【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第一章1.1.3 四种命题间的相互关系讲解与例题 新

1、 word1.1.3 四种命题间的相互关系问题导学一、四种命题的概念与形式活动与探究 1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)若a 5是有理数，则a是无理数；(2)若ab0，则a，b中至少有一个为零；(3)垂直于同一平面的两条直线平行迁移与应用1命题“若 ，则 tan 1”的逆否命题是(4)A若 ，则 tan 14B若 ，则 tan 14C若 tan 1，则4D若 tan 1，则42写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后

2、写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论(3)对于一些关键词语如“至少”“至多”“”“”“都”等的否定要注意改写正确二、四种命题的真假活动与探究 2已知下列命题：“若ab，则acbc”的逆命题；22“若两个角是对顶角，则这两个角相等”的否命题；a“若a1，则函数f(x) 在(0，)上为减函数”的逆否命题；x“若xy5，则x2且y3”的否命题其中为真命题的是(A BC)D迁移与应用1有下列四个命题：“若bac，则a，b，c成等比数列”的否命题；2“若m2，则直线xy0 与直线 2xmy10

3、平行”的逆命题；“已知a，b是非零向量，若ab0，则a与b方向相同”的逆否命题；“若x3，则xx60”的逆否命题2其中为真命题的个数是(A1 B22判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命)C3D41 / 5 题的真假(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数 yax bxc 中，b 4ac0，则该二次函数图象与 x 轴有公共点；22(3)在ABC 中，若 ab，则AB三、等价命题的应用活动与探究 3判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x (2a1)xa 20 的解集不是22空集，则 a1”的逆否命题的真假迁移与应

4、用设 a，b，c 为三个人，命题 A：“如果 b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”和命题B：“如果 c 的年龄不是最小，那么 a 的年龄最大”都是真命题，则 a，b，c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，进而1结论 条件 互逆命题 逆命题 若 q，则 p 条件的否定 结论的否定 否命题若 p，则 q 结论的否定 条件的否定 逆否命题 若 q，则 p预习交流 1 (1)提示：逆命题：若 a 4，则 a2；2否命题：若 a2，则 a 4；2

5、逆否命题：若 a 4，则 a22预习交流 3 (1)提示：具有互为逆否关系的两个命题，它们的等价性可以从集合的角度给出恰当的解释，设Ax|xp ，Bx|xq，其中 p，q 是集合 A，B 的特征性质若A B，则意味着对于元素 x 具有性质 p 必具有性质 q，所以可认为 A B 与“若 p，则 q”等同，具有同真同假性由 Venn 图易发现有下面结论：A B 与( B) ( A)等价，如图所II示，也就说明“若 p，则 q”与“若 q，则 p”是等价的解：(1)逆命题：若 a 是无理数，则 a 5是有理数；否命题：若 a 5不是有理数，则 a 不是无理数；2 / 5 word逆否命题：若 a

6、不是无理数，则 a 5不是有理数(2)逆命题：若 a，b 中至少有一个为零，则 ab0；否命题：若 ab0，则 a，b 都不为零；逆否命题：若 a，b 都不为零，则 ab0(3)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面迁移与应用 1C 解析：命题“若 ，则 tan 1”的逆否命题是“若 tan41，则 ”42解：(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实

7、数(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线活动与探究 2 思路分析：先正确地写出对应的命题，再进行判断，或根据互为逆否命题同真或同假进行判断C 解析：逆命题是“若 ac bc ，则 ab”，是真命题；22否命题是“若两个角不是对顶角，则这两个

8、角不相等”，是假命题；易知原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题；“若 xy5，则 x2 且 y3”的逆命题为“若 x2 且 y3，则 xy5”，易知逆命题为真命题，故否命题为真命题迁移与应用 1B 解析：易知为真命题；当 a(0,1)，b(1,1)时，ab0，但 a 与 b 不同向，所以原命题为假命题，故为假命题；中逆否命题为“若 x x60，2则 x3”，易知为假命题2解：(1)该命题为真命题逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真命题否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真命题逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真命题(

9、2)该命题为假命题当 b 4ac0 时，二次方程 ax bxc0 没有实数根，因此22二次函数 yax bxc 的图象与 x 轴无公共点2逆命题：若二次函数 yax b xc 的图象与 x 轴有公共点，则 b 4ac0，为假命题22否命题：若在二次函数 yax bxc 中，b 4a c0，则该二次函数图象与 x 轴没有22公共点，为假命题逆否命题：若二次函数yax bxc 的图象与 x 轴没有公共点，则b 4ac0，为假22命题(3)该命题为真命题逆命题：在ABC 中，若AB，则 ab，为真命题否命题：在ABC 中，若 ab，则AB，为真命题逆否命题：在ABC 中，若AB，则 ab，为真命题活

10、动与探究 3 思路分析：解法一：分析已知命题，写出逆否命题，再判断真假；解法二：先判断原命题的真假，再判断逆否命题的真假解法一：原命题的逆否命题：已知 a，x 为实数，若 a1，则关于 x 的不等式 x (2a21)xa 20 的解集为空集23 / 5 真假判断过程如下：抛物线yx(2a1)xa2 开口向上，(2a1) 4(a2)4a72222若a1，则 4a70抛物线yx(2a1)xa2与x轴无交点2222解法二：先判断原命题的真假a，x为实数，且关于x的不等式x(2a1)xa20 的解集不是空集，22(2a1) 4(a2)0，2274a70，得a ，从而a1 成立4原命题为真命题又原命题与

11、其逆否命题等价，逆否命题为真命题迁移与应用解：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看1命题“若ABA，则ABB”的否命题是(A若ABA，则ABB)B若ABB，则ABAC若ABB，则ABAD若ABA，则ABB答案：A 解析：命题“若p，则q”的否命题为“若 p，则 q”，故 A 正确2如果命题“若p，则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是(A若p，则qB若 p，则 q)C若 q，则 p答案：B 解析：原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，从而 B 正确3命题“若x1，则1x1”的逆否命题是()2A若x1，则x1或x12B若1x1，则x12C若x1或x1，则x12D若x1或x1，则x12答案：D 解析：改写逆否命题时，注意“”，“且”的否定分别是“”，“或”4若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是_答案：互逆命题 解析：设命题p为“若m，则n”，命题q为“若 m，则 n”，命题r为“若 n，则 m”q与r是互逆命题逆命题：若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数，是真命题否命题：若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数，是真命题逆否命题：若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数