数学选修23知识点总结

1、、知识结构第二章概率总结超几何分布离散型随机变量随机变量二项分布离散型随机变量的数字特征数学期望方差正态分布，连续性随机变量条件概率事件的独立性、知识点1随机试验的特点:试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.2分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用大写字母X、丫等或希腊字母E、n等表示。）离散型随机变量连续型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取

2、的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出3离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为X1,X2,Xi,XnX取每一个值xi(i=1,2,)的概率P(E=Xi)=Pi,则称表XXIX2XieePPiP2*piitPn为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列性质：pi0,i=1,2,;pi+p2+pn=1.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和4求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛

3、中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3因此所求分布列为：X10P0.703引出X10Pq如果随机变量X的分布列为：二点分布其中0vpv1,q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等超几何分布一般地，设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(nWN)件，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，CkCk则它取值为k时的概率为P(

4、X二k)二M(k=0,i,2,|,m)，其中m=minM,n,N且nN,M3）=P（X二3）P（X二4）P（X二5p1051051052030C30C30答：中奖概率为0.191.条件概率1定义：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率事件的交(积)：由事件A和事件B同时发生所构成的事件D，称为事件A与事件B的交(或积作D=AnB或D=AB条件概率计算公式：P(B|A)=P(AB)P(A),P(A)0.P(B|A)相当于把A看作新的基本事件空间,求AnB发生的概率公式推导过程P(B|A)在A发生的条件下B包含的样本点数

5、在A发生的条件下样本点数AB包含的样本点数_AB包含的样本点数/总数A包含的样本点数-A包含的样本点数/总数P(AB)P(A)若P(A)0,则P(AB)=P(B|A)P(A)(乘法公式)；0乞P(B|AM1.解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率解：设A=第一个取到次品，B=第二个取到次品，-P(AB)C1015P(A)=310所以，P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/9答：第二个又取到次品的概率为2/9.相互独立事件1定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立说明(1

6、)判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A(或B)发生与否对B(或A)发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响说明(1)使用时，使用的前提条件；(2)此公式可作为事件是否相互独立论依据，P(AB)=P(A)P(B)：B相互独立的充要条如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与也都相互独立相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有P(AB)=(A)P(B)如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事

7、件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。即：P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)则称A，B相互独立两事件是否互为独立事件的判断与证明P(AB)二P(A)P(B)解题步骤例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A，“第二个取出的是白球”为事件B，试问A与B是不是相互独立事件？答：不是，因为件A发生时(即第一个取到白球)，事件B的概率P(B)=1/3，而当事件A不发生时(即第一个取到的是黑球)，事件B发生的概率P(B)=2/3，也就是说，事件A发生与否影响到事件B发生的概率，所以A与B不是相互独立

8、事件。证明：由题可知，P(B|A)=1/3，P(B|A的补集)=2/3因为P(B|A)工P(B|A的补集)所以A与B不是相互独立事件独立重复试验定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验说明：这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中的概率都是一样的每次试验是在同样条件下进行；每次试验间又是相互独立的，互不影响.前提二项分布1.引入:一般地，如果在1次实验中某事件A发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(k)二kkCnp(1P(A)Pn(k)是(1-P)+Pn的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.2.二项

9、分布定义：设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数E是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中P(g01*k11pCoOnCnpqC1p1qz*kkn-kCnpqfl&n0Cnpqkknk二k)二6pq(其中k=0,1,n，q=1-p)于是可得随机变量E的概率分布如下:kkn-k由于Cnpq恰好是二项展开式nOn1n1.(ab)9心CnabGabGbrn-rr中的第k+1项，所以，称这样的随机变量E服从二项分布，记作匕B(n，p)，其中n，p为参数，并记：Ckkn-knPq二B(k;n,p)解题步骤例题、某厂生产

10、电子元件，其产品的次品率为5%现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数E的概率分布.解：依题意，随机变量EB(2,5%).二P(E=0)=C(95%)2=0.9025,P(E=1)=C；(5%)(95%)=0.095,2P(E=2)=C2(5%)2=0.0025.因此，次品数E的概率分布是E012P0.90250.0950.0025几何分布1.定义:在独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试验次数E也是一个取值为正整数的随机变量。“E=k”表示在第k次独立重复试验时事件A第一次发生。如果把第兰次实验时事件A发生记为Ak，p(Ak)=p，事件A不发生记为兀，P(兀)=q(q=1-p)

11、，那么P(k)=P(AAAAA)=P(A)P(A2)p(A3)P(Ak)P(Ak)kJk4FP)P=qp(k=0,1,2,q=-p.)于是得到随机变量E的概率分布如下:E123kPppqpq2pqk-1称E服从几何分布，并记g(k,p)=pqk-1离散型随机变量的期望和方差般地，若离散型随机变量E的概率分布为X2XipP1P2VVVPiVV则称EE=x1p1+x2p2+xnpn+为E的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望是离散型随机变量说明：(1)数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平一般地，在有限取值离散型随机变量E的概率分布中，令p仁p2=pn,则有p仁p2=p

12、n=，EE=(x1+x2+xn)，所以E的数学期望又称为平均数、均值随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：前者是常数，不依赖样本抽取；后者是一个随机变量22222DE=(xi-EE)Pi+(X2-EE)P2+(Xn-EE)Pn+=E(EEE=EE(E叫随机变量E的均方差，简称方差。说明：、DE的算术平方根VDE随机变量E的标准差，记作(TE;、标准差与随机变量的单位相同；稳定与波动，集中与分、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的散的程度。方差DE=pq，q=1-pD(X)=np(1-p)*(N-n)/(N-1)不要求DE=qEE=npq，q=1-p集中分布的期望与方差一览期望两点分布EE=p超几何分布M服从参数为N,M,n的超几何分布E=n卞二项分布“厂/、EE=npEB(n,p