最全的天体做椭圆运动的解题方法和技巧

1、第 页共3页天体做椭圆运动的解题方法和技巧张阿兵必备的理论知识1GMm（1）机械能守恒定律：运动天体的动能E=牙mv2，引力势能E=-（选无穷远处为势能零点，M为中心天体的质量）。k2pr不管运动天体绕中心天体做匀速圆周运动还是椭圆运动，运动过程中这两项能量的总和保持不变。（2）动量守恒定律：常在运动天体变轨问题中用到，如沿运动方向喷出一定质量的气体。喷气前后系统动量守恒。（3）角动量守恒定律：角动量也可称动量矩，质量为m的物体绕某点0转动时，在离该点距离r处的角动量大小是L二rnvrsin申，其中申是速度与矢径r的夹角。在天体的运动轨道上（一般用于椭圆轨道，因为圆周运动不必要这样处理）任选两

2、个位置角动量相等。注意：考虑到高中不涉及角动量守恒定律，所以该条用开普勒第二定律代替。（4）开普勒三定律：第一定律：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。（等同于角动量守恒）第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。（5）认识椭圆如图：椭圆面积s=兀ab天体做椭圆运动时最常用的机械能守恒和开普勒第二定律（角动量守恒）的方程组（最好能熟练求解）应用：例1:关于近地点和远地点速度的求解：GMm1GMm解法1（能量法）：机械能守恒有：厅加叩=厅mv221a-c22a+c开普勒

3、第二定律：在近日点、远日点附近取极短时间At，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，如图中阴影部分。根据开普勒第二定律，这两部分面积相等：2*At.V（a-c）=*At-v2（a+c）（V为近日点速度，v2为远日点速度）（由于AtT0所以，这两部分可视为扇形）联立得:(a+c)GMv=1(a-c)a(a-c)GM(a+c)a解法2（轨迹方程法）：该解法的指导思想是对椭圆的轨迹方程求导,并结合一般曲线的曲率半径通式求出近日点和远日点的曲率半径表达式，然后利用万有引力提供向心力列方程求解.如图1所示，椭圆的轨迹方程为兰+丈_=1Mfl;r式娈檢为“寸=屮仇根据隐函建的求导法对止求导有即.白

4、*再次对里求辱碍2aK4-2isy0.根据曲率半袂公式1=O1产掙1J在AM熾点H星运行逵境方向与万冇引山方向垂直.万有引力貝政变速度方向，并不改变建度大小，战分别根抵万有引力提供向心力得tn码佃一沖Re*联立可得n拓展:GMm2r开普勒第二定律：叽sin忙fsin出例：2:地球绕太阳做椭圆运动，已知轨道半长轴为a,半短轴为b,GMm1GMm解：对于顶点,2有：Am=2=-mv221ac22a+cv(a一c)=v(a+c)12试求地球在椭圆轨道各顶点处的速度大小。设太阳的质量为M对于顶点1,3有：V1(a一c)二叩椭圆轨道周期的两种常用计算方法(1)找一个匀速圆周运动(绕同一中心天体)与之比较

5、，应用开普勒第三定律求解。(2)应用开普勒第二定律，利用面积速度和椭圆面积公式根据能量判断轨道特点的办法总机械能已0,应该是椭圆轨道：总机械能E0,应该是双曲线轨道；总机械能E=0，应该是抛物线轨道。例3：飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。若飞船要返回地面,可在轨道上的某一点A处将速率降低到适当数值,从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆与地球表面在B点相切，如图1所示。若地球半径为R,求飞船由A点到B点所需要的0时间。解析:圆轨道是离心率为零的特殊的椭圆轨道。飞船绕地球做圆周运动时，有:R=k设飞船椭圆轨道的半长轴为a,运行周期a3为T，则有=k，0T20从图中有:)3所以

6、:解得：T0巴(汽)3R32T(R+R)T则飞船从A到B用时:t=024R0例4：空间站和宇宙飞船对接在一起以半径R绕地球做圆周运动,某时刻飞船在A处脱离空间站，并沿原来的速度方向加速，加速后飞船进入一椭圆轨道，空间站仍在圆轨道运动。若飞船在椭圆轨道上运行一周后恰好又能在A处与运行了N圈的空间站对接。试求:飞船在椭圆轨道的远地点的速度大小。已知地球质量为M。解析：设空间站做圆周运动的周期为T,飞船做椭圆运动的周期为T,远地点距离地心为r。对空间站有：0TOC o 1-5 h z小Mm2兀G=m2Rco= HYPERLINK l bookmark32 o Current Document R2T由开普勒第三定律有：R3a3R+R HYPERLINK l bookmark46 o Current Document =a=0- HYPERLINK l bookmark50 o Current Document T2T220空间站的圆周运动与飞船的椭圆运动的周期关系为：NT=T0设飞船在