，支座A、B、E处的约束反力也应为竖直方向，其整体的受力图如图11(b)所示。由平面任意力系平衡方程，有 (1) (2) (3) 由式(1),有 (4)由式(3),有 (5)将式(4)、(5)代入式(2)，有 解出 将之值代入式(5),得将之值代入式(4),得计算无误。错误分析：图11(b)所示受力图是错误的。因为结构自重不计，故杆AB、BG均为二力杆，A处约束反力沿杆方向而非铅直。另外，E处为铰支座，它的约束反力还应有水平分力。正确解答：因

2、结构自重不计，故杆AB、BG均为二力杆。以BCDE结构部分为研究对象，其受力图如图1-1(d)所示。B处为复铰，在该受力图中，B处含有销钉B，分别为销钉B与杆AB、BG之间的反作用力。由平面任意力系平衡方程，有 (1)所以 (2)所以 (3)以CDE部分为研究对象，其受力图如图1-1(e)所示。由平面任意力系平衡方程，有 (4)所以 由式(3),有由图1-1(c)，有所以 题1-2 组合结构的尺寸及荷载如图所示，自重不计。试求杆1、2所受的力。图 12错误解答：取整体为研究对象，其受力图如图1-2(a)所示。由平面任意力系平衡方程，有所以 2. 取节点B为研究对象。其受力图如图1-2(b)所示

3、。由平面汇交力系平衡方程，有所以 3. 取节点E为研究对象，其受力图如图1-2(c)所示。由平面汇交力系平衡方程，有所以 所以 错因分析：以节点B为研究对象图1-2(b)所示的受力图是错误的。因为梁BC不是二力杆，不能将其在G处切断，并将BG部分视为二力杆。如若以销钉B为研究对象，则梁BC的B端与销钉B之间有2个正交的未知力、，再加上杆3与销钉B之间的作用力也是未知的，共3个未知量，而平衡方程只有2个，不能求解。正确解答：1. 取整体为研究对象，其受力图如图1-2(a)所示。由平面任意力系平衡方程，有所以 2. 取ADC部分为研究对象，其受力图如图1-2(d)所示。由平面任意力系平衡方程，有所

4、以 3. 取节点E为研究对象，其受力图如图1-2(c)所示。由平面汇交力系平衡方程，有所以 题1-3 杆AB的A端固定，在B处用铰链与折杆BCD连接。圆轮半径r=1m,吊重P=6kN。试求A处的反力。错误解答：错解一：1. 取折杆BCD和滑轮为研究对象，其受力图如图1-3(b)所示。由平面任意力系平衡方程，有，所以 2. 取杆AB为研究对象，其受力图如图1-3(c)所示。由平衡方程，则有所以 所以 图 13错解二：1. 以折杆BCD为研究对象，其受力图如图1-3(d)所示。由平衡方程，有所以 所以 2. 以杆AB为研究对象，其受力图如图1-3(e)所示。由平衡平程，有所以 所以 所以 错因分析

5、：1. 图1-3(b)所示受力图是错误的，在铰链B处应以两个正交分量表示其约束反力。2. 图1-3(d)所示受力图是错误的，在铰链E处应以两个正交分力表示其约束反力。正确解答：以折杆BCD和滑轮为研究对象，其受力图如图1-3(f)所示。由平衡方程，有所以 2以整体为研究对象，其受力图如图1-3(g)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 题1-4 构架的尺寸及荷载如图所示。固定在杆BD上的销钉穿在杆AC的光滑槽内。试求各支座的反力。错误解答：1. 以杆BD为研究对象，其受力图如图1-4(b)所示。由平衡方程，有所以 2. 以杆AC为研究对象，其受力图如图1-4(c)所示。由平衡方程，有所以 图

6、143. 以整体为研究对象，其受力图如图1-4(a)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 错因分析：由图1-4(b)、(c)所示的受力图是错误的。因销钉D穿在光滑槽中，故E处的约束反力应沿光滑槽的法线方向，即与AC杆垂直的方向。正确解答：1. 以BD为研究对象，其受力图如图1-4(d)所示。由平衡方程，有所以 2. 以AC为研究对象，其受力图如图1-4(e)所示。由平衡方程，有所以 3. 以整体为研究对象，其受力图如图1-4(a)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 题1-5 图示构架的尺寸如图所示，杆重不计。固定在杆CE上的销钉E穿在杆AD的光滑槽中。若已知F=10kN,P=20kN，CG=

7、GE。试求A、B处的约束反力。错误解答：以杆BC为研究对象，其受力图如图1-5(b)所示。由平衡方程，有所以 2. 以BCE为研究对象，其受力图如图1-5(c)所示。由平衡方程，有所以 图 15所以 所以 3. 以AD为研究对象,其受力图如图1-5(d)所示。由平衡方程，有所以 所以 错因分析：图1-5(c)所示的受力图中，销钉E处的约束反力应垂直杆AD，即水平方向。因为销钉E与滑槽之间为光滑固定面约束，其约束反力应沿公法线方向，E处的公法线方向为垂直于AD方向。正确解答：1. 以BC为研究对象，其受力图如图1-5(b)所示，由上解得2. 以BCE为研究对象，其受力图如图1-5(e)所示。由平

8、衡方程，有所以 所以所以 3. 以AD为研究对象，其受力图如图1-5(f)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 题1-6 组合结构如图所示，若杆重不计，试求A、D处的约束反力及杆1、2、3、4所受的力。图 16错误解答：错解一：1. 取ACB为研究对象，其受力图如图1-6(b)所示。由平衡方程，有所以 所以 2. 取DGH为研究对象，其受力图如图1-6(c)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 3. 取节点H为研究对象，其受力图如图1-6(d)所示。由平面汇交力系平衡方程，有所以 所以 错解二：1. 取BC为研究对象，其受力图如图1-6(e)所示。由平衡方程，有所以 所以 2取AC为研究对象，

9、其受力图如图1-6(f)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 3取EG为研究对象，其受力图如图1-6(g)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 4. 取节点H为研究对象，其受力图如图1-6(h)所示。由平面汇交力系平衡方程，有所以 所以 5. 取DE为研究对象，其受力图如图1-6(i)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 错因分析：1. 受力图(b)、(c)错误。A、D处均为固定端约束，还应有约束反力偶。2. 受力图(f)中C点约束反力方向画错，应与图(e)的C处有作用与反作力大小相等、方向相反、沿同一直线的关系.3. 在受力图(g)、(i)中，将作用于铰E处的集中力F各画是错误的。因为集中力

10、F是作用在连接DE和EG的销子上的。既非作用在杆DE的E端，也非作用在杆EG的E端，更非在两杆E端各作用一半。在这种情况下，处理的方法有三：（1）将销子合并在杆DE的E端，（2）将销子合并在杆DG的E端，（3）单独取出销子作为研究对象。请读者思考，图(g)、(i)中的和，和是一对作用力与反作用力吗？正确解答：1. 取BC为研究对象，其受力图如图1-6(e)所示。由平衡方程，有所以 2. 取ACB为研究对象，其受力图如图1-6(j)所示。由平衡方程，有所以 所以 3. 取EG为研究对象，其受力图如图1-6(k)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 4. 取节点H为研究对象，其受力图如图1-6(h

11、)所示。由平面汇交力系平衡方程，有所以 所以 5. 取DE为研究对象，其受力图如图1-6(l)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 综上，有 题1-7 构架的尺寸如图所示。固定在杆AD上的销钉C插入杆BC的光滑槽内。若已知P=4kN，M=2kNm。试求A、B处的约束反力。错误解答：1. 以BCD部分为研究对象，其受力图如图1-7(b) 所示。由平衡方程，有 (1)所以 (2)所以 (3)所以 图17错误解答：图172. 以ACD部分为研究对象，其受力图如图1-7(c) 所示。由平衡方程，有 (4)所以 (5)所以 (6)所以 错因分析：1. 在图1-7(b)所示的受力图中，漏画了销子D与杆AD

12、在D端的约束反作用力。当然，如果在D处加画了上述的约束反作用力，则本受力图中将有5个未知数，就不能以此研究对象求解了。2. 由式(1)求得，当将其代入式(2)、(3)时，应连同负号一同带入。上解没有连同负号一起代入，显然是错误的。3. 图1-7(c)所示的受力图中，在销子D处漏画了绳索的张力。图为滑轮与杆组合在一起时，肯定有销子D存在，而绳索的端点是系在销子上的。另外，销钉C处的约束反力应与图1-7(b)中的等值、反向。尽管计算得，也不要在图1-7(c)改变的方向。4. 如果因为求得为负值而在图1-7(c)中改变了的方向，那么，当在式(4)、(5)、(6)的计算中代入的数值时，就不必连同负号一

13、同带入了。上述错解中，又改变了的方向，又连负号一同代入计算，就错了。正确解答：1. 以轮D为研究对象，其受力图如图1-7(d)所示。由平衡方程，有所以 所以 2. 以BC杆为研究对象，其受力图如图1-7(e)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 3. 以AD杆为研究对象，其受力图如图1-7(f)所示。由平衡方程，有所以 所以 所以 题1-8 固定在杆CD上的销钉E插入杆AB的导槽内，已知两者之间的摩擦角。在杆AB和CD上分别作用有力偶，其矩分别为和，如图所示。若不计杆重，铰A、C光滑，试求平衡时之值的范围。图 18错误解答：在力偶、共同作用下，两杆的运动趋势为：（1）分别绕A、C轴有顺时针转动

14、的趋势，销子E有沿导槽自A向B滑动的趋势；（2）分别有绕A、C轴反时针转动的趋势，销子E有沿导槽自B向A滑动的趋势。现分别讨论以上所述的两种情况。1. 设销子E沿导槽处于自B向A滑动的临界平衡状态取杆AB为研究对象，其受力图如图1-8(b)所示。由平衡方程，有 (1)所以 以杆CD为研究对象，其受力图如图1-8(c)所示。由平衡方程，有 (2)所以 即 2. 设销子E沿导槽处于自A向B滑动的临界平衡状态此时，只需将图1-8(b)、(c)所示受力图中改变摩擦力的方向即可，平衡方程（1）、（2）中均与无关，故所得结果仍为所以，平衡时有错因分析：1. 因1-8(b)中摩擦力的指向画错。销子E的运动趋

15、势是沿导槽AB有自A向B或自B向A滑动的趋势，而摩擦力的指向应与运动趋势相反。当销子E沿导槽AB有自B向A的滑动趋势时，作用在销子E上的摩擦力应与其运动趋势相反，即自A向B，而作用在导槽上的摩擦力则应与作用在销子上的摩擦力大小相等、方向相反，即自B向A，而不应如图1-8(b)所示的自A向B。故图1-8(b)中的指向是错误的。2. 在图1-8(c)所示的受力图中，摩擦力的方位、指向均画错了。因为销子E有沿导槽滑动的趋势，故摩擦力应沿导槽而不应沿CD杆。又因为销子E有自B向A滑动的趋势，故作用在销子E上的摩擦力应沿导槽自A向B。正确解答：1设销子E沿导槽处于自B向A滑动的临界平衡状态以杆AB为研究

16、对象，其受力图如图1-8(d)所示。由平衡方程，有 (1)所以 再以杆CD为研究对象，其受力图如图1-8(e)所示。由平衡方程，有 (2)由摩擦定律，有 (3)由式（2）、（3），解得2设销子E沿导槽处于自A向B滑动的临界平衡状态此时，只需将图1-8(d)、(e)所示受力图中，将的指向改为相反方向，同时将式(2)中前的负号改为正号，则于是，系统平衡时应满足的范围为题1-9 杆AB悬吊如图所示。重为P=10kN的物块E置于倾角为的斜面上，用绳绕过定滑轮与杆AB连接。已知物块E与斜面间的静滑动摩擦系数为。试求系统平衡时，均布荷载q的分布范围。图 19错误解答：1. 取物块E为研究对象。设物块E处于

17、不下滑的临界平衡状态，其受力图如图1-9(b)所示。由平衡方程，有 (1) (2)由摩擦定律，有 (3)由式(1)、(2)、(3)解得2. 取杆AB为研究对象，其受力图如图1-9(c)所示。由平衡方程，有 (4)所以 即系统平衡时错因分析：因为随着q的分布长度的取值不同，系统平衡时，物块E有不上滑与不下滑的两种运动趋势。如果过大，将使物块E上滑，如果过小，则物块E将下滑。也即有一个取值范围。上解中，只回答了问题的一半，即物块E不下滑的临界平衡状态，所得值应为最小值，尚有物块E不上滑的临界平衡状态未作考虑。正确解答：1. 以物块E为研究对象。设其处于不下滑的临界平衡状态，其受力图如图1-9(b)

18、所示。其平衡方程和摩擦定律同上解式(1)、(2)、(3)。并由式(1)、(2)、(3)解得2. 以杆AB为研究对象，其受力图如图1-9(c)所示。其平衡方程同上解式(4)，并由式(4)解得3. 以物块E为研究对象，其受力图如图1-9(d)所示。设其处于不上滑的临界平衡状态。由平衡方程，有 (5) (6)由摩擦定律，有 (7)由式(5)、(6)、(7)解得 由式(4)此处 于是，系统平衡时均布荷载q的分布范围为 题1-10 重量分别为、的物块A、B，由无重直杆AC、BC连接后放置如图所示。已知A、B处的静滑动摩擦系数均为。欲使两物块均不滑动，试求作用在铰链C处竖向力F的最小值。图 110 错误解

19、答：1. 取物块A为研究对象。由于在杆力作用下物块A有向右滑的运动趋势，设其处于临界平衡状态，故最大摩擦力向左。其受力图如图1-10(b)所示。由平衡方程，有 (1) (2)由摩擦定律。有 (3) 由几何关系，有由式(1)、(2)、(3)解得2. 取物块B为研究对象，由于BC杆拉动物块B有向上滑动的趋势，且处于上滑的临界平衡状态，故其受力图如图1-10(c)所示。由平衡方程，有 (4) (5)由摩擦定律，有 (6) 由几何关系，有由式(4)、(5)、(6)解得取节点C为研究对象，其受力图如图1-10(d)所示。由平衡方程，有于是，得最小F力为 错因分析：1. 上解错误之一是认为在铰链C处作用的

20、竖向力F的最小值，可使物块A、B同时达到临界平衡状态。对于一个由若干物体组成的平衡系统中，若多处粗糙面均有摩擦力存在，其中哪处的摩擦力先达到最大值，是由物体所处的位置、摩擦系数、受力状态、平衡方程等诸多因素决定的，一般不会几处的摩擦力同时达到最大值。上解，根据 A、B两物块同时达到临界平衡状态，虽然算出了最小F力的值，但对图1-10(d)所示的受力图写时，不能成立，即可见，根据物块A、B均处于临界平衡状态所得的不能使节点C平衡，也就说明，物块A、B不同时处于临界平衡状态。但是，A、B两者谁先达到临界平衡状态，通常是事先不知道的，所以，通常的分析方法是，假定一处先达到临界平衡状态，根据平衡方程计

21、算另一处摩擦力的值，并将由平衡方程计算出来的摩擦力与最大摩擦力比较，若满足,则假定正确，所得计算结果有用，若出现这种不可能的情况，说明假定不正确，再设另一处先达到临界平衡状态，重新计算，便可得到正确的结果。 有时，虽然系统中有多处摩擦存在，但这些摩擦力都发生在一个刚体上，则各处的摩擦力将同时达到临界平衡状态。例如，一个圆柱置于粗糙的V形槽面内，如果圆柱有转动趋势，则两处的摩擦力将处于相同的状态，即要达到临界平衡状态，必同时达到。2. 上解错误之二是认为物块B只有沿铅垂面向上滑动的运动趋势，且处于临界平衡状态。实际上，根据物块B的受力情况，可能有向上滑的运动趋势，也可能有向下滑的运动趋势。这取决

22、于作用在节点C上F力的大小。当F力很大时，物块B有向上滑的运动趋势，当F力很小时，物块B有向下滑的运动趋势。本题欲求两物块均不滑动的F力的最小值，故应考虑向下滑的运动趋势。正确解答：1. 取物块B为研究对象，并假设其处于向下滑的临界平衡状态。其最大摩擦力向上，其受力图如图1-10(e)所示。由平衡方程，有 (1) (2)由摩擦定律，有 (3)上式中 于是，由式(1)、(2)、(3)解得2. 取节点C为研究对象，其受力图如图1-10(d)所示。由平衡方程，有 (4) (5)式中 由式(4)，解得由式(5)，解得3. 取物块A为研究对象，其受力图如图1-10(f)所示。由平衡方程，有 (6)所以

23、(7)所以 由摩擦定律，有因有，故假定正确。 即当时，两物块均不会滑动。理论力学典型错解选评第2篇 运动学题2-1 杆AC沿槽以匀速向上运动，并带动杆AB及滑块B。若AB，且初瞬时.求当时，滑块B沿滑槽滑动的速度。错误解答之一：取坐标系如图2-1所示。由几何关系有 （1）将上式的时间求导数，有 （2）所以 因为，而当时，所以有负号表示的方向与轴方向相反。 图2-1 错误解答之二：取坐标系如图-1所示，则由几何关系有物块B的运动方程为 (3)铰链A的运动方程为 (4)将式（3）、（4）对时间求导数，有 (5) (6)由式（6），有 (7)式（7）代入式（5），得代入，得错因分析：1.错误解答之一

24、的错误在于，所选取的坐标系原点与滑块B固结，故而该坐标系是移动的。题目要求滑块B沿滑槽滑动的速度，也即相对于地球表面的速度，滑槽即地球表面，故应选取与地球表面固结的参考坐标系。式（1）中的只是AC杆上一点O坐标系相对位置，既然不是与地面固结的参考系，它对时间的一阶导数就不是滑块B相对滑槽的速度，而是相对动坐标系的相对速度。2. 错误解答之二的错误原因在于，在所选的坐标系中，以式（3）作为滑块B的运动方程是错误的。因为在坐标系中，B点的坐标应取负值，即 (8)正确解答：将式（8）对时间求一阶导数，有在坐标系中，A点的坐标为代入上式，得代入，则有滑块B的速度为其方向沿轴正向。题2-2 从水面上方高

25、20m的岸上一点A，用长为40m的绳系住一船B。今在A处以的均速拉绳，使船靠岸，求5s末船的速度是多少？在5s内船移动了多少距离。 图 图2-2错误解答：以船为研究对象。用绳拉船时，绳的速度为，故船的速度为图2-2（b） (1)因 (2)故有 当时，有在内，不改变方向，时，故此时间内船移动的距离为错因分析：确定船移动速度的式（1）是错误的，因为，虽然在A处以匀速拉绳，但系在船上的绳B端的速度方向随时改变，已不再是常矢量了。式（1）中将其作为常矢量在水平方向投影，并以此方法求得的船的速度是错误的。为了说明式（1）的错误原因，设船在时间内位移为，同时绳索减短，如图2-2（c）所示，近似地认为，则当

26、时对上式求极限，则有而，所以而不是式（1）的正确答案：取坐标系如图2-2所示，则船的坐标为上式对时间求导数得船的速度为当时船的速度为负号表示速度方向与轴正方向相反。当时，当时，之内船不改变速度方向，故在此时间内船移动的距离为题2-3 在图示机构中，曲柄OA转动的角速度为，角加速度为，且有。试求D点的速度、加速度和轨迹。错误解答：因曲柄、均作定轴转动，且彼此平行，故它们的角速度、角加速度均相同。又因三角板CDE绕转动，故D点的速度和加速度分别为D点的轨迹为以为半径、以为圆心的圆。错因分析：上解错误之处在于没有认出杆AB、三角板CDE均作平动，而误认为三角板CDE绕轴转动，误认为D点的轨迹为以r为

27、半径、以为圆心的圆。正确解答：因,故杆AB作平动，于是有又因做定轴转动，且给知，故有因故三角板CDE作平动，于是D点的速度和加速度分别为因为刚体上各点轨迹相同，故D点的轨迹与C点的轨迹相同，同为半径为的圆，但圆心位置各不相同，C点轨迹以为圆心，而D点轨迹则是为半径，圆心在D点正下方距D点处。题2-4 杆AB在铅垂方向以匀速沿滑槽向下运动，并由B端的小轮带动半径为R的圆弧杆OC绕O轴转动，如图2-4所示。设运动开始时，试求此后任意瞬时t，圆弧杆OC的角速度和C点的速度。错误解答取坐标轴如图2-4所示。因为杆AB的速度向下，故知圆弧杆OC绕O轴反时针转动，其角速度为。B点的坐标为上式对时间求导数，

28、有其中为圆弧杆OC的角速度，故有所以而C点的速度则为 由几何关系，有于是，C点的速度为错因分析：上解中认为是错误的。因为题设的正转向为顺时针，而当杆AB向下运动时，圆弧杆的角速度为反时针转向，故应为正确解答：将上解中，以代人，即得正确结果的方向与转向一致。题2-5 在图示机构中，齿轮1固结在杆AC上，。齿轮1和半径为的齿轮2相啮合，齿轮2可绕轴转动，且和曲柄没有联系。若，试确定时，轮2的角速度和角加速度。错误解答：因为，所以两杆角速度、角加速度相同，即又因为，所以A、B两点的速度及加速度相同，即 因作定轴转动，所以，D点的速度和加速度分别为 （1）于是，有 （2） （3）轮2的角速度、角加速度

29、分别为 （4） （5）当时，则有 （6） （7）错因分析： 上解中没有认出杆AC和轮1均作平动。因为AC与轮1固结一起，且有,，故杆和轮1固结的刚体ABC作平动。同时，上解中由式(1)、(2)、(3)所计算的D点的速度及切向加速度，是曲柄上在处的速度及切向加速度，并非齿轮1、2啮合点D的速度和切向加速度。但在计算轮2的角速度和角加速度时，却把曲柄上在处的D点，当成齿轮1、2的啮合点，显然是错误的。 正确解答： 因为杆AC与轮l固结一起，且有,，故杆AC与轮1固结一起的刚体ABC作平动。平动刚体在同一时刻各点的速度及加速度均相同，故齿轮1、2啮合点D的速度、切向加速度与A、B两点的相同，即求得了

30、轮2的切向速度和切向加速度，便可求得轮2的角速度和角加速度，即当时，有的转向为顺时针。题2-6 半径为R的半圆形凸轮D，已知其运动的速度为、加速度为，方向如图2-6（a）所示。凸轮推动杆AB沿铅直方向运动。试求当时，杆AB移动的速度和加速度以及A相对凸轮的速度。错误解答：（1）求速度错误答案：（1）求速度取杆AB上的A点为动点，凸轮D为动系，地面为定系。动点的绝对速度、相对速度、牵连速度如图2-6(a)所示。由几何关系，有所以，杆AB移动的速度为由速度的投影，有所以，杆AB相对于凸轮D的速度为（2）求加速度动点A的加速度矢量图如图2-6（b）所示：取投影轴，则加速度在轴上的投影分别为由式（2）

31、，有由式（1），有错因分析：1.上解中，图2-6（a）的速度矢量图画错，不符合速度合成定理的关系，是合矢量，应为速度四边形的对角线。2.因为动点的相对轨迹为凸轮D的轮廓线，即半径为R的圆曲线，故相对加速度应有切向分量、法向分量两个分量。图2-6（b）中漏画了相对加速度的法向分量。3.速度、加速度的投影，应按照合矢量投影定理进行，上解中式（1）、（2）在切向、法向方向的投影，是按，计算的，这显然是不符合加速度合成定理，不符合合矢量投影定理。正确答案：取杆AB上的A点为动点，动系为凸轮D，定系为地面。动点的绝对运动轨迹为铅垂线，相对运动轨迹为凸轮的轮廓线，即半径为R的圆曲线、牵连运动为平动。（1）

32、求速度动点A的速度矢量图如图2-6（c）所示。根据速度合成定理，有 （1）取投影轴如图2-6（c）所示。将式（1）分别在轴上投影，则有 （2） （3）于是，杆AB移动的速度也即动点A的绝对速度为杆AB相对于凸轮的相对速度为（2）求加速度加速度矢量图如图2-6（d）所示。由动系作平动时的加速度合成定理，有 （4）取投影轴如图2-6（d）所示。将式（4）分别在轴方向投影，有上式中，由式（6），有所以 由式（5），有于是杆AB移动的加速度也即动点A的绝对加速度为AB相对于凸轮的加速度为题2-7 在图示的平底顶杆凸轮机构中，顶杆AB可沿铅直槽上、下运动，半径为R的凸轮以匀角速度绕O轴转动。工作时顶杆与

33、凸轮保持接触。偏心距OC=e，试求当OC水平时，顶杆AB的速度和加速度。错误解答：1.求速度：取凸轮与顶杆的接触点D为动点，顶杆AB为动系，地面为定系，则动点D的绝对运动轨迹为以O为圆心、以OD为半径的圆周，相对运动轨迹为水平直线，牵连运动为平动。动点D的速度矢量图如图2-7（b）所示。其中绝对速度的大小为由几何关系，有于是，顶杆AB移动的速度为2.求加速度动点D的加速度矢量图如图2-7（c）所示。由几何关系，有于是，顶杆AB移动的加速度为错因分析:1.若取凸轮与顶杆AB的接触点D为动点，顶杆AB为动系，则相对运动轨迹不是一条水平直线，因为，如果顶杆AB不动，仅凸轮运动，则动点D相对于顶杆AB

34、作圆周运动。又若凸轮不动，仅顶杆运动，则动点D相对于顶杆AB为铅直线运动。当两者都运动时，就不再是简单的直线或圆了，而是两种运动的合成，其合成结果将是某一平面曲线，该曲线在D点处与顶杆AB的水平底面相切，因此，相对速度应沿水平方向，故图2-7(b)所示的速度矢量图是正确的。2.由于相对运动轨迹是其切点在D点的某一平面曲线，故相对加速度应有切向分量法向分量。图2-7(c)中漏掉了。又由于该平面曲线的方程未知,故无法求得该曲线在D点的曲率半径，也就无法得知。于是，在加速度合成定理中均为未知，上式只有两个投影式，只能求解2个未知数，故不能求解。可见，上述动点、动系的取法是无法求得全部解答的。正确解答

35、：取凸轮中心C为动点，顶杆AB为动系，地面为定系。动点C的相对运动轨迹为过C点的水平直线，绝对运动轨迹为以O为圆心，以e为半径的圆，牵连运动为平动。求速度动点C的速度矢量图如图2-7（d）所示，即将上式在轴投影，有 于是,顶杆AB移动的速度为 2.求加速度动点C的加速度矢量图如图2-7(e)所示,即 将上式分别沿x,y轴投影,有所以 所以 于是，顶杆移动的加速度为题2-8 长为r的曲柄OA以匀角速度绕O轴反时针转向转动, 从而推动滑杆BCD沿铅直方向上升，如图2-8(a)所示。试求当曲柄与水平线夹角时，滑BCD的速度和加速度。错误解答：取滑杆BCD上与曲柄OA端点A重合点为动点，OA为动系，地

36、面为定系。动点的绝对运动是随同滑杆的铅垂向上的直线运动，相对运动是水平直线运动，牵连运动是曲柄OA的定轴转动。动点的速度矢量图、加速度矢量图分别如图2-8(a)、(b)所示。由速度矢量图，有 （1） （2）由加速度矢量图，有上式中，科氏加速度，牵连法向加速度，将之值代入式（3），得因滑杆BCD作平动，故滑杆的速度为，加速度为，其方向如图8-3（a）、（b）所示。错因分析：1当以滑杆BCD上与曲柄OA端点A重合点为动点、曲柄OA为动系时，其相对运动轨迹并非水平直线。所谓相对运动，是指站在动系上观察到的动点的运动。显然，当曲柄OA转动时，站在OA上观察点的运动，其运动轨迹不可能只是一条水平直线。因

37、为，倘若曲柄OA不转动，仅滑杆BCD运动，则显然点相对于曲柄OA作铅直线运动，倘若滑杆BCD不动，仅曲柄OA转动，则显然点相对于曲柄OA作顺时针转向的圆周运动。当两杆同时运动时，动点相对于动系OA的运动应是上述两种运动的合成运动。显然，合成运动不再是水平直线或圆，而是某一条平面曲线，且在图示位置该平面曲线应与滑杆BCD的水平边相切。2既然相对轨迹是与BCD水平边相切的平面曲线，相对速度应沿相对轨迹在该点的切线方向，所以，相对速度应沿水平方向，但图2-8(a)中把相对速度指向画错了。根据速度合成定理，其中的指向均已确定，而速度四边形应为对角线方向，故不应指向左而应指向右。3由于图2-8(a)中的

38、指向画错了，那么，图2-8(b)中的科氏加速度指向也错了。应该向上而不应该向下。4既然相对轨迹应为某一平面曲线，动点的相对加速度就应该有切向、法向两个分量，而相对轨迹在点的曲率半径，由于相对轨迹方程未知，故无法求得相对法向加速度。5计算有错。对于速度未知量的计算，应根据正确画出的速度平行四边形，用几何法或用解析法求解。几何法只需根据正确的速度四边形，由几何关系算出某矢量，解析法则需根据合矢量投影定理求解，即：合矢量在某轴上的投影，等于诸分矢量在同轴上投影的代数和。而上解中的式(2)按“未知矢量的投影已知矢量的投影”来计算未知量，显然不符合合矢量投影定理，因此是错误的。6在加速度计算中，上解的公

39、式(3)是按所有加速度在Oy轴上的投影的代数和等于零，即来计算的，这显然不符合合矢量投影定理，是错误的。正确解答：取曲柄OA的端点A为动点，滑杆BCD为动系，地面为定系。动点A的绝对轨迹为以O为圆心，以r为半径的圆，相对轨迹为水平直线，牵连运动为平动。于是，动点A的速度与加速度矢量图分别为图2-8(c)、(d)所示。由几何关系可知，动点A的牵连速度和牵连加速度(即为滑杆BCD的速度和加速度)分别为题2-9 在图示系统中，轮O在水平面上作纯滚动，并与杆AB铰接于A点。在图示位置时，OA水平，轮心的速度为。试求杆AB中点M的速度。错误解答：因为杆AB作平动，故有，如图2-9（a）所示。错因分析：杆

40、AB作平面运动而非平动。正确解答：系统中的轮O、杆AB均作平面运动。由于轮O作纯滚动，故与地面的接触点C为它的瞬心，于是A点的速度方向应垂直于AC连线。杆AB两端速度方向已知，分别作A、B两点速度的垂线，其交点P即为杆AB的速度瞬心，如图2-9（b）所示。 轮O的角加速度为A点的速度则为杆AB的角速度为杆AB中点M的速度为其中 故 题2-10 平面机构如图2-10（a）所示。长为r的曲柄OA以匀角速度顺时针转动，ABAD=l,BC=r。试求图示瞬时滑块C、D的速度及杆BC的角速度。错误解答：曲柄OA作定轴转动，滑块D沿水平滑槽滑动，故BD杆上A、D两点的速度方向已知，由速度投影定理，有又因为杆

41、BDBC，故B点的速度方向垂直于BC，且有。因已知BC杆上B、C两点的速度方向，作速度方向的垂线，其交点C即为杆BC的速度瞬心。于是，有错因分析：1上解中B点的速度方向错误。因杆BD作平面运动，它的速度瞬心在P，故可知B点的速度方向应垂直于PB连线。2由于B点的速度方向错误，导致BC杆的速度瞬心位置错误，即BC杆的瞬心不在C点而应在，如图2-10（b）所示。正确解答：曲柄OA作定轴转动，滑块D、C沿水平滑槽滑动，故可知A、C、D点的速度方向。杆BD，DC作平面运动。由速度投影定理，有所以 BD杆的速度瞬心在P，由几何关系知，为等边三角形，即PD=BD=PB=2l,杆BD的角速度为而B点速度为因

42、为杆BC在B、C两点的速度方向已知，故其速度瞬心在，如图2-10(b)所示。因，所以，于是，杆BC的角速度为滑块C点的速度为题2-11 在图示机构中，固定齿轮O与运动齿轮A半径均为r。曲柄OA以匀角速度绕O轴反复摆动。其尺寸为r0.1m,BC=0.6m,=0.2m。图示瞬时OA水平，A、B、C在同一铅垂线上，。试求该瞬时杆BC、杆、齿轮A的角速度。错误解答：曲柄OA、杆作定轴转动，故A、C点的速度方向已知。齿轮A作平面运动，其速度瞬心在啮合点P。于是，有齿轮A的角速度为B点的速度为 杆BC作平面运动，其速度瞬心在，且有 所以，杆BC的角速度为 C点的速度为杆的角速度为 错因分析： 上解中对运动

43、的分析、瞬心位置P、均正确无误。其错处在于，在计算杆BC速度瞬心位置时，将视为直角三角形了，这就导致了杆BC的角速度、C点速度、杆的速度计算的错误。正确解答：曲柄OA、杆作定轴转动，故A、C点的速度方向已知，动齿轮A、杆BC作平面运动，齿轮O、A的啮合点P为动齿轮A的速度瞬心，A、B、C三点的速度方向如图2-11(b)所示。 因，所以，B点的速度为 杆BC在B、C两点的速度方向已知，由速度投影定理，有 所以 杆的角速度为 为求杆BC的角速度，以B为基点，则C点的速度为 其速度矢量图如图2-11(b)所示。取投影轴x，并将上式在x方向投影，有 所以 杆BC的角速度为 题2-12 长度均为l的两杆

44、AC与BC铰接于C，其端点A与B分别沿两直线运动，如图2-12（a）所示。设ABCD构成一平行四边形时，。试求该瞬时C点的速度和两杆的角速度。错误解答：杆AC、BC均作平面运动。以A为基点，则C点的速度为 (1)其速度矢量图如图2-1(a)所示。再以B为基点，则C点的速度 (2)因为，所以，有 (3)取投影轴x、y，并将各速度沿x轴投影，有 (4)将之值代人上式，得 由式(1)并将代入得 方向水平向右。将各速度沿y轴方向投影，有 (5)因已求得，所以 错因分析 1图2-12(a)速度矢量图中，指向有误。在题设情况下，杆AC的角速度应为反时针转向，杆BC的角速度应为顺时针转向。图-12(a)中按

45、BC杆反时针转画出了C点相对于B点转动的速度，这在运动学上是不可能实现的。2将式(3)分别在x,y轴投影时，应按等号两边分别投影的原则计算，而不能像写静力学平衡方程那样写。正确解答：杆AB、BC均作平面运动。以A为基点，则C点的速度为 (1)式(1)中的大小、方向均为未知，的大小未知，共计3个未知量，暂不能求解。为此，再以B为基点，则C点的速度为 (2)用两个基点求得应相同，即 (3)故有 其速度矢量图如图2-12(b)所示。取投影轴x、y，并将式(3)在x轴方向投影，有 即 而杆AC的角速度为 将式（3）沿y轴投影，有即 而杆BC的角速度为 将式（1）沿x，y轴投影，有 C点的速度大小为 C

46、点的速度方向 理论力学典型错解选评第3篇 动力学题4-1 质量为m的物块放在质量为的光滑均质杆的中点上，杆系3根绳子保持在图4-1（a）所示的位置。已知，不计物块尺寸。试求当绳突然剪断时，绳的角加速度及绳中的张力。 错误解答：当剪断绳后，杆作转动。绳的角加速度为，点加速度。虚加的惯性力系向杆质心简化，其受力图如图4-1（b）所示。由达朗伯原理，取，轴如图所示，则有图4-1，所以 ，所以 ，所以 错因分析：将绳剪断瞬时，杆与物块的速度均为零，但杆光滑，物块与杆之间将有相对运动。物块在杆上只是瞬时静止，相对滑动的速度为零，但相对滑动的加速度却不为零。上解中误认为物块在杆上静止不动，没考虑相对滑动的

47、加速度。（2）杆作平动而非转动，其角加速度为零，显然惯性力向其质心简化的主矩应为零。上解中虚加了惯性力系主矩是错误的。 正确解答： 当剪断绳后，杆作平动，该瞬时绳的角速度为零，杆及物块的速度为零。杆平动的加速度为，物块相对于杆有加速度。若以物块为动点，杆为动系，则动系平动。根据牵连运动为平动时的加速度合成定理，有 以物块G为研究对象，其受力图如图4-1（c）所示。由质点动力学基本方程，有 所以 以整体系统为研究对象，其主动力，约束反力和虚加的惯性力如图4-1（d）所示。由平衡方程，有 ，即 得 于是，绳的角加速度为 ， ，所以 题4-2 质量为、长为的均质杆，其端装有不计质量的小轮，小轮可沿光

48、滑斜面下滑。设初瞬时杆静止于铅垂位置，求开始下滑时A点的加速度及斜面的约束反力。错误解答：图4-2因为初瞬时杆铅垂，故开始下滑时，杆作平动。设开始下滑时点的加速度为，方向为沿斜面向下。由于杆作平动，故将惯性力系向质心简化，惯性力系的合力为，作用在质心。其受力图如图4-2（a）所示。由平衡方程，有 ， （1）所以 ， （2）所以 错因分析：杆从静止的铅垂位置开始运动后将作何种运动要加以论证。对于图4-2（a）来说，若对杆应用相对于质心的动量矩定理，可知，即，因为、均不为零。故杆不作平动而作平面运动。不加论证就断言杆作平动是错误的。正确解答：当杆从静止的铅垂位置开始运动后，杆将作何种运动？为了解答

49、这一问题，对杆应用相对质心的动量矩定理图4-2（a），有 （1）因为、均不为零。再由质心运动定理 （2）由于、均不为零，故，由式（1）可见，即运动开始时杆的角加速度，故杆作平面运动。因初瞬时系统静止，故杆的初角速度，以为基点，质心的加速度为将惯性力系向质心简化，其主矢、主矩以及主动力、约束反力如图图4-2（b）所示。由平衡方程，有 ， （3）式中，故有 （4），即 解得 由式（4），有， （5）所以 题4-3 质量为、长为的均质杆放在光滑墙棱上，在杆与铅垂墙之间夹角为且时无初速释放。试求初瞬时质心的加速度和处的约束反力。错误解答：图4-3在无初速释放瞬时，杆的角速度为零，但角加速度不为零，设其

50、沿顺时针转向。主动力，约束反力和向质心简化的惯性力系主矢、主矩如图4-3（a）所示。由平衡方程，有， （1）式中，故有 （2）而质心的加速度为 （3） ， （4）所以 错因分析：当杆在位置无初速释放时，由于棱角光滑，虽然杆相对棱角滑动速度为零，但滑动加速度不为零。杆上点相对于棱角有滑动加速度，沿杆方向。上解中认为点不但速度为零，而且加速度也为零，这实际上是把点当成定轴了，显然是不正确的。正确解答：当杆在位置无初速释放时，杆的角速度为零，但角加速度不为零。杆相对于棱角滑动的速度为零，但杆上点相对于棱角点滑动加速度不为零，因为由质心运动定理 可知，质心有沿杆方向的加速度，因此，杆上点有相对于棱角滑

51、动的加速度，以为基点，则点的加速度为， （1）以杆为研究对象，设其角加速度沿顺时针方向，主动力、约束反力以及惯性力系向质心简化的主矢和主矩如图4-3（b）所示。由平衡方程，有 ， （2）所以 ， （3）式中，故有 于是 而质心的加速度为 ， （4）所以 题4-4不等高曲柄连杆机构中，曲柄，其上作用一力偶，连杆长，滑块上作用一力。各处摩擦不计。试求平衡时与的关系。错误解答：系统具有一个自由度，取广义坐标为，给曲柄虚位移，则、两点的虚位移如图4-4所示。由虚位移原理，有 （1）曲柄可作定轴转动，故点的虚位移，而与之间，有关系 （2）由几何关系知 （3）故有 即 （4）将式（4）代入（1），得 （5

52、）所以 （6）错因分析：上解中式（3）是错误的。根据几何关系，应有而不是。由此导致式（4）、（5）、（6）都是错的。正确解答：系统具有一个自由度，取广义坐标为，曲柄可绕轴转动，其虚位移为，点的虚位移。滑块受水平滑道约束，故其虚位移沿滑道如图4-4所示。由虚位移原理，有 （1）连杆可作平面运动，故、两点的虚位移在连线上投影相等，即 其中，由几何关系可知，故有 即 （2）将式（2）代入式（1），得图4-4 因，所以，有 另解：用求解。取坐标如图4-4所示，则力的投影，于是，有 （3）点的坐标为 ， （4）因、之间的高差为常数，故有 求变分，有 所以 （5）将式（4）、（5）代入式（3），有得 题4

53、-5 在图示的铰接四边形机构中，。在重为的均质杆上有一与杆铰接的套筒。杆的端连接一刚度系数为的弹簧，并知当时弹簧为原长。在杆上作用一力偶。试求平衡时的大小。错误解答：图4-5给杆虚位移，则点的虚位移，套筒的也即杆的虚位移为 而 ，弹簧的弹性力 （1）由虚位移原理，有 （2） 即 或 （3） ，故得 错因分析：上解中将杆的重力的虚功漏掉了。弹性力的计算式1是错误的。在系统处于平衡状态时，弹簧已发生了实际的变形，虚位移只是一种为约束所容许的、一切可能的无穷小位移，它不是真实发生的实位移，因此，在计算弹性力时，不能把虚位移也计算在内。正确解答：系统具有一个自由度，广义坐标取为。弹簧为非理想约束，故应

54、将其解除，代以约束反力，并将其视为主动力。弹性力为 （1）杆可作定轴转动，它的虚位移为，而点的虚位移则为。由于该结构为铰接平行四边形机构，故杆可作平动。套筒相对于杆可滑动。若以套筒为动点，杆为动系，则套筒的绝对、相对、牵连虚位移之间的关系为 （2）其中 。将式（2）在竖直方向投影，有。由虚位移原理，有即 将式（1）代入，并因，故有题4-6 平行四边形机构如图，其中。在铰、之间所连弹簧的刚度为，原长为。在杆上作用一力偶，在点作用一竖向力。各杆重不计，各处光滑，试求平衡时力偶的值。错误解答：图4-6系统具有一个自由度，广义坐标取为。弹簧为非理想约束，应将其解除，代以约束反力，并将其视为主动力。弹性

55、力为 （1）取坐标轴如图4-6所示。各力在轴上的投影分别为 ，各力作用点的坐标及其变分分别为，由虚位移原理，有 （2）即 ，将式（1）代入上式，所以有 （3）错因分析：功的分析表达式是在惯性参考系中导出的，只在惯性参考系中适用，也就是说，式中的坐标、都是对于惯性参考系的。虚位移原理的分析表达式应同样只在惯性参考系中适用，也即，式中的坐标、都应是对于定坐标系写出的。故而在应用虚位移原理的分析表达式时，必须先建立坐标系而且必须是固定不动的坐标系。上解中所取坐标系中，轴是可动的而非固定的，因此是错误的，由此导致了计算结果的错误。正确解答：系统具有一个自由度，取广义坐标为。解除属于非理想约束的弹簧，代

56、以约束反力并视其为主动力。弹性力为 （1）取坐标轴如图，各力在坐标轴上的投影分别为，各力作用点的坐标及其变分分别为，由虚位移原理的分析表达式，有 （2）即 ，所以有将式（1）代入上式，得题4-7 在图示平面机构中，。在图示位置水平，且、在同水平线上。在上作用一力偶，在滑块上作用一力。试求平衡时，力偶与力的关系。错误解答：杆、可作定轴转动，杆可作瞬时平动，杆、可作平面运动。给杆虚位移，则、两点的虚位移相等，因杆的瞬心与杆的转轴重合，且，故，于是，点虚位移为 （1）由虚位移原理，有 即 （2）因，所以有 （3）错因分析：上解中式（1）是错误的。因为刚体作平面运动时，速度投影定理讲的是，平面运动刚体

57、上任何两点的速度在两点连线上投影相等。对于可作平面运动刚体上两点虚位移的投影，也应按此定理计算。式（1）是将、两点的虚位移在水平方向投影相等而得到两点虚位移之间的关系，显然是错误的。正确解答：图4-7系统具有一个自由度，、点的虚位移如图4-7所示。因为只有一个虚位移是独立的，故必须建立各虚位移之间的关系。杆可作定轴转动，给虚位移，则点的虚位移为。杆可作瞬时平动，故其上任一点的虚位移均相等，即 杆可作平面运动，其瞬心恰与杆的转轴重合。设杆绕瞬心转动的虚位移为，则有 但 杆可作定轴转动，设其绕转轴转动的虚位移为，则有 由此可见，而点虚位移为 杆可作平面运动，其上、两点的虚位移在、两点连线上投影相等

58、，即，由虚位移原理，有即 ，题4-8 图示滑轮系统悬吊质量均为的、三个物块，且滑轮与绳的质量不计，试求各物块的加速度。错误解答：图4-8设物块、的加速度、向下，由几何关系可知块的加速度为 （1）方向向上。、三点的虚位移为、，因系统具有两个自由度，故只能有2个独立虚位移，设为、，则点的虚位移为 （2）如图4-8所示。由动力学普遍方程，有即 或 （3） 因为 、彼此独立，故欲使式（3）成立，必有 、前面的系数为零，于是，有 （4） （5）由式（5），有，代入式（4），得因，所以因，所以 错因分析：上解中物块的加速度式（1）和虚位移式（2）都是错误的。由此便导致了计算结果的错误。因为绳长为常量，由图

59、4-8所示坐标可知，其约束方程为 （6） 上式对时间求二阶导数，得 将式（6）求变分，得 由此可见，上解中式（1）、（2）是错误的。正确解答：系统具有两个自由度，广义坐标取为、。因为绳长为常量，故有约束方程 上式对时间求二阶导数，得或 即 或将上述约束方程求变分，得 惯性力、主动力如图4-8所示。由动力学普遍方程，有 或 因为 、是彼此独立的，且均不等于零，故欲使上式得以满足，只有 、前面的系数同时为零，于是，有 （7） （8）由式（7），得由式（8），有 （9）但的大小为，所以，有代入式（9），得，所以 题4-9 质量为、半径为的均质圆盘，其边缘上的点处系一长为的绳，绳端悬吊一质量也为的小球

60、（不计尺寸），试写出系统的运动微分方程。错误解答：系统具有两个自由度，广义坐标为、。因为作功的力为有势力，故系统是保守的。系统的动能为 其中 （1）图4-9如图4-9所示。故有 （2）取点为势能的零位，故系统的势能为 拉格朗日函数为 由拉格朗日方程，有 （3） （4）代入拉格朗日方程之中，有即 （5）由拉格朗日方程，有 （6） （7）代入拉格朗日方程，有 （8）错因分析：1计算动能时，点速度计算是错误的。因为点的速度应以广义速度、来表示，而广义坐标、的正向已取定，故、应与、正向一致，上解中式（1）将的正向取反了，故式（1）是错误的，由此导致了一系列的错误。2上解中式（3）计算有误。因为将对时间