2021年高考数学(理)二轮专题学与练 25 数学思想方法及其应用(考点解读)

1、专题25数学思想方法及其应用函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的考点，高考中经常会有一道解答题，解题思

2、路直接依赖于分类讨论(预测以后的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中尤其导数与函数)，将有一道进行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题化归与转化的思想在高考中必然考到，主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法知识点一、函数与方程思想一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式

3、和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题1方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决2方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通过方程进行研究，方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域函数与方程的这种相互转化关系十分重要可用函数与方程思想解决的相关问题1函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：(1)借助有关初等函数的性

4、质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的2方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：(1)解方程或解不等式；(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；(4)构造方程或不等式求解问题知识点二、数形结合的数学思想数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的

5、联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为。目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构

6、建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边

7、的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。1数形结合的途径(1)通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的)；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大

8、大缩短代数推理)实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式(x2)2(y1)24。常见方法有：解析法：建立适当的坐标系(直角坐标系，极坐标系)，引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题

9、变得有章可循。(2)通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b22abcos(60或120)与余弦定理沟通，将abc0且b+ca中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。直线的距离d|AxByC|AB22，直线的斜

10、率，直线的截距)、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。常见的转换途径为：方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质。(3)构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将a2与正方形的面积互化，将abc与体积互化，将a2c2与勾股定理沟通等等。(4)利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式(如两点间的距离(xx)2(yy)2，点到1212002数形结合的原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的

11、局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。(3)简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式代数问题运用几何方法，几

12、何问题寻找代数方法。知识点三、分类讨论的思想分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度1由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等2由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等3由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不

13、为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等4由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等5由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法6由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用知识点四、化归与转化的思想1、化归与转化的思想方法解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，

14、选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”2、化归与转化的思想方法应用的主要方向化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的

15、转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现3、等价转化和非等价转化转化有等价转化和非等价转化之分等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证高频考点一、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用例1(1)若方程cos2xsinxa0在0，2上有解，则a的取值范围是_【解析】法一：把方程变形为acos2xsinx，设f(x)cos2xsinx，x0，2，显然，当且仅当a属于f(x)的值域时有解15因为f(x)(1sin2x)sinxsinx

16、224，且由x0，2知sinx(0,1，易求得f(x)的值域为(1,1，故a的取值范围是(1,1法二：令tsinx，由x0，2，可得t(0,1将方程变为t2t1a0.依题意，该方程在(0,1上有解，1设f(t)t2t1a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t2，如图所示f因此，f(t)0在(0,1上有解等价于f00，10，1a0，即1a0，所以10恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，1即当n1时，(bn)max6，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，1则须使k(bn)max6，1所以实数k的最小值为6.【规律方法】本题完美体现了函数与方程思想的应用

17、，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出bn的表达式，说明要1求bnk恒成立时k的最小值，只需求bn的最大值，从而构造函数f(x)2xx(x1)，利用函数求解n11n【变式探究】设数列an，bn满足a1a0，an12nan，且bnln(1an)2a2，nN*，2an【证明】an2bn0，an12nan知，an0(nN*)，故bn0(nN*)an因为bn0，1构造函数f(x)ln(1x)2x2x(x0)，1x2则其导数f(x)1xx1x1，an当x0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上为增函数，所以f(x)f(0)0，即bnan0，所以bn1.2an因为an2bn，所以ln(1an)an0

18、)，1xx3则导函数g(x)1x1x1，当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，故g(x)g(0)0，所以ln(1an)an0，1112nn所以ln(1an)2anan2a2，即bnan2，所以an2bn1.高频考点三、运用函数与方程思想解决不等式问题x3，xa，例3已知函数f(x)x2，xa，若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_（xa），【解析】若0a1时，函数f(x)x2（xa）在R上递增，若a1或a0时，由图象知yf(x)b存在b使之有两个零点，故a(，0)(1，)【答案】(，0)(1，)【规律方法】(1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适

19、当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法(2)在解决不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数(3)在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式【变式探究】设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取

20、到极值(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x0，3都有f(x)c2成立，求c的取值范围；(3)若方程f(x)c2有三个根，求c的取值范围因为函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取到极值，所以解得f（2）0.b4.【解析】(1)f(x)6x26ax3b3(2x22axb)f（1）0，a3，当a3，b4时，f(x)3(2x26x4)6(x2)(x1)当x0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.所以此时1与2都是极值点，因此a3，b4，f(x)2x39x212x8c.(2)由(1)知函数yf(x)在x1处取到极大值f(1)58c，在x2处取到极小值f(2)48c.因为f(0)8c，

21、f(3)98c，所以当x0，3时，函数yf(x)的最大值是f(3)98c，所以要使对于任意的x0，3都有f(x)c2成立，需要f(3)98c0，解得c9.(3)由(1)(2)知函数yf(x)在区间(，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，yf(x)在x1处取到极大值f(1)58c，在x2处取到极小值f(2)48c，f(1)f(2)所以要使方程f(x)c2有三个根，需要f(2)c2f(1)，即48cc258c，解得425c421或421c425.高频考点四、运用函数与方程思想解决最优化问题例4、某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条

22、连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲a线C符合函数yx2b(其中a，b为常数)模型a40，(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度【解析】(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，

23、2.5)将其分别代入ayx2b，得25ba400b2.5，a1000，解得b0.1000(2)由(1)知，yx2(5x20)，1000则点P的坐标为t，t2，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，2000yx3，10002000则l的方程为yt2t3(xt)，3t3000由此得A2，0，B0，t2.故f(t)33t2300022t241062t2t4，t5，204106设g(t)t2t4，16106则g(t)2tt5.令g(t)0，解得t102.当t(5，102)时，g(t)0，g(t)是减函数；当t(102，20)时，g(t)0，g(t)是增函数从而，当t102时，函数g(t)有极小值

24、，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min153.答：当t102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米【规律方法】解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决【变式探究】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2x)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式(2)当m640米时，

25、需新建多少个桥墩才能使y最小？【解析】(1)设需要新建n个桥墩，(n1)xm，mmm256m即nx1，所以yf(x)256n(n1)(2x)x256x1x(2x)xxmx2m256.3256m11m(2)由(1)知，f(x)x22mx22x2(x2512)3令f(x)0，得x2512，所以x64.当0 x64时f(x)0，f(x)在区间(0，64)内为减函数；当64x640时，f(x)0，f(x)在区间(64，640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值，此时，m640nx16419.故需新建9个桥墩才能使y最小【感悟提升】1函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现2有很多时候可以将方

26、程看成函数来研究，这就是函数思想3有些时候可以将函数看成方程来研究，这就是最简单的方程思想我们可以有意通过函数思想部分训练提升自己的数学能力高频考点五、函数与方程思想在立体几何中的应用例5、现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6m，PO12m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【解析】(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积11

27、1V锥3A1B2PO1362224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1am，PO1hm，则0h6，O1O4h.连接O1B1.因为在eqoac(,Rt)PO1B1中，11O1B21PO2PB2，2a所以22h236，即a22(36h2)11326于是仓库的容积VV柱V锥a24h3a2h3a2h3(36hh3)，0h6，(转化为函数)26从而V3(363h2)26(12h2)令V0，得h23或h23(舍)当0h23时，V0，V是单调增函数；当23h6时，V0，V是单调减函数故当h23时，

28、V取得极大值，也是最大值因此，当PO123m时，仓库的容积最大【感悟提升】(1)本题第(2)问利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a，h的方程，再由公式把体积V表示成关于高h的函数，最后利用导数求解(2)立体几何及其实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值【变式探究】平面内边长为a的正三角形ABC，直线DEBC，交AB，AC于D，E，现将ABC沿DE折成60的二面角，求DE在何位置时，折起后A到BC的距离最短，最短距离是多少？【解析】如图，点A沿DE折起到A，过A作AGBC于G，交DE于F，连接AF，AG

29、，eqoac(,因为)ABC为正三角形，又DEBC，所以AGDE.又G，F分别为BC，DE的中点，所以DE平面AFG，BC平面AFG，所以AFG是二面角的平面角由题知AFG60，所以AG为所求，3eqoac(,在)AFG中，设FGx，则AF2ax.由余弦定理，得AG2AF2FG22AFFGcos6032ax32x222axxcos60333x4a216a2，33所以当x4a时，(AG)min4a，3即DEeqoac(,恰为)ABC中位线时，折起后A到BC的距离最短，最短距离为4a【总结升华】(1)函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加

30、以解决，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点，再如方程f(x)g(x)的解的问题可以转化为函数yf(x)与yg(x)的交点问题，也可以转化为函数yf(x)g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域(2)当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想(3)借助有关函数的性质，一可以用来解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二可以在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数来求解高频考点六、用数形结合思想解决方程、不等式及函数的有关性质问题例6、(1

31、)已知：函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1，1时，f(x)x2，则方程f(x)lgx解的个数是()A5个B7个C9个D10个4(2)设有函数f(x)ax24x和g(x)3x1，已知x4，0时恒有f(x)g(x)，求实数a的取值范围【解析】(1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0，1的函数又f(x)lgx，则x(0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点，故选C.4(2)f(x)g(x)，即ax24x3x1，4变形得x24x3x1a，令yx24x，4y3x1a，变形得(x2)2y24(y0)，即表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆的上半圆(如

32、图)；4表示斜率为3，纵截距为1a的平行直线系(如图)设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为，4则有tan3，00)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_【解析】因为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x)，所以f(x4)f(x)，由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x2对称且f(0)0.由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间0，2上是增函数，所以f(x)在区间2，0上也是增函数如图所示，那么方程f(x)m(m0)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4由对称性知x1x

33、212，x3x44所以x1x2x3x41248.【答案】8.高频考点七、用数形结合思想解决参数、代数式的最值、取值范围问题x2y2例7、(1)已知x，y满足条件16251，求y3x的最大值与最小值x2y24，y3(2)已知实数x，y满足不等式组x0，求函数zx1的值域x2y2【解析】(1)令y3xb，则y3xb，原问题转化为在椭圆16251上找一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上有最大截距或最小截距x2y2由图可知，当直线y3xb与椭圆16251相切时，有最大或最小的截距x2y2将y3xb代入16251，得169x296bx16b24000，令0，解得b13.故y3x的最大值为13，最小值

34、为13.y3(2)由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2y24的右半圆域(含边界)，zx1可改写为y3z(x1)，把z看作参数，则此方程表示过定点P(1，3)，斜率为z的直线系那么所求问题的几何意义是：求过半圆域x2y24(x0)内或边界上任一点与过点P(1，3)的直线斜率的最大、最小值由图显见，过点P和点A(0，2)的直线斜率最大，2（3）zmax0（1）5.过点P向半圆作切线，切线的斜率最小a2b24，P设切点为B(a，b)，则过点B的切线方程为axby4.又B在半圆周上，在切线上，则有a3b4，又a0，ab66，因此z2365，5解得min2633.263综上可知函数的值域为3，5

35、.1625150 x210bxb24000.y3【误区警示】此题很容易犯的错误是由zx1得到点(1，3)的坐标时，很容易写成(1，3)，所以做题时要看清顺序【规律方法】如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：(1)ykxb中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距bn(2)am表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率(3)（am）2（bn）2表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离(4)导函数f(x0)表示曲线在点(x0，f(x0)处切线的斜率只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就

36、一定能得心应手地运用数形结合的思想方法x2y2【变式探究】已知x，y满足条件16251，求5x4y的最大值与最小值【解析】令5x4yb.x2y2原问题转化为：在椭圆16251上求一点，使过该点的直线5x4yb与之相切即可5x4yb，由x2y2由0，得b202，故5x4y的最大值为202，最小值为202.高频考点八、数形结合思想在立体几何中的应用例8、如图所示，在三棱锥VABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且ACBCa，VDC02.(1)求证：平面VAB平面VCD；(2)当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围【解析】(1)以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴

37、、z轴，建立如图所示的空间直线坐标系2aa则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D2，2，0，V0，0，2atan.aaaanAB0，则得2于是，VD2，2，2atan，CD2，2，0，AB(a，a，0)aa11从而ABCD(a，a，0)2，2，02a22a200，2aa11同理ABVD(a，a，0)2，2，2atan2a22a200，即ABVD.又CDVDD，AB平面VCD.又AB平面VAB.平面VAB平面VCD.(2)设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，nVD0又BC(0，a，0)，|nBC|于是sin|cosn，BC|axay0，

38、aa22x2y2aztan0.2可取n1，1，tan，|n|BC|a2a22|sin|.2tan202，20sin1，0sin2.又02，04.即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为0，4.【规律方法】(1)应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算(2)解析几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口【变式探究】如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1

39、C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CPm.(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32；(2)在线段A1C1上是否存在一定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，所以BD(1，1，0)，BB1(0，0，1)，AP(1，1，m)，AC(1，1，0)又由ACBD0，ACBB10，知AC为平面BB1D1D的一个法向量APACsincos222m2.则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)设AP与平面BB1D1

40、D所成的角为，则2|AP|AC|232依题意有22m21（32）2，(2)若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则Q(x，1x，1)，D1Q(x，1x，0)1解得m3.1故当m3时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32.依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于1D1QAPAPDQ0 x(1x)01x2.即Q为A1C1的中点时，满足题设要求【感悟提升】1数形结合是解决许多数学问题的重要方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化我们用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题2数形结合主要应用于：函数、三角、集合、立体几何、解几、向量、不等

41、式等3是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的高频考点九、数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用|x|例9、若关于x的方程x4kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为_【解析】当x0时，显然是方程的一个实数解；|x|当x0时，方程x4kx2可化为1k(x4)|x|(x4)，1设f(x)(x4)|x|(x4且x0)，yk，原题可以转化为两函数有三个非零交点x24x，x0，则f(x)(x4)|x|x24x，x0且x4，的大致图象如图所示，1由图，易得0k4.1所以k的取值范围为4，.1【答案】4，【感悟提升】用图象法讨论方程(特别是含参数的指数

42、、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数【变式探究】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x1，0时，f(x)51x3，则关于x的方程f(x)|cosx|在2，2上的所有实数解之和为_【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以函数f(x)的周期为2.又当x1,0时，f(x)x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数yf

43、(x)与y|cosx|的图象如图所示51由图象知关于x的方程f(x)|cosx|在2，2上的实数解有7个不妨设x1x2x3x4x5x6x7，则由图得x1x24，x3x52，x41，x6x70，51所以方程f(x)|cosx|在2，2上的所有实数解的和为42107.【答案】7高频考点十数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用例10、设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)C(，1)(1,0)【答案】Af(x)【解析】设yg(x)x(x0)，xf(x)f(x)B(1,0)(1，)D(0,1)(1，)则g

44、(x)x2，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0时，由f(x)0，得g(x)0，由图知0 x1，当x0，得g(x)0，由图知x0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)【感悟提升】(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(1)0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答【变式探究】yBy，设A(x，)|x2(y1)21，(x，)|xym0则使AB成立的实数m的取值范围是

45、_【解析】集合A是一个圆x2(y1)21上的点的集合，集合B是一个不等式xym0表示的平面区域内的点的集合，要使AB，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线xym0应与圆相切或相离|m1|(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有21，又m0，所以m21，故m的取值范围是21，)【答案】21，)高频考点十一数形结合思想在解析几何中的应用x2y2例11、设双曲线C：a2b21(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A2B3C2D5|【解析】如图所示，设以A1

46、A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQPF2.又PF1PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|2|OQ|2A又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4A在eqoac(,Rt)F1PF2中，PF1|2|PF2|2c|F1F2|24a216a220a24c2ea5.【答案】D【感悟提升】(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式

47、可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离【变式探究】已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点Peqoac(,，使)APF的周长最小，此时点P的坐标为_【解析】因为(2)20两种情况(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏x，0 x1，A2C6B4D8【答案】C【解析】当0a1时，a11，f(a)a，f(a1)2(a11)2a，f(a)f(a1)，a2a，1解得a4或a0(舍去)1fa

48、f(4)2(41)6.当a1时，a12，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，2(a1)2a，无解1综上，fa6.【总结升华】1分类讨论的原则(1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论2分类讨论的本质与思维流程(1)分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”(2)分类讨论的思维流程：明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)高频考点十七、数列问题化归为函数问题解决例17、某厂2017年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建

49、设，1月份投入资金建设恰好与1月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则全年总利润M与全年总投入N的大小关系是()AMNBMx=5=y=5-1=4所以原数是504类型九：列二元一次方程组解决浓度问题【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设10%的X克，85%的Y克X+Y=12X*10%+Y*85%=12*45%即：X+Y=12X+8.5Y=54解得：Y=5.6答：略【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加

50、水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？解：800千克1.75%的农药中含纯农药的质量为8001.75%=14千克含14千克纯农药的35%的农药质量为1435%=40千克由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760千克答：用40千克浓度为35%的农药添加760千克的水，才能配成浓度为1.75%的农药800千克。类型十：列二元一次方程组解决几何问题【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？解：设长方形的长宽分别为x和y厘米，则2(x+y)=48x-3=y+3解得：x=15

51、，y=9正方形的面积比矩形面积大（x-3）（y+3）-xy=（15-3）（9+3）-15*9=144-135=9（cm）答：略【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？类型十一：列二元一次方程组解决年龄问题【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.解：设小李X岁，爷爷Y岁，则5X=Y3（X+12）=Y+12两式联立解得：X=12Y=60所以小李今年12岁，爷爷今年60岁。类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题：【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生

52、产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？解：(1)分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台()购进甲、乙两种电视机解得()购进甲、丙两种电视机解得()购进乙、丙两种电视机解得(不合实际，舍去)故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台(2)按方案()，获利1502520

53、0258750(元)；按方案()，获利15035250159000(元)选择购进甲种35台和丙种15台三、列方程解应用题1将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？2兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？3将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，3.14）4有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50