力学参考资料竞赛理论力学部分练习题

1、力学竞赛理论力学部分练习题- 四叶玫瑰线你能一笔画岀图示曲线吗？如图所示为一四叶玫瑰曲线，其极坐标表达式为QK8S20。请你逬行分析计算和设计：写出图示四叶玫瑰线的直角坐标表达式；利用理论力学知识设计一种机构来画岀这一曲线。题2图解：(1)对于四叶玫瑰曲线p = acos2C在直角坐标系中可写成(图31)X = QCOS 0y = psin 0将q = acos2&代入上式，得利用三角函数的积化和差公式a = a cos 20 cos 0y = a cos 20 sin 0(1)cosa cos/? =cos (pi + 0)+cos 一 /?)2cosar s in /? = s ill (

2、a + 0) + sin(a 一 0)可得x = (cos 30 + cos 0) 2y = (sin 3& - sin 0)21(2)现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图32所示的行星齿轮机构，小齿轮5在固定内齿轮O内作纯滚动，其中内齿轮的半径为尺，小齿轮的半径为r画笔所在E点离 小齿轮圆心q的距离为“。随系杆OQ的转动，其点的轨迹为xE =(/? 一厂)cosO + wcos 卩yE =(/? 一厂)sin& asine代入上式可得R-r 利用小齿轮的纯滚动条件RO = r(p + 0) 9有p =0 r TOC o 1-5 h z xE = (/?-r)cos + ecos(6)rR_r

3、yE = (/?-厂)sin&-asin(0)作变换，令3 = 30,上式可改写为R_rxE = (/? 一 r)cos30 + acos(30)牙厶少=亍川+卩恣(1)2 2%：设杆受压力你，和摩擦力F ,如图Q）所示，（4,必分别为质心加速度的径向和切向分量，a为杆转动的角加速度。nAaCA CcL-Z/1 A(b)A点加速度aA = Rco21由O指向A,且A点的加速度无切向分量，而由基点法可知clc =亦 += aA + aA + aA(2)方向如图4lb所示，其中aA=a=Rco29 cA=xa.代入式(2)后,投影得a；=Rco1 一 ax 9 心=(3)根据刚体平面运动微分方程，

4、可列出macx = ma = Fmacy = 一 7& =_Fnmp a = Fnx联立求解式(3)和式(4),可得(5)(4)厂t2mp Rco：小(6)(7)(3).分析摩擦因数“应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数“应满八产二吟心巳心)Fn Rp因 |x| = |p-7?创，对处0, 2龙,有|x|e0, p9 (p欣)。则“max(X)= “S)=乡故三.小虫在转盘上爬行一光滑水平面上的圆盘，中心0用无靡擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为人。在 圆盘上尸点有一个质量为加的小虫，处于静止状态，如题（a）图所示。小虫在转盘上爬行 将引起转盘的转动。请你分析计算。（1）本问题与力

5、学中的什么内容有关系？（2）在人时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题图（b）所示时（假 设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的 角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。（江苏技术师范学院）五、小虫爬行问题解答解：（1）关键词：点的合成运动，动量矩守恒。（2）取小虫为动点，定参考系O-QN,动参考系固连在转盘上，与转盘一 起转动。根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴O的动量矩守恒。 设在时刻，0为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度），耳为小虫相对于转盘参考系

6、的速度，转盘的角速度为，F为小虫相对于定参考系的位矢，F为小虫相对于动参考系 的位矢，牵连速度耳根据点的速度合成公式，有由于系统对转轴的动量矩守恒，有在此问题中，r = r可以得到进一步有(3)(4)(5)(D +r rx vr = 0Jo+mr,2设F与耳的夹角为3,则上式可以化为mr s 八co +r vr sin 0 =0Jo + mr -所以，转盘转过的角位移为(6)将式中的叩用小虫在动参考系中爬行的路程心表示，可得转盘转过的角位移为口o+-若用极坐标描述，有r = r0)0(7)(8)从以上可知，转盘转过的角位移由小虫在动参考系中的轨迹决定。（3）当小虫爬行的轨迹为圆弧时，有O0a3

7、,则冲击力対牙一侧底边的力矩的方向均与易拉罐眶力相同，尢论冲击力有多大都不能击眺易拉罐。 为能击翻易拉罐.篮球的最低点血离地曲最大为12-(18-18sina2) = 18x6 = lO.l(cm) o布距离三*以外击中易抽罐这么小的范KIF常闲难。如果角度不乩力吊再犬也不能击 就易拉確。所以很难中这个奖。（2）假设掷出的篮球都能碰到易扌*碓，中奖的几率有多大？粗略地计笄.盜球能击翻易拉耀贯最低点离地面最大为10.1cm,而篮球能碰到易拉鍵 具最低点离地血最大为36cm假设只冇正碰时才能击卿易拉罐则每次机会部耍击翻地血 I的个易拘罐。于是中奖的几率为10.1)-x- = 0.022 = 2.2

8、%363636可见中奖的几率非常低（3）为了中奖应采取什么措施？只要击翻了地面I的三个易抽礁,伞在其I的另外三个也将翻倒。故每次机会都应脯准地面上的易拉確，投掷的角度不能太大，这样才能提高中奖的可能性。七、火车过桥建筑工程中常用的钢筋混凝上结构，在设计上希望钢筋承受拉力，混凝上承受压力。 今有一座钢筋混凝土结构的桥梁，如图（“）所示。在使用中出现了险情：列车通过时跨中 挠度超出了设计要求。有人说：这好办，只要中间部位再加一个桥墩就行。请问：（1）该问题与力学中的什么内容有关系？（2）试分析一下加桥墩方案是否可行？为什么？（列车通过时可按均布荷载考虑）（3）请你提出一个可行方案来，并说明理由。（

9、淮海工学院）解：（1）关键词：梁的弯曲变形，弯矩，超静定。（2）不可行。此结构变成如图（b）所示超静定结构，若设桥的跨度为2L载 荷集度彳，抗弯刚度为E/。则按力法求解得：B点弯矩为MR=-ql3 （上侧4受拉）。山此可见：混凝土上表面出现拉应力，这与设计上混凝土承受压力相 矛盾，所以，在中间加一桥墩的方案不可行。（3）可以考虑所加桥墩与桥底面有一间隙的办法，如图（c）所示。首先要求QS刃=儿 = 虫；其次按支座移动求解如图（d）所示。24 EI力法方程为：JUX| + Alf =-a ,得6E14EI解得：X产竽-罟M）所以：心笛+辛写一号+辛E心胳即所设计的间隙为：鵜a0),顶部暂不考虑,

10、重心C在丿轴上。、本问題与力学中的什么内容有关系？、从力学角度来看，“不倒翕”应具备的功能是什么？(3、重心C的位苣有何限制，其物理意义是什么？十六、滚动圆环的力学问题在儿童玩具不如现在丰富的过去,滚铁环不失为孩子们喜爱的一种游戏。就是现在，在欣 赏艺术体操时也常常能看到圆环左地面上滚动的情景，虽然关于滚动圆环力学问题的讨论己经 非常充分，但1986年Littlewood又提出一个新问题.車新引起了人们的注意.Littlewood的问题简述如下：在个细圆环的轮缘上固定个质点，圆环的质量忽略不计, 为圆坏在粗糙水平而I：作平而滚动时，仔没右町能解除约束而腾空跳起？设在环的轮缘上固定 个质最为乂川

11、的质点P,圆环的质量为(1-刃”八从而保证总质最 为加，试分析；、本问題与力学中的什么内容有关系？、圆环能够向匕眺起的条件(即地面对岡环的法向约束力为零的条件)。3)、法向约束力为零只是圆环离地跳起的必要条件,而圆环能否腾空还要看环心有没有 垂直向上的运动趋势，试再对圆环騰空的充分条件进行分析。十七、图示悬臂刚架的横梁上的中间有一重P的物体，与横梁之间存在摩擦角为0,今有一个人重P,向上跳力高后落在自由端处，使得重物正好产生滑动。问（1）该问题与力学中的什么内容有关？（2）物体与横梁之间摩擦因数为多少？（3）在考虑物体滑到自由端的时间时，还需要注意到什么问题？（江苏工业学院）十八、现有一个半圆

12、薄壁筒，平均半径为质心在C点，且O C = 2R处。（1）无任何汁时仪器，能否利用这个半圆薄壁筒来估算自己的脉搏跳动情况?（2）如果不能，请说明原因；如果能，请给出相应的原理。（3）为方便估算脉搏跳动次数请给出的一个数值。（江苏工业学院）十九、奇妙的舞蹈(1)(2)(3)Ao三需舞蹈演员在舞台上（当作平面上三点）组成一正三角形（边长为a）o音乐一开始，每 一演员即朝向右侧的另一演员以常速率缓y慢前进，如音乐时间足够长，问: 三名演员有没有可能相遇？如相遇，每个演员共转过多少转? 演员走过的轨迹是什么曲线？二十.神奇的圈操（中国矿业大学）艺术体操运动员有在进行圈操表演时，使圈高速转动，并在地而上

13、向前抛出，不久圈 可自动返回到运动员跟前。假左圈为均质圆环，质量为血 半径为*试对圈的运动进行分 析：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）圈的运动有几种形式？（3）需要满足什么条件，圈才能返回，其返回的速度是多少？（4）若在圈的出发点有一髙为h（ha/2）的台阶，圈与台阶发生完全非弹性碰撞，则应满足什么条件圈才能滚上台阶继续前进?血） Vo町 /彳/力丿加/图2神奇的圈操二十一、一重尸宜于有四条腿的边长为的正方形桌而上的一点（如图），求每条腿上的压 力。桌而可视为刚性。（中国矿业大学）1y肋aF3aaaN3Na二十二、设计一辆赛车，使它能在由静止发动时，获得可能的最大加速度我们假左赛车

14、的发 动机施加确定的很大的转矩于后轮，我们的问题是要确定赛车的最佳重疑分布需要考虑的 作用于赛车的外力有（1）重力：（2）轮子上支持赛车的法向力:（3）摩擦力。图示给岀了赛 车的草图。其中赛车的重心Q的髙度位置力确左,需要确左重心到后轮中心的距离。（中国矿业大学）)二十三、分析计算题：如何逃离大坑10m图8-1图8-2地而有一圆锥台形的大坑（图8-1）,见图8-2,底面直径为8m,深10m,坑壁倾角60。现 假设有两人落入坑中。（1）若人与坑壁的摩擦因数为1.0,请问两人是否可以沿坑壁爬上地面，为什么？12m（需作必要的计算儿12m图8-30= 0=图8-4图8-610m（2）如给他们两张梯子

15、（图8-3）.两个销钉（图8-4）.两块板（图8-5）和一根带 有弯钩的伸缩杆（图8-6,长约46m）。梯子两端都有圆柱形孔（孔径略大于销钉的直径）。 假设它们的质量都不计，梯子、板、坑壁之间的摩擦也不计，人与梯子、板之间有摩擦，摩 擦因数为0.8。问两人利用这些工具是否可以离开坑到达地而？要说明过程及符合哪些力学 原理。（给出2种或2种以上方法本小题才能得满分）（3）两人是否可以不借助于任何工具，各自离开坑到达地而。要说明方法和作必要的 计算。给岀一种可行方法即可。（本题人的几何尺寸不考虑）（命题人：河海大学）二十四、分析计算题边长4米的正方形房间，初始时刻四角各有一只臭虫。其中A、C为雄性

16、，B、D为雌性。 A相中了 B, B相中了 C, C相中了 D, D相中了 A。它们同时以每小时1米的速度向自己的意 中虫爬去，且眼里只有“我的那个它”。请计算：（1）多长时间后，它们能聚在一起，讨论它们之间的事。（2）当夹角为时，A虫到中点的距离n（3）在夹角为处，A虫爬行轨迹的曲率半径P。（河海大学）二十五、大家在日常生活中通常遇到这样的情景，如果没有打开瓶盖的起子，当然可用牙齿 咬开，也可以把瓶盖挨着桌子，猛击瓶盖而打开它.但这两种方法都不太好：前者不太卫生, 易损坏牙齿：后者易损坏桌子，有时甚至会击碎瓶口，使手受伤.下面的方法则较文雅也方 便.如图左手拇指紧压住瓶盖，其余四指紧握住瓶颈

17、且靠近瓶盖.右手抓住筷子的一头，另 一头夹在瓶盖与手指之间，然后右手向下用力，一般很容易就打开了瓶盖。（20分）（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）若筷子弯曲太大如何处理？（3）右手上用的力与瓶盖上所受力的关系？若右手向下用力过猛，筷子何处最易折断？二十六、一天，师傅欲检验徒弟知识的灵活应用能力，准备了半径分别为/?、r（/?）r）两齿 轮0、小齿轮可在大齿轮内作纯滚动，小齿轮上有偏心点，其偏心距为e。要求徒弟 根据给左的材料设计一套简单的机构，绘制精美的几何图形。聪明的徒弟很快领会师傅的意图，将大齿轮固左，小齿轮的偏心点处安装画笔，如图1示，当小齿轮在大齿轮内滚动时， 画笔下出现了精

18、美的几何图形。（40分）下而的问题交给聪明的你，相信你能解答（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）求岀偏心点（画笔）的轨迹方程，图形的几何形状与何参数有关？当图形曲线 退化为直线时，机构参数满足何关系？（3）当几何图形为图2示的三叶玫瑰曲线p = cos（3a）时，机构参数与曲线方程 中的参数满足何关系？图1二十七、（碰撞）均质圆柱体质量为M ,半径为沿水平而以角速度作无滑动滚动, 与一髙度为力的直角台阶相碰撞，如图所示。若碰撞是塑性的，要求碰撞后圆柱体能始终保 持接触地滚上台阶，求值的范围。（江苏大学）二十八、（点的运动学）假想在平原上有一只野兔和一只猎狗，在某一时刻同时发现对方。 野

19、兔立即向洞穴跑去，猎狗也立即向野兔追去。在追击过程中，双方均尽全力奔跑，假设双 方速度大小不变，方向可变。问：（1）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，求猎狗的运动方程和 运动轨迹。（2）若野兔始终沿直线向洞穴跑去，试确立猎狗的初始位置范弗I，使得猎狗在这 一范围内出发，总可以在野兔进洞前追上它。（江苏大学） 二九、一辆四轮汽车如图1所示（侧视图），车身质量为血, 每个车轮半径为r,质量为m,车重心距前后轮轴距离分别 为厶和厶地而的静摩擦系数为山，从车身传递给后轮的力 矩为使车辆向前运动，试问（1）此问题与力学中什么内容有关？（2）设车辆向前运动时车轮保持纯滚动，用功能原理 计算车辆的加速度，若要车轮

20、保持纯滚动，最大 Mo为多大？（3）假设车辆在一半径为R的水平圆轨道上行驶，在图2示位置的速度为v,切向加速度为 去，试确怎车辆前后轮各所受横向力总和（为了讣算方便，设车辆重心距问前后轮轴距离相 等都等于d）。（4）当车辆高速拐弯时，车辆会出现两种危险情况，一是车辆因轮胎与地面间摩擦力不足 引起的侧滑甩尾，二是车辆向一侧翻滚，试从力学方而针对每种情况提岀一种有利于改善的 方法或措施，并简述原理。（南京林业大学力学）三十、为不使自行车在雨天行驶时车轮带起的泥水落到骑车人的身上，在车轮上方周围设有 挡泥板。在设汁挡泥板时，从经济角度考虑，应使挡泥板短一些，以节省材料。为方便设汁, 假设自行车以最大

21、设计速度卩在水平地而上匀速行驶，车轮作纯滚动，后轮的半径为凡需 防护的区域如图中阴影线表示，该区域左边缘距后轮轴的水平距离为2,下边缘距地而的高 度等于后轮的半径斤，如图所示。不考虑空气阻力。（南京航空航天大学）（1）本问题于力学中的什么问题有关？（2）设计自行车后轮的挡泥板后缘的位置（用图示的卩角表示）应满足的方程。三十一、神奇的木棒（河海大学常州校区）如图1.1所示，把一根均质等直木棒的两端，放在两手的食指上。现在沿水平方向慢速 移动两个手指，直到合并在一起为止。非常奇怪两个手指总不同时运动，且最终碰在一起的 时候，木棒保持静止，并没有掉下来。设木棒与手指间的静摩擦因数“，动摩擦因数“X棒

22、长人 手指可视为圆柱体。图12木棒I1 A0手指手指图11（1）请分析上述现象与力学中的什么内容有关系？（2）试说明两个手指各自的运动规律及原因，求出手指的停留位置。停留位宜与两手指的初始位垃有关吗?（3）如果不用木棒，而是改用刷子（图1.2）,再做一次实验，也能得到同样的结果。如果在两个手指碰在一起的地方把刷子切成两段，再把它们各放在天平的一头，天平的状态 如何，为什么？（4）如果两个手指不移动，而是绕各自轴线转动（图13）,试求木棒的运动方程。设手指边缘点的速度大小为，手指中心距2,木棒初始静止，木棒中心位于两手指连线中点偏右距离处。假设手指可以持续转动。三十二、迷人的曲线（河海大学常州校

23、区）如图4.1所示，绘图装巻由小齿轮和大齿圈构成，设半径分別为2和凡轮心分别为。和Q 是小齿轮上任意位置处的一个小孔，距离Q为e。将绘图装置放在白纸上，大齿圈不动， 小齿轮和大齿圈始终啮合，毋L中插入笔芯绘图。图4.1图4. 2请分析：（1）所绘曲线可能是圆吗？若是，则给出条件：不是，则说明理由？（2）如果笔芯所绘曲线长度足够的话，该曲线是否一左封闭？试说明理由。若所绘曲 线是封闭的，其周期是多少？（3）绘出图4. 2所示曲线的条件是什么？（4）如果笔芯插在a处，以匀速v运动。A为大齿圈上的固泄啮合点,某瞬时AO与00夹角为P，求固左点A相对于小齿轮的速度和加速度的大小。三十三、1995年10

24、月28日，在我国四川奉节，长江三峡最为险峻雄伟的崔塘峡夔门，加 拿大高空王子杰伊科克伦在亳无安全保护措施的情况下,手握银色长杆，身着蓝色演出服, 在U犀峦沟壑的壮美中，居髙临下375米，踩着直径3厘米的钢丝，随着悠扬的音乐声，信步 纤云，创造了一个精美的神话。他仅用了 53分钟，从北岸到南岸，走完了 640米，成为人 类走钢丝横跨天堑的第一人。（南通大学）（1）空中走钢丝，若把人的各肢体与横杠一起看成是一个刚体的话，英运动形式可以分为哪 几种？（2）如果科克伦的力学模型可以用下示倒立摆，假设科克伦的体重约70千克，身髙约1.8 米，设他的重心至钢丝o的距离h = 1.2m；平衡杆重27千克，长

25、12米，杆至脚距离也为12X，试分别讣算人和杆相对于O轴的转动惯量？（3）试根据动能左理计算科克伦从0. 5度偏摆到5度，持杆时所 需时间约为不持杆的多少倍？三十四、在如下坐标系中（其中z轴为竖直方向），有两根轨道, 其参数方程为：1-2：X = ag. y = bg,z = egP _2 x = -ag.y = bg.z = cg最高。其中，abC为正常数，参数。（1）请设计一个轴对称机构，使它能够由静止从轨逍最低处作纯滚动滚至最髙处。（2）如果一个轴对称机构能停在轨道上任意一处，请设汁出此物体的形状。（南通大学） 三十五、单炮多发同时弹着问题（解放军理工大学）用同一门火炮依次发射数发炮弹，

26、同时落达同一个目标的射击方法称为单炮多发同时弹 着法。我军炮兵英雄赵章成曾经在实战中创造过手持迫击炮在运动中两次射击，同时命中同 一目标的奇迹。试问：1、这里而涉及到那些力学问题？2、不考虑空气阻力与风力、地球自转影响，假设用迫击炮在运动中射击，炮弹发射时 出口速度v。，目标与两次发射点均在同一水平而上，距离为L,人的运动速度心， 迫击炮最小发射时间间隔求两次发射倾角间的关系。3、当用大口径线膛炮实现单炮多发同时弹着时，发射点不变，可以靠调仔射角，也可 以靠不同的装药来实现不同的炮弹初速。设目标与发射点距离为L,髙差h,火炮 有不变射角，第一次射击炮弹初速V。不考虑空气阻力与风力、地球自转影响

27、，三十六、李元霸的力量有多大？（解放军理工大学）据说唐描写，天下第一条好汉李元霸曾将一对千斤铁锤掷向天空，试图打击雷公, 结果铁锤过了两个时辰才落下来，反将李元霸砸死。请计算并回答以下问题。1、一个时辰为两个小时，假设地球上空的重力加速度均为10米/秒（地球自转与空 气阻力不考虑），试问铁锤上升的最大髙度为多少千米？铁锤从李元霸手中飞出时的 初速度为多少？2、假设铁锤从静止到飞岀的加速距离为2米，试问李元霸在此过程中的平均投掷力为多 少？李元霸当时是骑在马背上掷铁锤的，假设每个马蹄的平均而积是100平方厘米， 战马站立在抗压强度相当于C30混凝上（抗压强度为10. 3MPa）的岩石地而上，地而

28、 能否支撑住马蹄？如果地面更换为16融钢（抗压强度为230 MPa）,试问能否支撑？3、考虑到地球自转的影响，铁锤能砸死原地不动的李元霸吗？如果不能，假左事情发生 在北纬45。附近，铁锤将落在他的身边何处三十七、圆环中的细杆（解放军理工大学）在光滑水平而上内有一半径为R的圆环绕圆心0转动，质量为m,长为/的均质杆AB 的A端狡接在圆周上，B端搁置在圆环内壁上，图示瞬时圆环的角速度为，角加速度为（】。4、试画岀此时AB杆所受全部主动力及虚加惯性力。5、当a与反向时，有人说：“将动系固结在圆周上，于是AB杆将以a相对于动系运 动，从而可得B点的相对加速度。”这样对吗？仅用运动学方法能求出B点的加速

29、 度吗？6、若此时当a与3反向时，求B点的加速度。三十八、某杂技团作飞车走壁表演，设车由A点开始沿路径AEDECE运动，路径的DBC段为一圆的缺口，而BOC=0。圆盘相对地面有向前（X的正方向）的滑动则摩擦力指向负X 7v方向，式中N=Mg。由质心运动宦理M =；解得v = v（） - f.tgt: / = /*时，盘心dt速度V = v0 ,以后圆盘将继续向前无滑动地滚动下去。显然声2%/心 在这种情况下（图（b）,在时刻/ =y等于零，圆盘开始往回滚。因此它所上的最远距离是在rv/时间间隔内, 它连滚带滑地往回滚，r = r*以后就是无滑动地往回滚。（如果初条件给得很特殊，即 =2唧补 则

30、将岀现怎样的运动情况？）由对质心的动量矩立理：=解得= -“g（2/R）2 dt这说明由于摩擦力的作用，圆盘的质心速度的大小*越来越小，转动角速度也越来越小。 第二阶段，从条件” =0被满足的那个时刻开始，从此以后圆盘相对地面没有滑动，所以不再有摩擦力，又因为圆盘在水平方向没有 其他外力作用，所以圆盘将以等角速度无 滑动地滚动下去。将叩）曲线和叭）曲 线同画在一张图上（它们的正方向一正一 反），是两条斜直线（图6.23）。两斜直线 的竖直距离等于v + Rco,既0两斜线在 C点相交的时刻f*就是=0刚开始被满 足的瞬时。由“=0 ,解得 /* = （% +/?0）/（3“g）；此时质心的速度 大小为v* = v0-jUgt*.可能有两种情况:v*0 (图 6.23 (a)或v*v0 (图 6.23(b)。当v*0并且fv广时.圆盘与地而间有相对滑动，直到时，盘心速度v =以后圆盘将继续向前无