山东师范大学附属中学中考数学期末几何综合压轴题模拟汇编

1、山东师范大学附属中学中考数学期末几何综合压轴题模拟汇编一、中考几何压轴题1（1）问题发现如图1eqoac(,，)ACBeqoac(,和)DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE填空：AEB的度数为；线段AD，BE之间的数量关系为（2）拓展探究如图2eqoac(,，)ACBeqoac(,和)DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一直线上，CMeqoac(,为)DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD2，若点P满足PD1，且BPD90，请直接写出点A到BP的

2、距离2（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQAE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GFAE求证：DQAE；推断：GF的值为；AE（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BCABk（k为常数）将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k210，求CP的长23时，若tanCGP，GF343（阅读理解）定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫“协和线”，该四边形叫做“协

3、和四边形”（深入探究）（1）如图1，在四边形ABCD中，ABBC，ADCD，请说明：四边形ABCD是“协和四边形”（尝试应用）（2）如图2，四边形ABCD是“协和四边形”，BD为“协和线”，ABAD，ADC60，若点E、F分别为边AD、DC的中点，连接BE，BF，EF求：DEF与BEF的面积的比；EBF的正弦值（拓展应用）（3）如图3，在菱形ABCD中，AB8，BAD120，点E、F分别在边AD和BC上，点G、K分别在边AB和CD上，点N为BE与GF的交点，点M在EF上，连接MN，若四边形BGEF，DHMK都是“协和四边形”，“协和线”分别是GF、HK，求MN的最小值4综合与实践（问题背景）如

4、图1，矩形ABCD中，AB10,BC8点E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边的点C处（问题解决）（1）填空：AC的长为_（2）如图2，将DCE沿线段AB向右平移，使点C与点B重合，得到DBE,DE与BC交于点F，DB与DE交于点G求EF的长；（拓展探究）（3）在图2中，连接GF,EE，则四边形GEEF是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由5在ABC中，BDAC于点D，点为射线BD上任一点（点B除外）连接AP，将线段PA绕点顺时针方向旋转，ABC，得到PE，连接CE（1）（观察发现）如图1，当BABC，且ABC60时，BP与CE的数量关系是_，BC与CE的位置关

5、系是_（2）（猜想证明）如图2，当BABC，且ABC90时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若AB8，AP52，请直接写出CE的长6（问题探究）（1）如图1，ABCeqoac(,和)DEC均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明若ACBC10，DCCE2，求线段AD的长（拓展延伸）（2）如图2，ABCeqoac(,和)DEC均为直角三角形，ACBDCE90，AC21，BC7，CD3，CE1eqoac(,

6、将)DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角BCD为（0360），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长7（1）问题提出：如图，在矩形ABCD中，AB3AD，点E为边BC上一点，连接AE，过点E作对角线AC的垂线，垂足为F，点M为AE的中点，连接MB，MF，BF可知MBF的形状为_；（2）深人探究：如图，将CEF在平面内绕点C顺时针旋转，请判断MBF的形状是否变化，并说明理由；（提示：延长EF到E，使EFEF；延长AB到A，使ABAB，连接CE，AE，AE，构造全等三角形进行证明）（3）拓展延伸：如果AD3，CE2，在CEF旋转过程中，当点A，E，F在同

7、一条直线上时，请直接写出MF的长8综合与实践数学活动课上，老师让同学们结合下述情境，提出一个数学问题：如图1，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是矩形探究展示：“兴趣小组”提出的问题是：“如图2，连接CE求证：AECE”并展示了如下的证明方法：证明：如图3，分别连接AC，BD，EF，AF设AC与BD相交于点O四边形ABCD是正方形，OA=OC=1AC，OB=OD=1BD，且AC=BD22又四边形BEDF是矩形，EF经过点O，OE=OF=1EF，且EF=BD2OE=OF，OA=OC四边形AECF是平行四边形（依据1）AC=BD，EF=BD，AC=EF四边形AECF是矩形（依据2）CEA=90

8、，即AECE反思交流：（1）上述证明过程中“依据1”“依据2”分别是什么？拓展再探：（2）“创新小组”受到“兴趣小组”的启发，提出的问题是：“如图4，分别延长AE，FB交于点P，求证：EB=PB”请你帮助他们写出该问题的证明过程（3）“智慧小组”提出的问题是：若BAP=30，AE=31，求正方形ABCD的面积请你解决“智慧小组”提出的问题9已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的B重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE（观察猜想）（1）CM与BE的数量关系是_；CM与BE的位置关系是_；（探究证明）（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转(090)，其他条件

9、不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；（拓展延伸）（3）若旋转角45，且NBE2ABE，求10问题发现：BCBN的值（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图放置，AB4，AE2.5，则DGCF_问题探究：（2）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，点P在矩形的内部，BPC135，求AP长的最小值问题拓展：（3）如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB6，ACCD，ACD90，ACB45，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由11综合与实践探究特殊三角形中的相关问题问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60角的直

10、角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且RtABC的较短直角边AB为2，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转(090)，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P（1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角时，AMC是等腰三角形；（2）深入探究：敏学小组的同学提出在旋转过程中，如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线请帮他们证明；（3）再探究：在旋转过程中，当旋转角30时，求ABC与AFE重叠的面积；（4）拓展延伸：在旋转过程中，CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由12（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：

11、“如图，在ABC中，BAC108，点D是BC边上的一点，BAD72，BD2CD，AD4，求AC的长”某同学做了如下的思考：如图，过点C作CEAB，交AD的延长线于点E，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE_度；（2）求AC的长（拓展应用）如图，在四边形ABCD中，BAD120，ADC75，对角线AC、BD相交于点E，且ACAB，EB2ED，AE2，则BC的长为_13（问题情境）（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；（类比探究）（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E

12、是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（拓展提升）（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为14探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知ABAD，BAD90，点E、F分别在BC、CD上，EAF45（1）如图1，若B、ADC都是直角，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系_；如图2，若B、D都不是直角，但满足BD180，线段BE、DF和EF之间中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立

13、，请说明理由（2）拓展：如图3，在ABC中，BAC90，ABAC22，点D、E均在边BC上，且DAE45，若BD1，求DE的长15探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知ABAD，BAD90，点E、F分别在BC、CD上，EAF45（1）如图1，若B、ADC都是直角，把ABE绕点A逆时针旋转90eqoac(,至)ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；如图2，若B、D都不是直角，但满足B+D180，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由（2）拓展：如图3eqoac(,，在)ABC中，BAC90，ABAC22点D、E

14、均在边BC边上，且DAE45，若BD1，求DE的长16定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形（问题理解）(1)如图1，点A、B、C在O上，ABC的平分线交O于点D，连接AD、CD求证：四边形ABCD是等补四边形；（拓展探究）(2)如图2，在等补四边形ABCD中，ABAD，连接AC，AC是否平分BCD？请说明理由；（升华运用）(3)如图3，在等补四边形ABCD中，ABAD，其外角EAD的平分线交CD的延长线于点F若CD6，DF2，求AF的长17（1）问题发现：如图1eqoac(,，在)ABCeqoac(,中和)DCE中，ABAC，DCDE，BACCDE60，点D是BC的垂线AF上任

15、意一点填空：ADBE的值为；ABE的度数为（2）类比探究：如图2eqoac(,，在)ABCeqoac(,中和)DCE中，BACCDE90，ABCDEC30，点D是BC的垂线AF上任意一点请判断AD的值及ABE的度BE数，并说明理由；（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若AB3，CD3，请直接写出BE的长318如图1，已知ABCEBD，ACBEDB90，点D在AB上，连接CD并延长交AE于点F，（1）猜想：线段AF与EF的数量关系为_；（2）探究：若将图1的EBD绕点B顺时针方向旋转，当CBE小于180时，得到图2，连接CD并延长交AE于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，

16、请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E作EGCB，垂足为点G当ABC的大小发生变化，其它条件不变时，若EBGBAE，BC6，直接写出AB的长19问题情境：两张直角三角形纸片中，BACDAE90连接BD，CE，过点A作BD的垂线，分别交线段BD，CE于点M，N（ABC与ADE在直线MN异侧）（2）当AB特例分析：（1）如图1，当ABACADAE时，求证：BD2AN；拓展探究：AD1，探究下列问题：ACAE2如图2，当ABAD时，直接写出线段BD与AN之间的数量关系：；如图3，当ABAD时，猜想BD与AN之间的数量关系，并说明理由；推广应用：（3）若图3中，ABADk，设ABD的面积为S，则ACE

17、的面积为（用含ACAEk，s的式子表示）20如图1，已知ABC和ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、AC上，CAED90（1）观察猜想：如图2，将ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE，BD的延长线交CE于点F当BD的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，BD的值为_；CEBEC的度数为_度；（2）类比探究：如图3，继续旋转ADE，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由；（3）拓展延伸：若AEDE2ACBC10，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出线段BD的长【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、中考几何压轴题1（1）60；相等；（2）AEB=90，

18、AE=2CM+BE，证明见解析；（3），3131【分析】（1）由条件易证ACDBCE，从而得到：AD=BE，ADC=BEC由点A，D，E在同一解析：（1）60；相等；（2）AEB=90，AE=2CM+BE，证明见解析；（3），22【分析】（1）由条件易证ACDBCE，从而得到：AD=BE，ADC=BEC由点A，D，E在同一直线上可求出ADC，从而可以求出AEB的度数（2）仿照（1）中的解法可求出AEB的度数，证出AD=BEeqoac(,；由)DCE为等腰直角三角形及CMeqoac(,为)DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心

19、，1为半径的圆上；由BPD=90可得：点P在以BD为直径的圆上显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题【详解】解：（1）如图1ACB和DCE均为等边三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=60，ACD=BCEeqoac(,在)ACDeqoac(,和)BCE中，ACBCACDBCE，CDCEACDBCE（SAS），ADC=BECDCE为等边三角形，CDE=CED=60点A，D，E在同一直线上，ADC=120，BEC=120，AEB=BECCED=60故答案为：60ACDBCE，AD=BE故答案为

20、：AD=BEACDBCE，（2）AEB=90，AE=BE+2CM理由：如图2ACBeqoac(,和)DCE均为等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90，ACD=BCEeqoac(,在)ACDeqoac(,和)BCE中，CACBCDCEACDBCE（SAS），AD=BE，ADC=BECDCE为等腰直角三角形，CDE=CED=45点A，D，E在同一直线上，ADC=135，BEC=135，AEB=BECCED=90CD=CE，CMDE，DM=MEDCE=90，DM=ME=CM，AE=AD+DE=BE+2CM3131（3）点A到BP的距离为22或理由如下：PD=1，点P在以点D为圆

21、心，1为半径的圆上BPD=90，点P在以BD为直径的圆上，点P是这两圆的交点当点P在如图3所示位置时，连接PD、PB、PA，作AHBP，垂足为H，过点A作AEAP，交BP于点E，如图3四边形ABCD是正方形，ADB=45AB=AD=DC=BC=2，BAD=90，BD=2DP=1，BP=3BPD=BAD=90，A、P、D、B在以BD为直径的圆上，APB=ADB=45，PAE是等腰直角三角形又BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AHBP，由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD，3=2AH+1，AH=312当点P在如图3所示位置时，连接PD、PB、PA，作AHBP，垂足为H，过点A作AEAP

22、，交PB的延长线于点E，如图3同理可得：BP=2AHPD，3=2AH1，AH=312或综上所述：点A到BP的距离为312312【点睛】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键2（1）见解析；1；（2）k，理由见解析；（3）【分析】（1）由正方形的性质得ABDA，ABE90DAH所以HAO+OAD90，又知ADO+OAD90，所以解析：（1）见解析；1；（2）

23、FGAEk，理由见解析；（3）955【分析】（1）由正方形的性质得ABDA，ABE90DAH所以HAO+OAD90，又知ADO+OAD90，所以HAOADO，于是ABEDAH，可得AEDQ证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题（2）结论：FGAEk如图2中，作GMAB于M证明：ABEGMF即可解决问题（3）如图2中，作PMBC交BC的延长线于M利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题【详解】解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABDA，ABE90DAQQAO+OAD90AEDQ，ADO+OAD90QAOADOABEDAQ（ASA），AEDQ解：结论：GF1AE理由：DQAE，FG

24、AE，DQFG，FQDG，四边形DQFG是平行四边形，FGDQ，AEDQ，FGAE，GF1AE故答案为1（2）解：结论：FGAEk理由：如图2中，作GMAB于MAEGF，AOFGMFABE90，BAE+AFO90，AFO+FGM90，BAEFGM，ABEGMF，GFGM，AEABAMGDDAM90，四边形AMGD是矩形，GMAD，GFADBCkAEABAB（3）解：如图2中，作PMBC交BC的延长线于MFG2，FG210，FBGC，FEGP，CGPBFE，tanCGPtanBFE3BE，4BF可以假设BE3k，BF4k，EFAF5k，AE3AE310，（3k）2+（9k）2（310）2，k1或

25、1（舍弃），BE3，AB9，BC：AB2：3，BC6，BECE3，ADPEBC6，EBFFEPPME90，FEB+PEM90，PEM+EPM90，FEBEPM，FBEEMP，EFBFBE，PEEMPM543，6EMPMEM24,PM18，55CMEMEC2439，55PCCM2PM2955【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题3（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判

26、定定理与性质可得，再根据“协和四边形”的定义即可得证；（2）先根据“协和四边形”的定义、三角形全等的解析：（1）证明见解析；（2）3:5；5314；（3）23【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得ABDCBD,ADBCDB，再根据“协和四边形”的定义即可得证；（2）先根据“协和四边形”的定义、三角形全等的判定定理可得ABDCBD，从而可得ADCD，再根据等边三角形的判定与性质可得EFDEDF,BDEF,OE12EF，然后设EFDEDF2a，解直角三角形可得BD833a,OD3a，从而可得OB53a，最后利用三角形的面积公式即可得；3如图（见解析），设EFDEDF2a

27、，先利用勾股定理可得BFBE2213a，再利用三角形的面积公式可得EH577a，然后根据正弦三角函数的定义即可得；（3）如图（见解析），先解直角三角形可得BP43，再根据菱形的性质、平行线的性质可得EBFBEP，从而可得NEMBEP，然后根据垂线段最短可得当MNEF时，MN取得最小值，最后根据相似三角形的判定与性质即可得【详解】证明：（1）如图，连接BD，在ABD和CBD中，ADCD，BDBDABBCABDCBD(SSS)，ABDCBD,ADBCDB，BD平分ABC和ADC，四边形ABCD是“协和四边形”；（2）如图，设BD与EF相交于点O，BD为“协和线”，BD平分ABC和ADC，ABDCB

28、D,ADBCDB，在ABD和CBD中，BDBD，ADBCDBDE1ADDCDF，BDADa，ABDCBDABDCBD(ASA)，ADCD，点E、F分别为边AD、DC的中点，122ADC60，DEF是等边三角形，EFDEDF，BDEF,OE1EF（等腰三角形的三线合一），2设EFDEDF2a，则AD4a,OEa，在eqoac(,Rt)ABD中，ADB1ADC30，283cosADB3在RtDOE中，ODDE2OE23a，OBBDOD533a，EFOD2，1OB5SDEFSBEF12EFOBOD3即DEF与BEF的面积的比为3:5；如图，过点E作EHBF于点H，由（2）知，BD垂直平分EF，BEB

29、F，设EFDEDF2a，则AD4a,OEa，同（2）可得：OB53a，3BFBEOE2OB22213a，EFOBBFEH，S1BEF2122aaaEH，EH53则在RtBEH中，sinEBF；715312212323解得EH57a，757aBE22114a3（3）如图，过点B作BPAD，交DA延长线于点P，BAD120，BAP180BAD60，在RtABP中，BPABsinBAP83243，四边形ABCD是菱形，DP/BC，EBFBEP，同（2）可证：GF垂直平分BE，BFEF,BNEN1BE，2EBFNEM，NEMBEP，由垂线段最短可知，当MNEF时，MN取得最小值，NEMBEP在NEM和

30、BEP中，NMEP90NEMBEP，MNEN1MN1，即，BPBE2432解得MN23，即MN的最小值为23【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），利用垂线段最短得出当MNEF时，MN取得最小值是解题关键4（1）6；（2）；（3）四边形不是平行四边形，理由见解析【分析】（1）先根据已知条件和矩形的性质可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根据折叠的性质可得DC=DC=10，最后运用勾股定理解解析：（1）6；（2）EF2；（3）四边形GEEF不是平行四边形，理由见解析【分析】（1）先根据已知条件和矩形的性质可得C

31、D=AB=10,AD=BC=8，再根据折叠的性质可得DC=DC=10，最后运用勾股定理解答即可；（2）先根据折叠的性质和勾股定理可求得AC6，进而求得BE、EC，然后连接EE，根据平移的性质可得EE/AB/CD，进而说明FEEFCDECD，最后运用相似三角形的性质解答即可；（3）先由折叠可得CDECDE，再根据平移的性质和等腰三角形的判定与性质得到DDDG4，过点D作DHDG于点H，则DHHG且DDHDEC，根据相似三角形的性质可得DH:DHEC:DC1:2；设DHx，则DH2x，在RtDDH中，运用勾股定理求得DH和DH；然后再在RtDCF中求得DF35，可以发现DGDF即GEFE，即可发现

32、四边形GEEF不可能是平行四边形【详解】解：（1）如图：矩形ABCD中，AB10,BC8CD=AB=10，AD=BC=8根据折叠的性质可得DC=DC=102在直角三角形ADC中，AC=DCAD2102826（2）由折叠可知：DCDC10在RtDAC中，根据勾股定理可求得AC6，BCABAC1064在RtBEC中，设BEx，根据勾股定理，得(8x)2x242，解得x3，即BE3,ECEC5如图：连接EE，则由平移可知，EECB4，且EE/AB/CD于是可得FEEFCDECD，EF:EEEC:DC5:101:2，又EE4，EF2（3）四边形GEEF不是平行四边形，理由如下：由折叠可知CDECDE；

33、又平移可知CDEBDE，且DE/DE，BDEDGD，CDEDGD，即DDG是等腰三角形，DDDG4如图，过点D作DHDG于点H，则DHHG且DDHDEC，DH:DHEC:DC1:2设DHx，则DH2x，在RtDDH中，根据勾股定理，得x2(2x)242，解得x455，DH85，5DG1655而在RtDCF中，DCDCDD1046,CFCEEF523，根据勾股定理可求得DF35，DGDF，即GEFE，故四边形GEEF不可能是平行四边形【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解答本题的关键5（1），；（2）成立，不成立，与的关系为，见

34、解析；（3）2或14【分析】（1）连接AE，证明ABCeqoac(,、)APE为等边三角形，再证明，根据全等三角形的性质可得BP=CE，再求得，即可得，所有解析：（1）BPCE，BCCE；（2）BCCE成立，BPCE不成立，BP与CE的关系为CE2BP，见解析；（3）2或14【分析】（1）连接AE，证明ABC、APE为等边三角形，再证明ABPACE，根据全等三角形的性质可得BP=CE，ABPACE，再求得ABPACE30，即可得ACEACB90，所有BCCE（2）BCCE成立，BPCE不成立，BP与CE的关系为CE2BP选图2证明：连接AE，易证BAPCAE，根据相似三角形的性质可得CECA2

35、，ACEABP，BPBA根据等腰直角三角形的性质可得ABDCBDACB45ACE，由此可得BCEBCAACE90，结论可证；选图3证明，类比图2的证明方法即可；（3）分图2和图3两种情况求CE的长即可【详解】（1）如图，连接AE，BAPCAE，APAEBABC，且ABC60，ABC为等边三角形，ABCBACACB60，AB=AC，PEPA，且APE60，APE为等边三角形，PAE60，AP=AE，BACPACPAEPAC，BAPCAE；eqoac(,在)BAPeqoac(,和)CAE中，ABACABPACE，BP=CE，ABPACE，BDAC，BABC，ABC60，ABP=30，ABPACE3

36、0，ACEACB90，BCCE故答案为：BPCE，BCCE（2）BCCE成立，BPCE不成立，BP与CE的关系为CE2BP理由如下：选图2证明：连接AE，又AC由题意可知：ABC、APE均为等腰直角三角形，BACPAE45，ACAE2，ABAPBAPPADCAEPAD，即BAPCAE；AE，ABAPBAPCAE，CECA2，ACEABP，BPBAABBC，BDAC，ABDCBDACB45ACE，BCEBCAACE454590，BCCE，BCCE，CE2BP选图3证明：理由如下：连接AE，由题意可知：ABC、APE均为等腰直角三角形，又ACBACPAE45，ACAE2，ABAPBACPADPAE

37、PAD，即BAPCAE，AE，ABAPBAPCAE，CECA2，ACEABP，BPBAABBC，BDAC，ABDCBDACB45ACE，BCEBCAACE454590，BCCE，BCCE，CE2BP；（3）CE2或14如图，AB8，ADBD42，AP52，在RtAPD中，PDAP2AD232，BP42322，由（2）知：CE2BP，CE222；如图，同理可得DP32，BP423272，CE72214综上：CE的长为2或14【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键6（1），证明见解析；4；（2）画图见解析，

38、或【分析】（1）由“”可证，可得，可得；过点作于点，由勾股定理可求，的长，即可求的长；（2）分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似解析：（1）ADBD，证明见解析；4；（2）画图见解析，33或23【分析】（1）由“SAS”可证ACDBCE，可得ADCBEC45，可得ADBD；过点C作CFAD于点F，由勾股定理可求DF，CF，AF的长，即可求AD的长；（2）分点D在BC左侧和BC右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解【详解】解：（1）ABC和DEC均为等腰直角三角形，ACBC，CECD，ABCDEC45CDE，ACBDCE90，ACDBCE，且ACBC，CECD，ACD

39、BCE(SAS)，ADCBEC45，ADEADCCDE90，ADBD，故答案为：ADBD；如图，过点C作CFAD于点F，ADC45，CFAD，CD2，DFCF1，AFAC2CF23，ADAFDF4，故答案为：4；（2）若点D在BC右侧，如图，过点C作CFAD于点F，ACBDCE90，AC21，BC7，CD3，CE1ACDBCE，ACCD3，BCCEDEACDBCE，ADCBEC，CD3，CE1，DEDC2CE22，ADCBEC，DCECFD90，DCECFD，DCCE，DCCFDF，即2331CFDFCF3，DF，322AFAC2CF2532，ADDFAF33，若点D在BC左侧，ACBDCE9

40、0，AC21，BC7，CD3，CE1ACDBCE，ACDBCE，ADCBEC，ACCD3，BCCEDECEDCDF，CD3，CE1，DEDC2CE22，CEDCDF，DCECFD90，DCECFD，DCCE，DCCFDF，即2331CFDFCF3，DF，322AFAC2CF2532，ADAFDF23【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线7（1）等边三角形；（2）的形状不变，理由见解析；（3）或【分析】（1）先根据矩形的性质、解直角三角形可得，再根据直角三角形斜边上的中线可得，然后根据等腰三角形

41、的性质、三角形的外角性质可得，最后解析：（1）等边三角形；（2）MBF的形状不变，理由见解析；（3）35323532或【分析】（1）先根据矩形的性质、解直角三角形可得BAC30，再根据直角三角形斜边上的中线可得BMAMFM，然后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得BMF2BAC60，最后根据等边三角形的判定即可得出结论；（2）如图（见解析），先根据线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定定理证出ECAECA，再根据三角形全等的性质可得AEAE,EACEAC，从而可得AONACA120，然后根据三角形中位线定理可得MF12AE,MF/AE，MB12AE,MB/AE，从而可得MBMF,B

42、MF60，最后根据等边三角形的判定即可得出答案；（3）分点E在线段AF上和点F在线段AE上两种情况，再利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出AE,AF,EF的长，然后根据线段中点的定义、线段的和差即可得【详解】解：（1）在矩形ABCD中，AB3AD，在RtABC中，tanBACBCAB3BC,ABC90，3AB3BAC30，点M为AE的中点，BMAM1AE，2MABMBA，同理可得：FMAM12AE,MAFMFA，BMFM，BMEMABMBA2MAB，FMEMAFMFA2MAF，BMFBMEFME2(MABMAF)2BAC60，MBF是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）MBF的形状不变，

43、理由如下：如图，延长EF到E，使EFEF；延长AB到A，使ABAB，连接CE,AC,AE,AE，其中AC,AE相交于点N，AE,AE相交于点O，MB,AE相交于点P，在ECA和ECA中，ECAECA，ACAC由旋转的性质得：ECFACB60，CFEF，CF垂直平分EE，CECE,ECE2ECF120，同理可得：ACAC,ACA2ACB120，ECEACEACAACE，即ECAECA，CECEECAECA(SAS)，AEAE,EACEAC，ANCACE，AONACA120，点M为AE的中点，MF是AEE的中位线，MF1AE,MF/AE，2同理可得：MB12AE,MB/AE，MBMF,BMFBPO

44、180AON60，MBF是等边三角形；（3）由题意，分以下两种情况：如图，当点E在线段AF上时，AD3,AB3AD，AB33,BC3，ACAB2BC26，在RtCEF中，CFEF,CEF90ECF30,CE2，1CFCE1,EFCE2CF23，2在RtACE中，AFAC2CF235，AEAFEF353，ME1353AE22，MFMEEF353353322；如图，当点F在线段AE上时，同理可得：EF3,AF35，AEAFEF353，ME1353AE22，353353MFMEEF综上，MF的长为353353322或22，【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、三角形全等的判定定理与性质、三角形

45、中位线定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键8（1）依据1：对角线互相平分的四边形是平行四边形，依据2：对角线相等的平行四边形是矩形；（2）见解析；（3）4【分析】（1）借助问题情景即可得出结论；（2）连接CE，先根据已证结论及正方形的性解析：（1）依据1：对角线互相平分的四边形是平行四边形，依据2：对角线相等的平行四边形是矩形；（2）见解析；（3）4【分析】（1）借助问题情景即可得出结论；（2）连接CE，先根据已证结论及正方形的性质得出AB=BC，1=4，再由矩形性质证得PBA=EBC，得出PBAEBC，即可得出结论；（3）过点B作BMAP，垂足为M结合（2）

46、所得结论利用等腰直角三角形的性质可得BM=PM=ME，设BM=ME=x，则AM=x+3-1则根据三角函数解直角三角形求出x=1，再由直角三角形的性质求出正方形的边长，即可得出结果【详解】解：（1）依据1：对角线互相平分的四边形是平行四边形依据2：对角线相等的平行四边形是矩形（2）证明：连接CE，由题意得，CEA=90，1+2=180-AEC=90四边形ABCD是正方形，ABC=90，AB=BC3+4=180-ABC=902=31=4四边形EBFD是矩形，EBF=90PBE=180-EBF=90PBE=ABCPBE+EBA=ABC+EBA即PBA=EBCPBAEBCPB=EB（3）解：过点B作B

47、MAP，垂足为M由（2）可知，PB=BE，PBE=90BM=PM=ME设BM=ME=x，则AM=x+3-1在eqoac(,Rt)ABM中，BAM=30AB=2BM，tanBAM=xx31解得x=1AB=2，3，3S形正方ABCD=22=4【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握特殊四边形、全等三角形及三角函数等相关知识点是解题的关键9（1）；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）【观察猜想】根据正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可证明RtBANRtBCM（HL)，又根据E是A解析：（1）

48、CM2BE；CMBE；（2）成立，理由见解析；（3）622【分析】（1）【观察猜想】根据正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可证明eqoac(,Rt)BANeqoac(,Rt)BCM（HL)，又根据E是AN的中点，即可证明CM=2BE，根据等边对等角得到ABE=BCM，ABE+BMC=90即可证明CMBE（2）【探究证明】延长BE至F使EF=BE，连接AF，先证明AEFNEB，再证明FABMBC，得到CM=BF=2BE，BCM=ABF，得到ABF+FBC=90，进而求得BCM+EBC=90，即可证明EBCM；（3）拓展延伸由a=45得到ABE=15，由前面可得B

49、MC=30，过C作CGMB于G，设CG为m，则BC=2m，MG=3m，所以MB=BN=3m-m，最后求得【详解】解:【观察猜想】(1)CM=2BE；CMBE；如图1所示BCBN的值图1正方形ABCD，AB=CB，等腰三角形BMN，BM=BN，eqoac(,Rt)BANeqoac(,Rt)BCM（HL)，BAN=BCM，又E是AN的中点，BE=AE=NE=1AN，2CM=2BE，BE=AE，BAN=ABE，ABE=BCM，ABE+BMC=BCM+BMC=90BPM=90CMBE【探究证明】(2)CM=2BE，CMBE仍然成立如图2所示，延长BE至F使EF=BE，连接AF，AE=EN，AEF=NE

50、B，EF=BE，AEFNEBAF=BN，F=EBN，AF/BN，AF=BM，FAB+ABN=180，MBN=ABC=90，NBC+ABN=90，NBA+FAD=90，CBN=FADFAB=MBC，AB=BC，FABMBC，CM=BF=2BE，BCM=ABF，ABF+FBC=90BCM+EBC=90，EBCM；拓展延伸(3)由a=45得MBA=ABN=45，NBE=2ABE，ABE=15，由前面可得MCB=ABE=15，MBC=135，BMC=180-15-135=30，如图3所示，过C作CGMB于G，图3设CG为m则BC=2m，MG=3m，所以MB=BN=3m-m，BCBM2m623mm2【点

51、睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题10（1）；（2）AP的最小值为；（3）存在，BD的最大值为6+6【分析】（1）连接AC、AF、DG、CFeqoac(,，证)ADGACF，根据线段比例关系可求；（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以解析：（1）22；（2）AP的最小值为2922；（3）存在，BD的最大值为62+6【分析】（1）连接AC、AF、DG、CFeqoac(,，证)ADGACF，根据线段比例关系可求；（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则P的运动轨迹在矩形

52、ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，根据给出数据求值即可；（3）以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，根据DABCAE，得出BD=2CE，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，根据C点的轨迹求出CE最大值，即求出BD最大值【详解】解：（1）如图，连接AC、AF、DG、CF，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，AC=2AB，AF=2AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，ADAC，AGAF又DAG=DAC-GAC=45-GAC，CAF=GAF-GAC=45-GAC，DAG=CAF，DGACFA，DGAD4

53、2，CFAC422故答案为22；（2）如图，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则BPC作为圆周角刚好是135，P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，作OE垂直AB延长线于点E，BOC为等腰直角三角形，BC=4，OB=OC=2BC=24=22，OBC=45，22OBE=90-OBC=90-45=45，又OEAE，BEO为等腰直角三角形，BE=OE=2OB=222=2，22又AB=3，AE=AB+BE=3+2=5，AOAE2OE2522229，OP=OB=22，AP=AO-OP=29-22，即AP的最小值为29-22；（3）存在

54、，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，则EAB=45，ABAE2，AC=AD，ACD=90，DAC=45，AD2，ACABAD，DAB=CAE=45，AEACDABCAE，BDAD2，CEACBD=2CE，当CE最大时，BD取最大值，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，AOB=90，ACB=45，点C在优弧AB上，由图知当C在OE延长线C位置时CE有最大值，此时CE=OE+OC，AB=6eqoac(,，)AOBeqoac(,和)AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，四边形AOBE为正方形，OE=AB=6，OC=OA=2AB=32，2CE的最

55、大值为6+32，BD=2CE，BD的最大值为2（6+32）=62+6【点睛】本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圆周角，圆心角等知识点，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题的关键11（1）15或60；（2）见解析；（3）；（4）能，30或60【分析】（1）分三种情况讨论：当时，当当利用三角形的内角和定理与旋转的旋转从而可得答案；（2）先证明，得到证明，再证明，解析：（1）15或60；（2）见解析；（3）3；（4）能，30或60【分析】（1）分三种情况讨论：当CAMCMA时，当MACC30,当AMCC,利用三角形的内角和定理与旋转的旋转从而可得答案；（2）先证明ABMAF

56、N，得到AMAN,证明EMCN，再证明MPENPC，得到PEPC,结合AEAC,从而可得结论；（3）先求解ABM的面积，再证明ABMEPM，结合ABMAFN，从而可得重叠部分的面积；（4）当CNP=90时，依据对顶角相等可求得ANF=90，然后依据F=60可求得FAN的度数，由旋转的定义可求得的度数；当CPN=90时由C=30，CPN=90，可求得CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到ANF的度数，然后由F=60，依据三角形的内角和定理可求得FAN的度数，于是可得到的度数【详解】解：（1）当CAMCMA时，C30,CAMCMA1803075,2907515,当MACC30,903060,AMC

57、B60,AMCC,综上：当15或60，AMC是等腰三角形；故答案为：15或60（2）由题可知，ABAF，BF，EC，AEAC由旋转可知BAMFAN，ABMAFN，AMANAEAC，EMCN又EC，MPENPC，MPENPCPEPC，点P在CE的垂直平分线上AEAC，点A在CE的垂直平分线上，AP所在的直线是CE的垂直平分线（3）如答图，30，B60，AMB90，ABM是直角三角形，AB2，BMABsin301，AMABcos303，SAMMB13113ABM222AEACABtan6023，AM3，EM3BAEE30.EMP90ABMEPM，由（2）可知ABMAFNSAFNSEPMSABM32

58、S11AFAE22323AEF22S重叠SSAEFAFNSEPM232332（4）如图所示：当CNP=90时CNP=90，ANF=90又AFN=60，FAN=180-60-90=30=30如图所示：当CPN=90时C=30，CPN=90，CNP=60ANF=60又F=60，FAN=60=60综上所述，=30或60【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的全等的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，解直角三角形，重叠部分的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键12【问题探究】（1）；（2）【拓展应用】【分析】问题探究：（1）由平行线的性质得出AC

59、E+BAC=180，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出E=BAD=72，证出AC=AE解析：【问题探究】（1）72；（2）AC6【拓展应用】26【分析】问题探究：（1）由平行线的性质得出ACE+BAC=180，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出E=BAD=72，证出AC=AE，由平行线证明ABDECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；拓展应用：过点D作DFAB交AC于点F证明BAEDFE，得出ABAEBE=2，得DFEFDE出AB=2DF，EF=1AE=1，AF=AE+EF=3，证出AC=AD，在eqoac(,Rt)ADF中，求出2DF=AFtanCA

60、D=3，得出AC=AD=2DF=23，AB=2DF=23，得出AC=AB，在eqoac(,Rt)ABC中，求出BC=2AB=26即可【详解】解：（1）CEAB，ACE+BAC=180，ACE=180-108=72；故答案为：72；（2）CEAB，E=BAD=72，E=ACE，AC=AE，CEAB，ABDECD，ADBD，EDCDBD=2CD，AD=2，EDAD=2ED=4，ED=2，AC=AE=AD+ED=4+2=6；拓展应用：如图3中，过点D作DFAB交AC于点FACAB，BAC=90，DFAB，DFA=BAC=90，AEB=DEF，BAEDFE，ABAEBE=2，DFEFDEAB=2DF，