几何探究型问题与二次函数综合问题-2021年中考数学真题分项汇编 (湖北专用)

1、猜想发现：由5525510；11专题07几何探究型问题与二次函数综合问题1（2021湖北鄂州市中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题1122；0.40.420.40.40.8；3333311111115252；0.23.220.23.21.6；25528282猜想：如果a0，b0，那么存在ab2ab（当且仅当ab时等号成立）猜想证明：2ab0当且仅当ab0，即ab时，a2abb0，ab2ab；当ab0，即ab时，a2abb0，ab2ab综合上述可得：若a0，b0，则ab2ab

2、成立（当日仅当ab时等号成立）猜想运用：（1）对于函数yx1x0，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？x变式探究：（2）对于函数y1x3xx3，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图设每间离房的面积为S（米2）问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？【答案】（1）x1，函数y的最小值为2；（2）x4，函数y的最小值为5；（3）每间隔离房长为72米，宽为21147米时，S的最

3、大值为816米2【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为y1x33，再根据材料中方法计算即可；x3拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可【详解】猜想运用：x0，10，xyx112x2，xx当x1x时，ymin2，x30，y1x332x335，此时x21，只取x1，即x1时，函数y的最小值为2变式探究：x3，x30，11x3x3x3当1x3时，ymin此时x321，5，x4，x122（舍去），即x4时，函数y的最小值为5.拓展应用：设每间

4、隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，依题意得：9x12y63，即3x4y21，3x0，4y0，3x4y23x4y，即2123x4y，整理得：xy14716，147即S，16当3x4y时Smax14716，此时x721，y，28721147即每间隔离房长为米，宽为米时，S的最大值为2816米2【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题（22021湖北襄阳市中考真题）在ABC中，ACB90，沿AD折叠得到AED，连接BE（1）特例发现：如图1，当m1，AE落在直线

5、AC上时，求证：DACEBC；ACBCm，D是边BC上一点，将ABD填空：CDCE的值为_；（2）类比探究：如图2，当m1，AE与边BC相交时，在AD上取一点G，使ACGBCE，CG交AE于点H探究CGCE的值（用含m的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用：在（2）的条件下，当m2，D是BC的中点时，若EBEH6，求CG的长2【答案】（1）见解析；1；（2）【分析】CGCEm，见解析；（3）CG2（1）根据折叠性质证明即可；当m1，证明ACDBCE，即可得出CDCE的值；（2）延长AD交BE于点F，根据折叠性质证明ACGBCE，即可得出结论；（3）由（2）可知AGCGAC2mBECEBC

6、2，设CGx，则AG2x，CE2x，BE2x，可得AGHeqoac(,)ECH，再由勾股定理列方程求解即可【详解】解：（1）证明：延长AD交BE于点F由折叠得AFB90ACBDACADCBDFEBC90ADCBDF，DACEBC当m1，即ACBC1时，可知AC=BC，在ACD和BCE中，ACDBCE90，DACEBCACBCACDBCE(AAS)，CDCE，CD1CE故答案为：1；（2）解：CGCEm理由：延长AD交BE于点F，CG由折叠得AFB90ACBADCDACBDFCBE90，ADCBDF，DACCBE，ACGBCE，ACGBCE，ACmCEBC（3）解：由折叠得AFB90，BFFE，

7、D是BC的中点，DF/CE，BECBFD90，AGCECG，GAHCEA，由（2）知ACGBCE，AGCBEC90，AGCGAC2mBECEBC2，CGD是BC的中点，BC2CD,AC2，CDDC1tanGAC，AGAC2设CGx，则AG2x，CE2x，BE2x，AGCE，GAHHEC,AHGCHE,AGHeqoac(,)ECH，AHEH，GHCH，GH1x，2在RtAGH中，由勾股定理得AHEBEH6，AG2GH23xEH，22x32x6，解得x2（负值舍去），CG2【点睛】本题为三角形综合题，考查折叠的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据折叠性质找到角

8、度之间的关系是解题的关键3（2021湖北武汉市中考真题）问题提出如图（1），在ABC和DEC中，ACBDCE90，BCAC，ECDC，点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F，线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立问题拓展如图（3），在ABC和DEC中，ACBDCE90，BCkAC，ECkDC（k是常数），点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F，直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关

9、系【答案】（1）BFAF2CF（2）见解析；问题拓展：BFkAF1k2CF【分析】（1）先证明BCEACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=2CF；（2）过点C作CGCF交BE于点G，证明ACDBCE，ACFBCG，CGF是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可【详解】问题探究（1）BFAF2CF理由如下：如图（2），BCA=ECF=90，BCE=ACF，BC=AC，EC=CF，BCEACF，BE=AF，BF-BE=BF-AF=EF=2CF；（2）证明：过点C作CGCF交BE于点G，则FCGACB90，BCGACFACBDCE90，BCEACD又ACBC，DCEC

10、，ACDBCE，CAFCBGACFBCGAFBG，CFCG，CGF是等腰直角三角形GF2CFBFAFBFBGGF2CF问题拓展BFkAF1k2CF理由如下：BCA=ECD=90，BCE=ACD，BC=kAC，EC=kCD，BCEeqoac(,)ACD，EBC=FAC，过点C作CMCF交BE于点M，则FCMACB90，BCMACFBCMeqoac(,)ACF，BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，BM=kAF,MC=kCF，BF-BM=MF，MF=MC2CF2k2CF2CF2=1k2CFBF-kAF=1k2CF【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性

11、质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键4（2021湖北随州市中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_，其内切圆的半径长为_；（2）如图1，P是边长为a的正ABC内任意一点，点O为ABC的中心，设点P到ABC各边距离分别为h，h，h，连接AP，BP，

12、CP，由等面积法，易知ahhh21231231eqoac(,S)ABC3eqoac(,S)OAB，可得hhh_；（结果用含a的式子表示）123如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h，h，12（h，h，h，参照的探索过程，试用含a的式子表示hhhhh的值参考数据：tan3634512345tan5411）8811，（3）如图3，已知O的半径为2，点A为O外一点，OA4，AB切O于点B，弦BC/OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为_；（结果保留）如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造若要将花坛形状改造成五边形ABC

13、DG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由【答案】（1）125，1；（2）32552a；a；（3）；见解析163【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；ABC的面积，再根据ahhheqoac(,S)2（2）先求得边长为a的正1123ABC3eqoac(,S)OAB解题即可；设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，过O作OQAB于Q，先由正切定义，解得OQ的长，51a1atan54，据此解，继而得到ahhhhh222由中结论知，S五边形ABCDE5eqoac(,S)OAB112345题；（3）由

14、切线性质解得OAB30，再由平行线性质及等腰三角形性质解得COB60，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；连接DF，过点E作EG/DF交AF的延长线于G点，根据S六边形ABCDEFS五边形ABCDFeqoac(,S)DGFS五边形ABCDG，据此解题【详解】1解：（1）直角三角形的面积为：346，2直角三角形斜边为：32425，1设直角三角形斜边上的高为h，则5h62h125设直角三角形内切圆的半径为r，则r1，11(345)3422故答案为：125，1；a，面积为：eqoac(,S)22

15、24（2）边长为a的正ABC底边的高为OAB3133aaa21ahhheqoac(,S)3eqoac(,S)OABa22423123ABChhh3a，123故答案为：3a；22类比中方法可知1ahhhhhS12345五边形ABCDE，设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，由得S五边形ABCDE5eqoac(,S)OAB，过O作OQAB于Q，EAB18052108，故OAQ54，OQAQtan54atan54，15121ahhhhh5aatan54，从而得到：222故1234511atan54ahhhhh12345555216（3）AB是O的切线，OBABOBA90OB2,OA4OA

16、B30AOB60BC/OAAOBOBC60OCOBOBCOCB60COB60过点O作OQBCBC/OA，OQ是COB、ABC的高，SABCSOCBS阴影部分S扇形OBC60r260423603603故答案为：23；如图，连接DF，过点E作EG/DF交AF的延长线于G点，则点G即为所求，连接DG，SEG/DF，六边形ABCDEFS五边形ABCDFeqoac(,S)DEF，eqoac(,S)DEFeqoac(,S)DGF，S六边形ABCDEFS五边形ABCDFeqoac(,S)DGFS五边形ABCDG【点睛】本题考查正多边形和圆的知识，涉及含30角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面积公式、平行

17、线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键5（2021湖北省江汉油田（仙桃市、潜江市、天门市)）已知ABC和DEC都为等腰三角形，ABAC,DEDC,BACEDCn如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系；_；当BE/AC,AB32,AD1时，请直接写出DC的长（1）当n60时，如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）当n90时，如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；【答案】（1）BEAD；BEAD，理由见解析；（2）BE2AD，理由见解析；5【分析】（2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得ACBDCE45,BC

18、（1）先根据等边三角形的判定与性质可得ACBC,ECDC，再根据线段的和差即可得；先根据等边三角形的性质可得ACBDCE60，从而可得BCEACD，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得出结论；AC，从而可得ECDCBCEACD，再根据相似三角形的判定可得BCEACD，然后根据相似三角形的性质即可得出结论；设AB与EC交于点O，先根据（2）的结论可得AC32,BE2，再根据相似三角形的判定与性质可得OAAC3292，从而可得OB,OAOBBE44，然后利用勾股定理、线段的和差可得在BCE和ACD中，BCEACD，ECDCECOCOE52，最后在RtDEC中，解直角三角形即可得【详解】解：（1）

19、当n60时，BACEDC60，ABC和DEC都为等腰三角形，ABC和DEC都为等边三角形，ACBC,ECDC，ACDCBCEC，即BEAD，故答案为：BEAD；BEAD，理由如下：ABC和DEC都为等边三角形，ACBC,ECDC,ACBDCE60，ACBBCDDCEBCD，即ACDBCE，BCACBCEACD(SAS)，BEAD；（2）当n90时，BACEDC90，ABC和DEC都为等腰直角三角形，ACBDCE45，ACBACEDCEACE，即BCEACD，设ABACa(a0),DEDCb(b0)，则BCAB2AC22a,ECDE2DC22b，BC2aaACEC2bbDC，BEBCAC在BCE

20、和ACD中，ECDC，BCEACDBCEACD，BC2a2，ADACa即BE2AD；如图，设AB与EC交于点O，AB32,AD1，ACAB32,BE2AD2，设OBx(x0)，则OAABOB32x，BE/AC，AOCBOE，OBEOAC90，OAAC32x32，即OBBEx2，解得x324，OB3292,OA44在RtAOC中，OC，AC2OA21524，在RtBOE中，OEBE2OB2ECOCOE52，524，则在RtDEC中，DCECcosDCE52225【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（2），正确找出相似三角形是解题关键6

21、（2021湖北黄石市中考真题）抛物线yax22bxb（a0）与y轴相交于点C0,3，且抛物线的对称轴为x3，D为对称轴与x轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若DEF是等腰直角三角形，求DEF的面积；（3）若P3,t是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）【答案】（1）yx26x3；（2）4；（3）PQ6t(t6)2t6(t6)11234t11(t)22【分析】（1）与y轴相交于点C0,3，得到b3，再根据抛物线对称轴，求得a1，代入即可（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于

22、E、F两点，可知E、F两点关于对称轴对称，DEF是等腰直角三角形得到FED45，设E(m,n)(n0)，根据等腰直角三角形的性质求得E点坐标，从而求得DEF的面积（3）Q(p,q)(q6)，根据距离公式求得PQ2q2(2t1)qt26，注意到q的范围，利用二次函数的性质，对t进行分类讨论，从而求得PQ的最小值【详解】解：（1）由抛物线yax22bxb（a0）与y轴相交于点C0,3得到b3抛物线的对称轴为x3，即2b2a3，解得a1抛物线的方程为yx26x3（2）过点E作EMAB交AB于点M，过点F作FNAB，交AB于点N，如下图：DEF是等腰直角三角形DEDF，FED45又EFx轴EDM45E

23、MD为等腰直角三角形EMDM设E(m,n)(n0)，则M(m,0)，DM3m,EMnn3m又nm26m33mm26m3m27m60解得m1或m6当m1时，n2，符合题意，DMEM2,MN4S2DEF1MNEM4当m6时，n30，不符合题意综上所述：SDEF4（3）设Q(p,q)(q6)，Q在抛物线上，则qp26p3PQ2(p3)2(qt)2p26p9q22tqt2将qp26p3代入上式，得PQ2q2(2t1)qt26当t112t1时，226，q6时，PQ2最小，即PQ最小PQ=t611PQ23612t6t26t212t36(t6)2t6(t6)6t(t6)2当t112t12t16，q时，时，P

24、Q2最小，即PQ最小222PQ2234t234t，PQ42综上所述PQ6t(t6)2t6(t6)11234t11(t)22【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公式等知识，熟练掌握距离公式和对代数式的计算是解决本题的关键7（2021湖北荆州市中考真题）小爱同学学习二次函数后，对函数yx12进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：写出该函数的一条性质：_；方程x121的解为：_；x12若方程a有四个实数根，则a的取值范围是_将函数yx12的图象经过怎样的平移可得到函数y3的图象？写出

25、平移过程，并（2）延伸思考：21象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数y3的图象，当直接写出当2y3时，自变量x的取值范围1x1【答案】（1）关于y轴对称；x2,x0,x2；1a0；（2）将函数y2的图123212y3时，自变量x的取值范围为0 x2或2x41【分析】（1）根据函数图象可直接进行作答；由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则可看作直线y=-1与函数yx12的图象交点问题，进而问题可求解；由题意可看作直线y=a与函数yx12的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题【详解】解：（1）

26、由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）；故答案为关于y轴对称；x1由题意及图象可看作直线y=-1与函数y2的图象交点问题，如图所示：方程x121的解为x2,x0,x2；123故答案为x2,x0,x2；123由题意可看作直线y=a与函数yx12的图象有四个交点的问题，如图所示：x1由图象可得若方程2a有四个实数根，则a的取值范围是1a0；数y3的图象，则平移后的函数图象如图所示：故答案为1a0；x1（2）由题意得：将函数y2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函21由图象可得：当2y3时，自变量x的取值范围为0 x2或2x41【点睛】本题主要考查二次函数

27、的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键8（2021湖北鄂州市中考真题）如图，直线y3x6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点为线2段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）（1）请直接写出点A、点B、点的坐标；（2）连接PQ，在第一象限内将OPQ沿PQ翻折得到EPQ，点O的对应点为点E若OQE90，求线段AQ的长；（3）在（2）的条件下，设抛物线yax22a2xa3a1a0的顶点为点C若点C在PQE内部（不包括边），求a的取值范围；在平面直角坐标系内是否存在点C，使CQCE最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由A0,6，B4,0，P2,3；（2）1

28、；（3）2a4；存在，16,19【答案】（1）33【分析】（1）令x=0，令y=0分别代入y32x6，即可得到A，B的坐标，结合中点坐标公式，求出P的坐标，即可；（2）过点作PFOA于F，易得OQP45，QFPF，又点P2,3，可得QFPF2，OF3，进而即可求解；（3）把二次函数解析式化为顶点式，可得顶点C的坐标为a,a1，从而得点C是直线yx1x0上一点，进而即可求解；作点Q关于直线yx1的对称点Q，连接QE交直线yx1x0于点C，则CQ=CQ，此时CQCE最大求出Q(4，1)，E(5，5)，从而得QE的解析式，进而即可求解【详解】解：（1）令x=0代入y32x6，y=6，令y=0代入y3

29、2x6，x=4，A0,6，B4,0，点为线段AB的中点，P2,3；（2）过点作PFOA于F，OQE90，OQP1OQE45，2QFPF，点P2,3，QFPF2，OF3，OQ5，点A0,6，AO6AQ651，即AQ的长为1；（3）yax22axa2a1axa2a1，其顶点C的坐标为a,a1，点C是直线yx1x0上一点，OQE90，OQ5，当y5时，x4又点P2,3在直线yx1上当点C在PQE内部（不含边）时，a的取值范围是2a4；作点Q关于直线yx1的对称点Q，连接QE交直线yx1x0于点C，则CQ=CQ，此时CQCE=CQCE=QE，CQCE最大3y4x1519yx1点C坐标为16,19答：存

30、在点C使CQCE最大，此时C的坐标为1619P2,3，Q0,5，P是QQ的中点，Q(4，1)，QEOQ，QE=OQ=5，E(5，5)，14kbk4设QE的解析式为：y=kx+b，则，解得：，55kbb15QE的解析式为：y=4x-15，16x联立，解得：，y333,33【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与平面几何的综合，掌握等腰直角三角形的性质，函数图像上点的坐标特征，利用轴对称性，作出线段差的最大值，是解题的关键9（2021湖北襄阳市中考真题）如图，直线y1x1与x，y轴分别交于B，A，顶点为P的抛物线2yax22axc过点A（1）求出点A，B的坐标及c的值；（2）若函数yax22axc

31、在3x4时有最大值为a2，求a的值；（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M设BMP的面积为S直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；结合S与a的函数图象，直接写出S1时a的取值范围80,1，B2,0，c1；（2）a1；（3）S2a2a11a2【答案】（1）A2713221a23a1a1且a0或a2；a3232且a0或a22【分析】（1）令x=0，可得直线与y轴的交点A的坐标；令y=0，可得直线与x轴的交点B的坐标，把点A的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得c的值；（2）把yax22ax1配方后，分a0和a0两种情况讨论，当3x4时，函数的最大值，根据题意可求得此时的a值；（3）设直

32、线AP交x轴于点N，易得eqoac(,Rt)AONeqoac(,Rt)MOA，由题意可求得ON的长，从而由相似的性质可求得OM，分四种情况：当a0时，当0a1时，当1a2时，分别就这些情况计算BMP的面积即可；画出函数S的图象，求得当S【详解】11时a的值，结合函数图象即可求得S时a的取值范围88（1）当x0时，y12x11得A0,1当y0时，1x10，解得x2得B2,02把A0,1代入yax22axc，得c1（2）c1yax22ax1ax121a当a0，3x4时，y随x的增大而增大当x4时，y的值最大由题意得9a1aa2解得a17当a0，3x4时，y随x的增大而减小当x3时，y的值最大由题意

33、得4a1aa2解得a12（不合题意，舍去）a17（3）P(1,1a)，A0,1直线AP的解析式为yax1设直线AP交x轴于点N，令y=0，得x1aN,0，ON1a1aOA过P点作PCx轴于点C，则PC1a当a0时，如下图所示AMAP，OAMNNAO+MAO=NAO+ANO=90eqoac(,Rt)AONeqoac(,Rt)MOAONOMOAOA=1S1OA2OMaaONOB=2BM=OB+OM=2-aPC=1-a113BMPC(2a)(1a)a2a12222S1OA2当0a1时，如下图所示，同理得：OMaa，PC=1-aONBM=OB-OM=2-a113BMPC(2a)(1a)a2a12222

34、S1OA2当1a2时，如下图所示，同理得：OMaa，PC=a-1ONBM=OM-OB=a-2113BMPC(a2)(a1)a2a12222当a=1或2时，此时MBP不存在221a23a1a1且a0或a2综上所述，S1a23a11a222画出的函数S的图象如下当1a2a1=时，解得a32或a32由图象知，当a32a32312282232且a0或a时，S12232且a0或a22【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求图形面积等知识，涉及分类讨论思想，且分类的情形比较多，数形结合思想，是一个比较难的题10（2021湖北随州市中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc与x轴

35、交于点A1,0和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为1,4yx22x3；2）P4,5，P,；3）M,，Q,；M,，224133932331Q,；M5,2，Q5,12；M2,1，Q0,3；M1,2，Q0,3；M7,4，293（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在抛物线上且满足PCBCBD，求点P的坐标；（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MNx轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标575454134（【答案】1）（11343344556Q7,186【分析】（1）由A1,0和D1,4，且D为顶点列方程求出a、

36、b、c，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：过点C作CP/BD，交抛物线于点P，在BC下方作BCFBCE交BG11于点F，交抛物线于P；2（3）QMN为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当QMMN，QMN90；当解得b2c3QNMN，QNM90；当QMQN，MQN90【详解】解：（1）将A1,0和D1,4代入yax2bxc得abc0abc4又顶点D的坐标为1,4b12aa1抛物线的解析式为：yx22x3（2）B3,0和D1,4直线BD的解析式为：y2x6抛物线的解析式为：yx22x3，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A1,0和点B，则C点坐标为0,3，B点坐标为3,0过点C作CP/BD，交抛

37、物线于点P，11则直线CP的解析式为y2x3，1结合抛物线yx22x3可知x22x32x3，CP与x轴交于点E,0，2解得：x0（舍），x4，12故P4,51过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，由OBOC可知四边形OBGC为正方形，直线CP的解析式为y2x3131在BC下方作BCFBCE交BG于点F，交抛物线于P2OCEFCG又OC=CG，COEG90OECGFCASA，F3,，FGOE33220,3可得又由C直线CF的解析式为y12x3，结合抛物线yx22x3可知x22x31x3，2故P,24解得x0（舍），x1257252，P4,5，P,224综上所述，符合条件的P点坐标为：1

38、57（3）B3,0，C0,3直线BC的解析式为yBCx3设M的坐标为m，m3，则N的坐标为m，m22m3MN=m3m22m3m23mA1,0，C0,3直线BC的解析式为yAC3x3QMN为等腰直角三角形当QMMN，QMN90时，如下图所示则Q点的坐标为m，m33QM=mm34m34m3=m23m33解得：m0（舍去），m12135，m3此时M,，Q,；M,，Q,；1545413413413393233293当QNMN，QNM90时，如下图所示，m22m3则Q点的坐标为32mm2QM=m2mm2m2m33m2m3=m23m解得：m0（舍去），m5，m2123此时M35,2，Q5,12；M2,1，

39、Q0,3；344当QMQN，MQN90时，如图所示则Q点纵坐标为1m3m22m3m2m6=m2m3Q点的坐标为1mm2，m2m31122221162216Q点到MN的距离=1151mm2mm+m26666511m+m2=m23m（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）662解得：m0（舍去），m7，m1123此时M1,2，Q0,3；M5567,4，Q7,186综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：M,，Q,；M,，Q,；1545413413413393233293M5,2，Q5,12；M2,1，Q0,3；M1,2，Q0,3；M7,4，Q7,1833445566【点睛】本题主要考查二次函数与几何图

40、形该题综合性较强，属于中考压轴题11（2021湖北宜昌市中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线yx4xn与x轴交于点A和点1Bn,0n4，顶点坐标记为h,k抛物线yx2n2n22n9的顶点坐标记为h,k11222（1）写出A点坐标；（2）求k，k的值（用含n的代数式表示）；12（3）当4n4时，探究k与k的大小关系；12（4）经过点M2n9,5n2和点N2n,95n2的直线与抛物线yx4xn，1yx2n2n22n9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值2【答案】（1）A4,0；（2）k114n22n4，kn22n9；（3）当4n2时，kk，212当2n2时，kk，当2n4时，kk，当n2或n2时，

41、kk；4）n1465121212n146521211214212142，n，n234【分析】（1）令y0，解出x即可，1（2）把函数yx4xn顶点式，即可得出结论，11，4（3）令ykk512n25，结合函数图像分类讨论即可，（2）y(x4)(xn)x2(n4)x4n(xn424（4）由题意可得：直线MN的解析式为：yx5n22n9，再根据已知条件画出函数图像分三类情况讨论，进而得出n的值；【详解】（1）yx4xn，令y0，x4xn0，11x4，xn，12A4,01)2n22n4，14k11n22n4，y(x2n)2n22n9，2kn22n92（3）k114n22n4，kn22n9，2kk时，

42、n22n4n22n9，当1412此时n2或n2，4ykk512n25由如图1图象可知：当4n2时，kk，12当2n2时，kk，12当2n4时，kk，12当n2或n2时，kk12（4）设直线MN的解析式为：ykxb，(2n9)kb5n2(1)则，2nkb95n2(2)由（1）-（2）得，k1，b5n22n9，直线MN的解析式为：yx5n22n9第一种情况：如图3，当直线MN经过抛物线y，y的交点时，12联立抛物线yx2(n4)x4n与yx24nx5n22n9的解析式可得：12(5n4)x5n22n9联立直线yx5n22n9与抛物线yx24nx5n22n9的解析式可得：2x24n1x0，则x0，x

43、14n12当x0时，把x0代入y得：y4n，111把x0，y4n代入直线的解析式得：14n5n22n9，5n22n90，n1465此时直线MN与抛物线y，y的公共点恰好为三个不同点12当x14n时，把x14n代入得：22(5n4)(14n)5n22n9，该方程判别式，所以该方程没有实数根第二种情况：如图4，当直线MN与抛物线y或者与抛物线y只有一个公共点时12当直线MN与抛物线yx2n4x4n只有一个公共点时，1联立直线yx5n22n9与抛物线yx2(n4)x4n可得，x2(n3)x5n22n90，此时0，即(n3)245n22n90，21n22n270，n121422121由第一种情况而知直

44、线MN与抛物线yx24nx5n22n9公共点的横坐标为x0，x14n，212当n12142时，14n0，xx12所以此时直线MN与抛物线y，y的公共点恰好为三个不同点12如图5，当直线MN与抛物线yx24nx5n22n9只有一个公共点，2x0，x14n，12n14，联立直线yx5n22n9与抛物线yx2(n4)x4n，1x2(n3)x5n22n90，(n3)245n22n921n22n27，当n14时，此时直线MN与抛物线y，y的公共点只有一个，12n14552121综上所述：n11461461214212142，n，n，n234【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的顶点式、一

45、次函数与二次函数的综合、数形结合思想等等，其中（4），要正确画图，并注意分类求解，避免遗漏12（2021湖北武汉市中考真题）抛物线yx21交x轴于A，B两点（A在B的左边）（1）ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上如图（1），若点C的坐标是0,3，点E的横坐标是32，直接写出点A，D的坐标；如图（2），若点D在抛物线上，且ACDE的面积是12，求点E的坐标；（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FGFH的值是定值A1,0，D,；点E的坐标是2,3（2）见解析

46、517【答案】（1）24【分析】（1）根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出A1,0，点E在抛物线上，求出纵坐标为54，再根据平行四边形的性质，求出D,；51724连CE，过点E作x轴垂线，垂足为M，过点C作CNEM，垂足为N，设点C坐标为0,n，点E坐标为m,m21，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到m21n(m1)21，再由则eqoac(,S)ACES梯形AMNCeqoac(,S)AMEeqoac(,S)CNE，列出方程求解；FGFHxxx求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线sinAFOsinBFOsinAFOBF与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点H坐标

47、为m1,m1，点G坐标为（2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用x1GHHG2,m1，再求出结果2m1【详解】（1）解：抛物线yx21交x轴于A，B两点（A在B的左边），令yx21=0，解得：x=-1,x=1，AFBF5，12A1,0，点E在抛物线上，点E的横坐标是32，y3D3D,；5()21，24四边形ACDE是平行四边形，5+1,+32451724设点C坐标为0,n，点E坐标为m,m21四边形ACDE是平行四边形，将AC沿AE平移可与ED重合，点D坐标为m1,m21n点D在抛物线上，m21n(m1)21解得，n2m1，所以C0,2m1连CE，过点E作x轴垂线，垂足为M，过点C作CN

48、EM，垂足为N则eqoac(,S)ACES梯形AMNCeqoac(,S)AMEeqoac(,S)CNE，SACDE12，A1,0，61(mm1)(2m1)(m1)m21m2m1m2111222m23m100，解得m2，m5（不合题意，舍去）12点E的坐标是2,3设直线BF解析式为ykxb，则kb0b2b2(t)24(n1)0，n1,（2）方法一：证明：依题意，得B10，F0,2，k2，解得直线BF的解析式为y2x2同理，直线AF的解析式为y2x2设直线l的解析式为ytxn联立ytxn，消去y得x2txn10yx21直线l与抛物线只有一个公共点，t24ytx1y2x2联立t24，且t2，解得，x

49、Ht24，同理，得xGt24FGFHxxx5sinAFOsinBFOsinAFOA，B两点关于y轴对称，AFOBFOx1GHHGFGFH的值为5方法二：证明：同方法一得直线BF的解析式为y2x2设直线l的解析式为ypxq，l与抛物线唯一公共点为m,m21联立ypxqy得x2pxq10，mmp，消去yx21mmq1ym1点H坐标为m1,m1同理，点G坐标为,m1p2m解得直线l的解析式为y2mxm21qm21m1y2mxm21x联立，且m1，解得2y2x2m1221m1，FGFH5555(1m)2(1m)2(1m)(1m)54422FGFH的值为5【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、

50、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题（132021湖北荆州市中考真题）已知：直线yx1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BEt（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；POA的面积为1（2）真接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；（3）若tanAOCk，经过点A的抛物线yax2bxca0顶点为P，且有6a3b2c0，2当t时，求抛物线的解析式2k2t,1t）；（3）y

51、x24x3【答案】（1）BEAB，理由见解析；（2）（2222【分析】（1）先求出点A、B的坐标，则可判断AOB是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明AOCBOE（SAS），可得OBE=OAC=45，进而可得结论；（2）作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证MOCNEO，可得CM=ON，OM=EN，由（1）的结论可得AC=BE=t，然后解等腰直角ACM，可求出AMCM2t，进而可得答案；2（3）由抛物线过点A结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x=2，然后由（2）可求出当t进一步即可求出点P的纵坐标，从而可得顶点P的坐标，于是问题可求解【详解】解：（1）BEAB，理由如下：对于

52、直线y=-x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，B（0，1），A（1，0），OA=OB=1，OBA=OAB=45，四边形OCDE是正方形，OC=OE，COE=90，AOB=90，AOC=BOE，AOCBOE（SAS），OBE=OAC=45，EBC=EBO+OBA=45+45=90，22时k=1，点E的坐标是（2即BEAB；（2）作CMOA于点M，作ENx轴于点N，如图1，则CMO=ENO=90，EON+NEO=EON+COM=90，NEO=COM，又OC=OE，MOCNEO，CM=ON，OM=EN，在ACM中，CMA=90，MAC=45，AC=BE=t，AMCM2t，2OM12t，2

53、点E在第二象限，2；t,1t）22如图1，当t2（3）抛物线过点A（1，0），a+b+c=0，6a3b2c0，消去c可得b=-4a，抛物线的对称轴是直线x=2，2时，由（2）可得AC，22AMCM12，OM111CM，22tanAOC1，即k=1，POA的面积为12，即11y，解得y1，221PPa0，顶点P的纵坐标是-1，点P（2，-1），设yax221，把点A（1，0）代入，可求得a=1，抛物线的解析式是yx221x24x3【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质以及等腰直角三角形的判定和性质等知识，具有一定的难度，熟练掌握相

54、关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键14（2021湖北恩施土家族苗族自治州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线yx2bxc经过点B，D4,5两点，且与直线DC交于另一点E（1）求抛物线的解析式；最小值为411，此时点M的坐标为1,1bc0c3（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP探究EMMPPB是否存在最小值若存在，请求出这个最小值及点M的坐标

55、；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x3；（2）存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点F的坐标为1,22或1,22或1,517或1,517；（3）EMMPPB存在最小值，54【分析】,（1）由题意易得ADAB5，进而可得A4,0，则有B10，然后把点B、D代入求解即可；（2）设点F1,a，当以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形时，则根据菱形的性质可分当BFBE时，当EFBE时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有EMMPPBDM

56、MO1，若使EMMPPB的值为最小，即DMMO1为最小，则有当点D、M、O三点共线时，DMMO1的值为最小，然后问题可求解【详解】解：（1）四边形ABCD为正方形，D4,5，ADAB5，A4,0，AO4，OB=1，,B10，164bc5把点B、D坐标代入得：，b2解得：，抛物线的解析式为yx22x3；,（2）由（1）可得B10，抛物线解析式为yx22x3，则有抛物线的对称轴为直线x1，点D与点E关于抛物线的对称轴对称，E2,5，由两点距离公式可得BE212205226，设点F1,a，当以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：当BFBE时，如图所示：由两点距离

57、公式可得BF2BE2，即1120a226，解得：a22，点F的坐标为1,22或1,22；当EFBE时，如图所示：由两点距离公式可得EF2BE2，即2125a226，解得：a517，点F的坐标为1,517或1,517；综上所述：当以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点F的坐标为1,22或1,22或1,517或1,517；（3）由题意可得如图所示：连接OM、DM，,由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，B10，OB1，DM=EM，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，PMOB1,PM/OB，四边形BOMP是平行四边形，OM=BP，EMMPPBDMMO1，若使EMMPPB的值

58、为最小，即DMMO1为最小，当点D、M、O三点共线时，DMMO1的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：D4,5，OD425241，DMMO1的最小值为411，即EMMPPB的最小值为411，设线段OD的解析式为ykx，代入点D的坐标得：k5线段OD的解析式为yx，454，M1,54【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键15（2021湖北十堰市中考真题）已知抛物线yax2bx5与x轴交于点A1,0和B5,0，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC

59、、CM（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tanACM2时，求M点的横坐标；（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MDl于D，若MD3MN，求N点的坐标【答案】（1）yx26x5；（2）6311；（3）N3,26【分析】（1）将点A1,0和点B5,0代入解析式，即可求解；（2）由tanACM2想到将ACM放到直角三角形中，即过点A作AEAC交CM的延长线于点E，即可知AEAC2，再由AOCEAC90想到过点E作EFx轴，即可得到AOCEFC，故点E的坐标可求，结合点C坐标可求直线CE解析式，点M是直线CE与抛物线交点，联立解析式即可求解；（3）过点M作L的垂线交于点D，故设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标可表示，且MD的长度也可表示，由HM/NQ可得AHMAQN即可结合两点间距离公式表示出MN，最后由MD3MN即可求解【详解】解：（1）将点A1,0和点B5,0代入yax2bx5得25a5b50b6ab50a1，解得：yx26x5（2）点A作AEAC交CM