齐民友高数下册复习考试

1、螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆

2、羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀

3、袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄

4、肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁

5、袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅

6、螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀

7、羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄

8、螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈

9、肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂

10、袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇

11、膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄

12、羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈

13、螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂

14、肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆

15、衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁

16、膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅

17、羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂

18、螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆

19、聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀

20、袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅

21、肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿

22、羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃

23、螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈

24、聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄

25、袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿

26、肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃

27、羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇

28、螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈薆袁芈芈螁螇芇莀薄肆芇蒂螀羂莆薅薂袈莅芄螈螄莄莇薁膃莃蕿螆聿莂蚁虿羅莁莁袄袀羈蒃蚇螆羇薆袃肅羆芅蚆羁肅莈袁袇肅蒀蚄螃肄蚂蒇膂肃莂螂肈肂蒄薅羄肁薆螀袀肀芆薃螆腿莈蝿肄腿蒁薂

29、羀膈薃螇袆膇莃薀袂膆蒅袅螈膅薇蚈肇膄芇袄羃膃荿蚆衿芃蒂袂螅节薄蚅肃芁芃蒈聿芀蒆蚃羅艿薈 齐民友高数下册复习考试高等数学复习考试（下册）第8章 空间解析几何与向量代数一、向量及其运算1、空间直角坐标系空间直角坐标系：三条两两垂直相交于原点的坐标轴，x轴、y轴和z轴构成右手关系。 （1） 学会：a）找出空间中给定点的坐标。b）找出空间中以给定(x,y,z)为坐标的点。c）空间各部分点坐标的特点。（2） 两点M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)的距离公式d(M1,M2)M1M22、向量（1）向量的概念 数量：只有大小；x2x1)(y2y1)(z2z1)222向量：既有大小又有方向。向量

30、只有大小和方向。 在空间中用有向线段表示向量。其长度表示向量的大小也称为模或范数；其方向表示向量的方向。一个向量可以放在空间中任意位置。 （2）特殊向量零向量0：大小为0。任意方向都是0的方向。只有一个零向量。 单位向量：大小为1。有无穷多个单位向量。如果a0，则eaa1a是与a方向一致的单位向量，称为a的单位化。 （3）两向量的关系向量a和b有夹角(a,b),0。当(a,b)时说ab；当(a,b)0或时说a/b。2（4）向量的坐标把向量a的始点放在原点，得a的终点M(ax,ay,az)(aOM)，则有a的分解式aaxiayjazk其中i,j,k是标准单位向量。ax,ay,az是向量a的坐标。

31、ax,ay,az分别是a在x、y、1 / 43z轴上的投影；axi,ayj,azk分别是a在x、y、z轴上的投影向量。向量与坐标一一对应。向量的理论分为两部分：用几何描述的向量理论和用坐标描述的向量理论。两部分理论对应地出现，互相翻译。设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)，则M1M2(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)kx2x1,y2y1,z2z1（终点坐标减始点坐标。）始点坐标、终点坐标、向量坐标知其二求第三。 （5）模和方向余弦 设aax,ay,az，则cosaxayaz222axxayaz222 cosayaxayaz222 cosazaxayaz222 其中,分别是

32、a与x、y、z轴的夹角，它们支定了a的方向。cos2cos2cos。一次性求出三个方向余弦：11acos,cos,cos2a3、向量运算 （1）加减法a）几何方法两向量用平行四边形法则或三角形法则（接龙法）相加。 a与a大小相等方向相反。aba(b)。 b）坐标方法设aax,ay,az,bbx,by,bz，则 abaxbx,ayby,azbz（2）数乘向量 a）几何方法aa。a的方向：当0时与a同向；当0时与a反向。2 / 43b）坐标方法ax,ay,azax,ay,az（3）两向量的数量积 a）几何方法bbprja ababcos(a,b)aprjabb）坐标方法设aax,ay,az,bbx

33、,by,bz，则abaxbxaybyazbzc）物理意义 位移r外力F做的功WFr（4）两向量的向量积 ab是一个新的向量。 a）几何方法 bsin(a,b)；(ab)a,(ab)b,a,b,ab成右手关系。b）坐标方法设aax,ay,az,bbx,by,bz，则ijkabaybzazby,azbxaxbz,axbyaybxxxc）几何意义 baybyaz bz以a,b为边的平行四边形的面积。（5）三向量的混合积a）a,b,c(ab)c。a,b,cb,c,ac,a,b。b）几何意义a,b,c以a,b,c为边的平行六面体的体积。（6）熟悉各种运算的运算律。 4、平行、垂直、共面条件bx,by,b

34、z。下列命题等价： （1）设aax,ay,az0,ba）a/b；3 / 43 b）存在实数使得ba； c）bx:axby:aybz:az；d）ab0。 （2）下列命题等价：a）ab；b）axbxaybyazbz0；（3）a,b,c共面a,b,c0。 二、空间解析几何1、一般概念空间几何对象：曲面和曲线。平面是特殊的曲面，直线是特殊的曲线。 空间解析几何就是用代数方程研究几何对象。几何对象和它的代数方程K的关系如下：（1）上每点的坐标都满足方程K；（2）坐标满足方程K的点都在上。空间解析几何的主要任务:（1）根据已知条件写出几何对象的方程；（2）根据几何对象的方程分析几何对象的形状。2、空间解析

35、几何（1）平面a）点法式方程:A(xx0)B(yy0)C(zz0)0其中nA,B,C0是的随便一个固定的法向量，M0(x0,y0,z0)是随便固定的一点。利用条件求出n,M0即可写出平面的点法式方程。b）一般方程 :AxByCzD0其中nA,B,C0是的法向量。(0,0,0)D0/x(y,z)轴A(B,C)0可以用一般式方程写满足条件的平面方程。利用条件求出A,B,C,D即可写出平面的一般方程。c）三点式方程4 / 43 i）取nM1M2M1M3,M0M1 ii）写出点法式方程。 d）截距式方程如果平面与x,y,z轴分别交于非原点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，则:e）点M0(

36、x0,y0,z0)到平面xaybzc1:AxByCzD0的距离dAx By Cz0D2A2BC2 f）设1:A1xB1yC1zD102:A2xB2yC2zD20则 n1n2cos(1,2)n1n2 12n1n2A1A2B1B2C1C20 1/2n1/n2A1:A2B1:B2C1:C2（2）直线 a）点向式方程l:其中sm,n,pxx0myy0nzz0p M0(x0,y0,z0)l是随便固定的0是l的随便一个固定的方向向量，一点。利用条件求出s,M0即可写出直线的点向式方程。 b）参数方程xx0mtl:yy0ntzzpt0其中s5 / 43 m,n,p0是l的随便一个固定的方向向量，(x0,y0

37、,z0)l是随便固定的一点，t是参数。 c）一般方程1:A1xB1yC1zD10l:2:A2xB2yC2zD20l作为平面1和2的交线。d）点向式方程l:化为一般方程xx0myy0nzz0p xl:yx0my0yy0nzz0p ne）一般方程化点向式方程：i）求出l方程组的一个解M0(x0,y0,z0)； ii）取sn1n2A1,B1,C1A2,B2,C2；iii）用M0(x0,y0,z0)和s写出点向式方程。 f）两直线l1:xx1m1yy1n1zz1p1 l2:的夹角 xx2m2yy2n2zz2p2 s1s2cos(l1,l2)s1s2 l1l2s1s2m1m2n1n2p1p20l1/l2

38、s1/s2m1:m2n1:n2p1:p2直线l:与平面6 / 43xx0myy0nzz0p :AxByCzD0的夹角 snsin(l,)sn ls/nm:An:Bp:Cl/snmAnBpC0g）过直线l:的平面束1:A1xB1yC1zD102:A2xB2yC2zD20 :A1xB1yC1zD1(A2xB2yC2zD2)0用已知条件确定，从而在平面束中求出满足要求的平面。 （3）常见的空间曲面 （1）柱面二元方程F(x,y)0(或F(z,y)0或F(x,z)0)在空间中表示母线平行于z(或x或y)轴的柱面。 （2）旋转曲面 曲线f(y,z)0 x0绕y轴旋转一周得的旋转曲面的方程为f(y,z（3

39、）二次曲面a）学会用“截痕法”分析曲面的形状。2x)02其它曲线绕其它轴转的情况类似（请你试写出来）。b）熟悉P56-P64列出的各种二次曲面及它们的方程。 c）特别常用的曲面：柱面、锥面、（椭）球面、抛物面。 （4）空间曲线a）空间曲线的一般方程（曲线作为两曲面的交线）F(x,y,z)0G(x,y,z)0参数方程xx(t)yy(t) zz(t)7 / 4322b）由一般方程写参数方程的常用方法：先由一般方程变形出()1()21；令()1cos,()2sin；再进一步写出参数方程。c）曲线在坐标平面上的投影 由方程F(x,y,z)0G(x,y,z)0消去z(或x或y)得到在xy(或yz或zx)

40、面上的投影H(x,y)0H(y,z)0H(z,x)0或 或z0 x0y0第9章 多元函数微分法及其应用一、 多元函数的极限和连续性1 多元函数的极限（1）计算多元函数极限的方法：（i）要善于变形；（ii）把一组东西看出一个整体，转化为一元函数的极限，再用一元函数求极限的方法求极限。 （2）证明极限limfx,y不存在：举一些xx0yy0 xx0的方式（比如yy0k(xx0)），使yy0极限不存在或与方式（k）有关。 2 多元函数的连续性（1）证明f在(x0,y0)点不连续：（i）用前面方法证明limfx,y不存在；或（ii）求出xx0yy0 xx0yy0limfx,yfx0,y0。（2）证明f

41、在(x0,y0)点连续就是证明limfx,yfx0,y0。xx0yy0二、 偏导数和全微分 1偏导数 （1）fx,y在(x0,y0)点的偏导数分两步：（i）作一元函数xfx,y0,yfx0,y；（ii）fxx0,y0 x0,fyx0,y0y0。因此fxx0,y0limfx0 x,y0fx0,y0 x,fyx0,y0limfx0,y0yfx0,y0yx0y0（2）偏导数的几何意义：（i）fxx0,y0 = 曲线zfx,y0在x0,y0点切线对x轴的yy 08 / 43 斜率；（ii）曲线1zfx,y0在x0,y0点切线对z轴的斜率 = 。关于yy fxx0,y00fyx0,y0完全类似。（3）当

42、相应的高阶导数连续时，高阶偏导数与求导次序无关。2全微分 （1）全微分概念如果存在与x和y无关的Ax0,y0和Bx0,y0使zfx0 x,y0yfx0,y0Ax0,y0 xBx0,y0yxy22则称f在(x0,y0)点可微。f在(x0,y0)点的全微分dzAx0,y0 xBx0,y0yAx0,y0dxBx0,y0dy关于任意点(x,y)的全微分，上面(x0,y0)改为(x,y)。当(x,y)是复合函数的中间变量时，全微分公式也一样。（2）如果f在(x0,y0)点可微，则f在(x0,y0)点的偏导数都存在，并且dzfxx0,y0 xfyx0,y0yfxx0,y0dxfyx0,y0dy（3）（i）

43、f在(x0,y0)点可微limfx0 x,y0yfx ,y0fxx0,y0 xfyx0,y0y2x0y0 xy20(ii)证明f在(x0,y0)点不可微就是证明极限limfx0 x,y0yfx0,y0fxx0,y0 xfyx0,y0yxy22x0y0 不存在或不为0。3 导数的计算（1）一般函数求导方法：（i）保留求导变元，固定其他变元为常数，得一元函数；（ii）对此一元函数求导。（2）复合函数求导方法：（i）画复合函数图；（ii）根据复合函数图写求导公式（设对x求导）：每个x所在的路径都对应一项：此路径中的每个相邻函数关系都求导，这些导数相乘作公式的一个求导项；（iii）根据求导公式求得偏导

44、数。（iv）利用低阶偏导数求高阶偏导数，遇到求偏导函数的导数时，各阶偏导函数与原函数有相同的函数图。（复合函数求导一定要求到底！）（3）隐函数求导方法：（i）把隐函数变量看作其它变量的函数得恒等式（组）；（ii）对恒等式（组）两边求导得含所求导数的方程（组）；（iii）解方程（组）得所求导数；（iv）求隐9 / 43函数的高阶偏导数有两种方法：(a) 利用低阶偏导数求高阶偏导数；(b)继续对求低阶导数时得的方程（组）求导，得含高阶导数的方程（组），解此方程（组）得高阶导数。不管用哪种方法，都要代入低阶导数的结果，都要清清楚楚地知道哪里含有要求导的变量。隐函数求导也可解出隐函数再求导。反函数看作

45、隐函数处理。 4 连续、可导、可微、偏导数连续的关系 122,xysin22反例：C1：xy0,xyxy,22；C2 x；C3： xy0, xy0220 xy0 xy022都在(0,0)点。要熟悉一些典型例题。 三、 多元函数微分法的应用xxt1曲线L： yyt在xt0,yt0,zt0的切向量zztxt0,yt0,zt0切线：xxt0 xt0yyt0yt0zzt0zt0 法平面：xt0 xxt0yt0yyt0zt0zzt00 xxyyx 如果L：则用x作参数L：（用y或z作参数的情况类似） yyx。zzxzzx2曲面： Fx,y,z0在x0,y0,z0点的法向量nFxx0,y0,z0,Fyx0

46、,y0,z0,Fzx0,y0,z0切平面：Fxx0,y0,z0 xx0Fyx0,y0,z0yy0Fzx0,y0,z0zz00法线：xx0Fxx0,y0,z0yy0Fyx0,y0,z0zz0Fzx0,y0,z0 当曲面以参数方程给出时，消去参数变成一般方程再做。3 方向导数与梯度10 / 43（1）fx,y,z在点x0,y0,z0沿方向l的方向导数flimt0fx0tcos,y0tcos,z0tcosfx0,y0,z0tlx0,y0,z0 fxx0,y0,z0cosfyx0,y0,z0cosfzx0,y0,z0cos其中cos,cos,cos是l的方向余弦。 求fx,y,z在点x0,y0,z0沿

47、方向l的方向导数的方法：（i）求导fxx0,y0,z0,fyx0,y0,z0,fzx0,y0,z0；（ii）求l的方向余弦1lco,sco,scos；（iii）代入上面公式。有时要用上面极限求方向导数。l（2）fx,y,z在点x0,y0,z0的梯度gradfx0,y0,z0fxx0,y0,z0,fyx0,y0,z0,fzx0,y0,z0梯度是方向导数最大的方向，梯度的反方向是方向导数最小的方向，与梯度垂直方向的方向导数为0：gradf,x0,y0,z0-gradf,x0,y0,z00，l与梯度同向fll与梯度反向。 l梯度x0,y0,z0梯度是等值面4 极值与最值 （1）无条件极值的法向量。如

48、果存在去心邻域UUx0,y0,使fx,yfx0,y0,x,yU大值。可见，极值是小范围的小则称x0,y0为fx,y的极11 / 43大值点，称小为的极最值。如果fx,y在x0,y0点有二阶偏导数， 必要条件：fxx0,y00；fx,y0y00A0 x0,y0是f的极大值点；2ACB0充分条件：A0 x0,y0是f的极小值点； 其中ACB20 x,y不是f的极值点。00Afxxx0,y0,Cfyyx0,y0,Bfxyx0,y0。解无条件极值问题的方法：x1,y1,xn,yn；求出fxxx,y或fyyx,y或fxyx,y不存在的全部点：（i） (ii)用定fxx,y0求出的全部解：x1,y1,xm

49、,ym fx,y0yx1,y1,xn,yn逐点判定；用充分条件对x1,y1,xm,ym逐点判定。是否极值义对点，是极大值点还是极小值点，一定要有明确的结论；(iii)必要时求出相应的极值。 （2）最值在 D的边界D上；fx,y在(闭)区域D上的最大（小）值点有两种可能 因此在 D的 11mmfyx,y0最大值maxM,fx1,y1,fxn,yn,fx1,y1,fxm,ym最小值minm,fx1,y1,fxn,yn,fx1,y1,fxm,ym 如果根据问题的实际知：最大（小）值在D内部取得，并且，在D内部到处可导且只有唯一个驻点或导数不存在的点，则这点就是最大（小）值点。 5 条件极值zfx1,

50、xn1x1,xn0条件极值问题的解法：x,x0nm1（i）写拉格朗日函数Lfx,xn11x,xnmmx,xn；12 / 43 （ii）求函数L非条件极值的驻点（1,m不用解出）；（iii）根据问题的实际判断每个驻点是否极值点，是极大值点还是极小值点。6 泰勒公式设函数fx,y充分可导，则fx0h,y0knf(x0,y0)i11hki!yx1f(x,y)00(n1)!ihkyxn1f(x0h,y0k)其中01。有时可以把一组东西看作一个t，利用一元函数写出关于t的泰勒公式，再把t代回得到原函数的泰勒公式。四、相关题目1求多元函数的极限；2证明多元函数在某点的极限不存在；3证明多元函数在某点不连续

51、（连续）；4求给定多元函数（在某点）的偏导数；5求多元函数（在某点）的全微分；6求多元复合函数、隐函数的一阶或高阶偏导数，或全微分；7求曲线在某点的切线方程、法面方程；求曲面在某点的切面方程、法线方程；（可能要先 根据已知写出方程）8求给定函数在某点的梯度，在某点沿某方向的方向导数；9求函数的极值、最大（小）值、条件极值；10证明多元函数在某点不可导（不可微或导函数不连续）。13 / 43 第10章 重积分 一、二重积分1二重积分的概念设D是平面上的有界闭区域，fx,y是D上有界函数。 分割：把D分割为n个小区域：1,n “近似”： i,ii，作fi,ii求和：fi,iii1n取极限：记max

52、i，ilim0i1n不存在，称fx,y在D上不可积；fi,iiA存在，称A为fx,y在D上的二重积分，记为nfx,ydDf,fx,ydxdylimD0iii1i 当fx,y有了实际意义，fx,ydD 也相应地有实际意义。例如，如果fx,y是质量面密度，则二重积分就是D的总质量；当fx,y是以D为底的曲顶柱体的高度函数时，二重积分是此曲顶柱体的体积。0dD0,fx,yd0D的面积0，dD的面积DD2二重积分的性质（1）线性性fx,ygx,ydDfx,ydDgx,ydD （2）可加性如果D分割成两个区域D1和D2，则fx,ydDfx,ydD1fx,ydD2 （3）单调性14 / 43如果fx,yg

53、x,y,x,yD则fx,ydDgx,ydD 特别，如果fx,y()0,x,yD则fx,ydD()0如果mfx,yM,x,yD则mfx,ydDM其中是D的面积。 （4）中值定理如果fx,y在D上连续，则存在,D使fx,ydDf,其中是D的面积。 3二重积分的计算 （1）直角坐标 X-型区域 DY-型区域yy2x,axbDx,yyx1x,yxyxxy,c12yd其中，小y边界：yyx；大y边界：y 如果D是X-型区域，则（后x积分） 15 / 43Dfx,ydbadxy2xy1xfx,ydybay2xfx,ydydx y1x如果D是Y-型区域，则（后y积分）fx,yddx2yDcdyx1yfx,y

54、dxdcx2yfx,ydxdy x1y如果D既是X-型区域又是Y-型区域，则fx,ydDbadxy2xy1xfx,ydydcdyx2yx1yfx,ydx哪个简单就计算哪个。里层上下限总是外层积分变量的函数。 如果D（2 如果D,其中小则（总是后积分）fx,ydDdfcos,sind12（注意：面积元素多一个。当D的边界是；当D包含原点时0,2,10 ）圆弧或被积函数含有时，用极坐标积分比较简单。曲线极坐标方程的求法：设曲线方程Fx,y0，则Fcos,sin0，解出。二、三重积分 1三重积分的概念设v是空间的有界闭区域，fx,y,z是v上有界函数。 分割：把v分割为n个小区域：v1,vn “近似

55、”：i,i,ivi，作fi,i,ivi16 / 43求和：fi,i,ivi i1n取极限：记maxvi， inlim0i1不存在，称fx,y在v上不可积； fi,i,iviA存在，称A为fx,y在v上的三重积分，记为nffx,y,zdvfx,y,zdxdydzlimvv0i1i,i,ivi 当有了实际意义，fx,y,zdvv也相应地有实际意义。例如，如果fx,y,z是质量体密度，则三重积分就是v的总质量。0dvv0,fx,y,zdv0v的体积0，dvv的体积 vv2三重积分的性质（1）线性性fx,y,zgx,y,zdvvfx,y,zdvgx,y,zdvvv（2）可加性如果v分割成两个区域v1和

56、v2，则fx,y,zdvvfx,y,zdvfx,y,zdv v1v2（3）单调性如果fx,y,zgx,y,z,x,y,zv则fx,y,zdvvgx,y,zdv v特别，如果fx,y,z()0,x,y,zv则fx,y,zdv()0v如果Mfx,y,zm,x,y,zv17 / 43 则Mvfx,y,zdvvmv其中v是v的体积。 （4）中值定理如果fx,y,z在v上连续，则存在,v使fx,y,zdvf,v其中v3（1（i v界：z x,yDxy（右图）。则fx,y,zdvvdxdyDxyz2x,yz1x,yfx,y,zdzDxyz2x,yfx,y,zdzdxdyz1x,y（ii）一套二 设区域v,

57、czx,y,zx,yDzy 其中，c,d是v在z面Zz截v的截口。则fx,y,zdvvdcdzfx,y,zdxdyDzdcfx,y,zdxdyDzdz 一般情况下用二套一方法计算；当fx,y,z不含x,y，或用极坐标计算fx,y,zdxdyDz 时不含,，用一套二计算比较简单。往其它坐标平面或坐标轴投影完全类似。18 / 43 （2）柱面坐标用柱面坐标计算三重积分的方法： （i）先把三重积分写成二套一fx,y,zdvvdxdyDxyz2x,yz1x,yfx,y,zdz（ii）再用极坐标计算外层积分Dxydxdyz2x,yz1x,yfx,y,zdzd21dz2cos,sinz1cos,sinfc

58、os,sin,zdz往其它坐标平面投影完全类似。 （3）球面坐标（i）球面坐标与直角坐标的关系xrsincos2yrsinsin；dxdydzrsindddr zrcos（ii）主要掌握以下三种简单情形：(a) 原点是v的内点。此时fx,y,zdvv2 dd r, frsincos,rsinsin,rcosrsindr2其中rr,是v的外边界。(b) v的边界在原点与xy平面相切，v包含z轴正向。此时fx,y,zdvv2 dd20r, frsincos,rsinsin,rcosrsindr2其中rr,是v的外边界。(c) v是锥面与外边界rr,包围。此时vfx,y,zdv2 dd r, frs

59、incos,rsinsin,rcosrsindr2不管是计算二重积分还是三重积分，如果区域边界的表达式不一致，就要作适当区域分割。里层上下限总是外层积分变量的函数。 三、重积分的应用 1体积v的体积vdxdydz2曲面zfx,y,x,yDxy的面积19 / 43ADxy22fxx,yfyx,ydxdy其中dS是面积微分；Dxy是曲面在xy上的投影。曲面表示成yfx,z,x,zDxz或xfy,z,y,zDyz时类似。 3质心设区域v的密度为fx,y,z，则v的质量Mfx,y,zdvv 质心坐标1Mvxfx,y,zdv,1Mvyfx,y,zdv,1Mvzfx,y,zdv在平面情形少一个坐标且为二重

60、积分。 4转动惯量 （1）平面情形设区域D的密度为fx,y，则转动惯量IxDyfx,ydxdy,Iy2Dxfx,ydxdy2（2）空间情形设区域v的密度为fx,y,z，则v的转动惯量Ixyv2z2fx,y,zdxdydzIz,Iy2xv2z2fx,y,zdxdydz xv2yfx,y,zdxdydz5引力设区域v的密度为fx,y,z，则v对v以外的质量为M的质点x0,y0,z0的引力FFx,Fy,Fz为FxvGMfx,y,zx2x023dxdydzxx0yy0zz02FyvGMfx,y,zyy03dxdydzx222x0yy0zz020 / 43 FzvGMfx,y,zzz03dxdydz x