高中数学必修5配北师版-课后习题Word版-第二章　解三角形§1　1.2　余弦定理

1、1.2余弦定理A组1.在ABC中,已知a=2,b=3,cos C=13,则边c长为()A.2B.3C.11D.17解析因为c2=a2+b2-2abcos C=22+32-22313=9,所以c=3.答案B2.在ABC中,若C=60,c2=ab,则三角形的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形解析因为在ABC中,C=60,c2=ab,所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=ab,所以a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形,故选C.答案C3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a-12bsin A=(b+c)(sin

2、C-sin B),则cos C=()A.-12B.12C.-14D.14解析在ABC中,a-12bsin A=(b+c)(sin C-sin B).由正弦定理可化成a-12b a=(b+c)(c-b),a2+b2-c2=ab2,由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab=14.答案D4.在ABC中,若a=1,B=45,SABC=2,则ABC外接圆的直径为()A.43B.6C.52D.62解析因为SABC=12acsin B=12csin 45=24c=2,所以c=42.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=1+32-214222=25,所以b=5.所以ABC外接圆直径2R=bs

3、inB=52.答案C5.已知在ABC中,a比b大2,b比c大2,最大角的正弦值是32,则ABC的面积是()A.1534B.154C.2134D.3534解析因为a=b+2,b=c+2,所以a=c+4,A为最大角,所以sin A=32.又ABC,所以A=120,所以cos A=-12,即b2+c2-a22bc=-12,所以(c+2)2+c2-(c+4)2=-c(c+2),解得c=3.所以a=7,b=5,c=3,A=120.SABC=12bcsin A=125332=1534.答案A6.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cos B=14,则c=.解析因为cos

4、B=14,由余弦定理得42=a2+(2a)2-2a2a14,解得a=2,所以c=4.答案47.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=120,c=5,a=7,则sinBsinC=.解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即49=b2+25+5b,解得b=3或b=-8(舍去).所以sinBsinC=bc=35.答案358.已知在ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则BABC=.解析在ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,则BABC=cacos B=caa2+c2-b22ac=12(a2+c2-b2)=12(52+72-62)=19.答案199.设ABC

5、的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=79.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解(1)由b2=a2+c2-2accos B,得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=79,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在ABC中,sin B=1-cos2B=429,由正弦定理得sin A=asinBb=223.因为a=c,所以A为锐角,所以cos A=1-sin2A=13.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=10227.10.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且

6、2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.解(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc,故cos A=-12,又A(0,),A=23.(2)由(1)中a2=b2+c2+bc及正弦定理可得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C,即322=sin2B+sin2C+sin Bsin C=(sin B+sin C)2-sin Bsin C,又sin B+sin C=1,得sin Bsin C

7、=14,从而sin B=sin C=12.0B3,0C3,B=C.ABC是等腰钝角三角形.B组1.在ABC中,若ABC的面积S=14(a2+b2-c2),则C=()A.4B.6C.3D.2解析由S=14(a2+b2-c2),得12absin C=142abcos C,所以tan C=1,又C(0,),所以C=4.答案A2.在ABC中,若sin A-sin Acos C=cos Asin C,则ABC的形状是()A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析由正弦定理、余弦定理,知sin A-sin Acos C=cos Asin C可化为a1-a2+b2-c22ab=b2+c2

8、-a22bcc,整理,得a=b,所以ABC是等腰三角形,选B.答案B3.已知ABC各角的对边分别为a,b,c,满足ba+c+ca+b1,则角A的范围是()A.0,3B.0,6C.3,D.6,解析将不等式ba+c+ca+b1两边同乘以(a+c)(a+b)整理得,b2+c2-a2bc,所以cos A=b2+c2-a22bcbc2bc=12,所以00知,C为锐角,所以cos C=18.(2)由CBCA=52,得abcos C=52,即ab=20.又因为a+b=9,则a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41.由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=41-22018=36,故c=6.8.在ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-23x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.(1)求C的大小;(2)求AB的长;(3)求ABC的面积.解(1)cos C=co