2020高考人教数学(理)一轮复习检测第三章第六节解三角形的综合应用Word版含解析

1、1.(2018临川模拟)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()ABCD解析：选D.对于可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离2(2018广西五校联考)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东

2、65，那么B，C两点间的距离是()A102海里B103海里C203海里D202海里解析：选A.画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ABC4065105，ACB45，BCAB根据正弦定理得sin30sin45，解得BC102(海里)3(2018昆明检测)一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50mB100mC120mD150m解析：选A.作出示意图如图所示，设水柱高度是m，水柱底端为C，则在AB

3、C中，A60，ACh，AB100，在RtBCD中，BC3h，根据余弦定理得，(3h)2h210022h100cos60，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50m.4(2018太原二模)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则AC的长为()A7kmB8kmC9kmD6km解析：选A.在ACD中，由余弦定理得：AD2CD2AC234AC2cosD.2ADCD30在ABC中，由余弦定理得：AB2BC2AC289AC2cosB2ABBC80.因为BD1

4、80，所以cosBcosD0，即34AC289AC20，解得AC7.30805(2018烟台模拟)如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A5(62)kmB5(62)kmC10(62)kmD10(62)km解析：选C.由题意知BAC603030，CBA304575，所以ACB180307575，故AC1AB，因为AB40220，所以ACAB20.在ABC中，由余弦定理得，BC2AC2AB22ACABcosCAB40040

5、022020cos30400(23)，故BC400（23）（）210(62)200316(2018九江模拟)如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则BC的长为_解析：在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210 xcos60，整理得x210 x960，解得x1，2舍去16x6()BCBD在BCD中，由正弦定理：sinCDBsinBCD，所以BC16sin135sin3082.答案：827如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处

6、，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析：在ABC中，BAC30，CBA105，ACB45.又AB600m，BCAB由正弦定理sinBACsinBCA，得BC3002m.在RtBCD中，DBC30，BC3002m，DC3tanDBCBC3，DC1006m.答案：10068(2018南长沙一中模拟湖)沿海某四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中ABC60，BCD135，AB80nmile，BC(40303)nmile，CD2506nmile，D位于A的北偏东75方向现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到

7、指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西，则sin_解析：如图，设船行驶至F处时收到指令，为正北方向，为正南方向，则，连接，AMFNAF50nmileACCF过A作AEBC于E，则AE80sin60403(nmile)，BEABcos6040(nmile)，CEBCBE303nmile，ACAE2CE2503nmile，ACE3，sinACE4，所以cosACDcos(135cos55ACACE)10CD，所以CAD90.又AF50nmile，AC503nmile，所以AFC60，所以CFNAFNAFCMAFAFC15，故sin62.4答案：6249在ABC中，角A，B

8、，C所对的边分别为a，b，c，且满足a(sinAsinC)csinCbsin(AC)(1)求角B；13(2)若b63，sinC13，求ABC的面积S.解：(1)因为ACB，所以由已知得a(sinAsinC)csinCbsin(B)，即a(sinAsinC)csinCbsinB根据正弦定理可得a(ac)c2b2，即a2c2b2ac，a2c2b21由余弦定理得cosB2ac2，2因为0B，所以B3.2(2)因为B3，所以C为锐角，故cosC1sin21132239，C1313所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC22392133239113sin313cos3132132135

9、1326.513bsinA63263013由正弦定理，得asinB313.211301313903所以ABC的面积S2absinC213631313.10在某海域A处正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距40海里的C处的救援船，救援船立即朝北偏东角的方向沿直线CB前往B处救援(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间；(2)求tan的值解：(1)在题图中的ABC中，AB80，AC40，BAC120，由余弦定理可知：BC2AB2AC22ABACcos120，即BC2802140228040211200，故B

10、C407，故救援船到达客轮遇40727险位置所需时间为603小时(2)在ABC中，由正弦定理可得ABBC?sinsinACBsinBACAB21ACBBCsinBAC7，显然ACB为锐角，故cosACB27，tanACB3，而ACB30.72tanACBtan3053.故tantan(ACB30)tan30tanACB31B级能力提升练11(2018山师附中质检)某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是1、1、1，则此人将()13115A不能作出满足要求的三角形B能作出一个锐角三角形C能作出一个直角三角形D能作出一个钝角三角形解析：选D.设三角形三边长为a，b，c.根据三角形面积相等得S

11、1111112a132c52b11，a26S，c10S，b22S.由大角对大边得26S对应的角最大，（10S）2（22S）2（26S）2cosA210S22S231100.又A(0，)，A为钝角，故D正确12(2018漳州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为3a，b，c，且2ccosB2ab，若ABC的面积为12c，则ab的最小值为()11A.2B31C.6D3解析：选B.由正弦定理及2ccosB2ab，得2sinCcosB2sinAsinB因为ABC，所以sinAsin(BC)，则2sinCcosB2sin(BC)sinB，即2sinBcosCsinB0，又0B，所以sinB0，则c

12、osC1因为，所以2，所以2.0CC33133sinC2，则ABC的面积为2absinC4ab12c，即c3ab，结合c2a2b22abcosC，可得a2b2ab9a222b22ab，b.a当且仅当ab时取等号，2abab9a2b2，即ab13，故ab的最1小值是3，故选B.13(2018宜昌模拟)如图所示，在海岛A上有一座海拔3千米的山峰，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20且俯角为30的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40且俯角为60的C处，则该船的航行速度为_km/h.解析：在RtPAB中，APB60，PA3，所以AB3

13、.在RtPAC中，APC30，所以AC1.在ACB中，CAB204060，所以BC11921327.则船的航行速度为17667(km/h)答案：6714(2018济南二模)已知函数f(x)mn，其中向量m(sinxcosx，3cosx)，n(cosxsinx，2sinx)，0，若f(x)的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于.(1)求的取值范围；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a3，当最大时，f(A)1，求ABC的面积的最大值解：(1)由题意知f(x)mncos2xsin2x3sin2xcos2x3sin2x2sin2x6.T122222，0，102.(2)由(1)知ma

14、x1，f(A)2sinA1，62即sinA162.75又0A，6A66，A66，得A23.1又由余弦定理得a23b2c22bc23bc，即bc1.1133SABC2bcsinA2124.ABC的面积的最大值为34.15某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)BCDCDE293，BAE3，DE3BC3CD10km.(1)求道路BE的长度；(2)求生活区ABE面积的最大值解：(1)如图，连接BD，在BCD中，BD2BC2CD2323232227，22BCCDcosBCD

15、101010cos31003BD10km.2BCCD，CDBCBD326，2又CDE3，BDE2.在RtBDE中，BEBD2DE23329233(km)101053故道路BE的长度为5km.(2)设ABE，BAE，AEB2.33ABAEBE33在ABE中，易得sinAEBsinABEsinBAE5sin365，626AB5sin3，AE5sin.S193293ABE2ABAEsin325sin3sin251193112732)2sin2642524100(km2703，6266.ABE取得最大值，最大值为273当262，即3时，S100km2，故生活区ABE面积的最大值为273100km2.C

16、级素养加强练16(2018江西南昌模拟)在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台，看台，三角形水域ABC及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)看台，看台分别是以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD10米；三角形水域ABC的面积为4003平方米设BAC.(1)当6时，求BC的长；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价解：(1)因为看台的面积是看台的面积的3倍，所以AB3AC.在ABC中，SABC12ABACsin4003，所以AC2sin800.由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos4AC2480080023AC2cossin23sincos160023