2022届湖北省华中师大一附中高三下学期4月教学质量测评理科数学试题（解析版）

1、机密启用前（全国卷理科数学）华大新高考联盟2022届高三4月教学质量测评理科数学本试题卷共4页，共23题（含选考题）.满分150分，考试用时120分钟祝考试顺利注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.2.选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3.非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.4.考试结束，

2、监考人员将答题卷收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集，集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知复数，那么的虚部为（ ）A.B.C.4D.3.某电影院新上映了一部电影，星期一至星期四的票房（单位：千万元）如下表所示，根据表中数据拟合得到的这部电影票房的回归直线方程的斜率为0.25，那么由此可以预测星期五这部电影的票房约为（ ）时间星期一星期二星期三星期四票房4.14.44.54.9A.5.0B.5.1C.5.2D.5.34.在半径为10的圆上有三点，其中，两点的坐标分别为、.现有两个命题：若为60，则三角形的面积为；：

3、若，则四边形的面积为.那么下列选项是真命题的是（ ）A.且B.或C.非且非D.非或5.在等腰直角三角形的斜边上有一点.已知，若，则（ ）A.B.C.0D.6.中国习俗讲究“十全十美、红红火火”.某次元宵节游园会中有这么一个活动：一个不透明的箱子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中有5个红球，10个黑球，每次随机取出一球（取出后不放回），取出的第10个球为红球则获得小礼品一份，每人只能参与该游戏一次.则小明参与该游戏获奖的概率为（ ）A.B.C.D.7.已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为1，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（ ）A.24B.C.48

4、D.8.已知函数（为实数）的最大值为，则的值为（ ）A.B.C.0D.9.在平面直角坐标系中，有一条抛物线：，其焦点为，在轴上任取一点，作轴交抛物线于点，则的概率为（ ）A.B.C.D.010.已知实数，均为正数，且满足，那么的最小值为（ ）A.1B.C.D.11.已知函数（为实数），且，则函数在区间上的极值点的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412.双曲线：的左、右焦点分别为，若在双曲线上有一点使得三角形为直角三角形，且该三角形某个锐角的正切值为，那么该双曲线离心率的最大值为（ ）A.B.C.D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数、满足约束条件，则的最大值为_

5、.14.曲线的法线是指垂直于曲线上一点的切线的直线，则曲线在点处的法线方程为_.15.已知数列的前项和，且，则_.16.已知，且，那么_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生按照要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知是公差不为零的等差数列，而是等比数列，其中，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式.18.（12分）如图所示，在高为的圆台内部存在四面体，其中点为圆台上底面的圆心，点为圆台下底面的圆心，而三角形为底面圆内接的边长为6的正三角形.（1）求二面角的余弦值；（2）

6、若上底面圆的半径为，求圆台的表面积.19.（12分）某大学2021届毕业生共10000人，该校于6月份发布了2021年度毕业生就业与深造质量报告.如下表所示：东部地区西部地区中部地区总计国有单位142097110743465民营企业1651110813994158深造学习8896936952277总计396027723168（1）请根据上表求出与该校2021届学生的就业率（深造学习不属于就业范畴）；（2）该校2022届预计有毕业生12000人，请根据表中数据估计其中有多少人会在民营企业工作；（3）若在前往西部地区工作的人当中随机抽取3人，记其中继续深造学习的人数为，求的分布列以及数学期望.20

7、.（12分）已知椭圆：的离心率为，长轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）点为椭圆内部一点，其与椭圆的左焦点以及上顶点构成的为等边三角形，试求外接圆的方程.21.（12分）已知函数.（1）讨论在定义域内的极值；（2）令，若存在多个极值点，且为其极小值点，求证：.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线满足参数方程为参数且.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上一动点，且极坐标为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲（10

8、分）已知函数.（1）画出函数的图象；（2）求不等式的解集.机密启用前（全国卷理科数学）华大新高考联盟2022届高三4月教学质量测评理科数学参考答案和评分标准一、选择题1.【答案】B【命题意图】本题考查集合的运算与一元二次不等式的求解，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】通过计算可以得到，所以.2.【答案】C【命题意图】本题考查复数的概念及简单运算，考查考生数学运算的核心素养.【解析】由可得其虚部为4.3.【答案】B【命题意图】本题考查回归直线，考查考生数学运算、数学建模的核心素养.【解析】由回归直线的计算公式，当斜率已知时，截距可由得出，因此可以计算得到这部电影票房的回归直线为，将代

9、入上述方程可以得到星期五这部电影的预测票房为5.1千万元.4.【答案】B【命题意图】本题考查圆的性质、向量运算与逻辑联结词，考查考生直观想象、数据分析、逻辑推理的核心素养.【解析】，都在圆上，线段的长度为20，因此为直径，故三角形为直角三角形，有一个角为60，因此其面积为，为真命题.而与垂直，因此四边形的面积应当为，为假命题.则只有或为真命题.5.【答案】A【命题意图】本题考察平面直角坐标系的建立以及向量运算，考查考生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】由题意可建立平面直角坐标系，令，则，所以有；而，又在上，所以有.因此，则6.【答案】B【命题意图】本题考查随机事件发生的概率以及排

10、列组合，考查考生数学运算、数学抽象、数学建模的核心素养.【解析】（方法一）从箱子中逐次取出15个球，一共有种取法，而第10个球确定为红球，有5种取法，其余14个球可以随机排列，共有种方式，因此取出的第10个球为红球的概率为（方法二）可以类比为3个小球，2黑1红，取出的第二个小球为红球的概率为（红黑黑、黑红黑、黑黑红）.7.【答案】B【命题意图】本题考查空间想象能力、正三棱锥的性质以及空间几何体的表面积、体积计算，考查考生数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养.【解析】由外接球的体积可知外接球的半径为3.正三棱锥的内切球与外接球的球心是相同的，故此正三棱锥为正四面体.因此正三棱锥的高的长度为4，

11、而点也为等边三角形的中心.如图，设正三棱锥的棱长为，则的长度为，由于与垂直，由勾股定理可以列出方程，求解得到.因此这个正三棱锥的一个面的面积为，则此正三棱锥的表面积为.8.【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的性质与运算，考查考生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】可以将函数化简为，则其最大值为，因此，所以9.【答案】A【命题意图】本题考查抛物线的焦点公式、两点之间距离公式，考查考生逻辑推理的核心素养.【解析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离.该抛物线的准线方程为，设点的横坐标为，则可以求解得到，即只要点的横坐标在区间即可，而横坐标的取值范围为，因此概率

12、为10.【答案】D【命题意图】本题考查对数函数、幂函数的性质与基本不等式，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】对题中式子进行以为底的对数处理，可以得到，由于，因此，也就是说，互为倒数.由基本不等式，得，当且仅当，即，时，等号成立.而以为底的指数函数是单调递增的，因此的最小值为.11.【答案】C【命题意图】本题考查三角函数二倍角公式与函数极值点，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】首先由已知条件可以得到，因此或，由的取值范围可知.此时导函数为，而在上单调递增，所以在上仅有一个零点.因此函数在上先单调递减再单调递增，又，即在上存在一个极值点.同理可知在上也存在一个极值点，因此在

13、上共有3个极值点.12.【答案】C【命题意图】本题考查解析几何中双曲线的性质，考查考生数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养.【解析】设焦点的坐标为，由于双曲线是对称图形，故我们只需要考虑点在第一象限的情况，此时可分为三类：为直角，的正切值为.此时为通径长度的一半，而，由正切函数的定义知.双曲线满足，而离心率，联立这些公式，可以得到，由于，可以求解得到；为直角，的正切值为.此时，由正切函数的定义知，同理可得，可以求解得到；点在右支，又，综上所述，该双曲线离心率的最大值为.二、填空题.13.【答案】3.【命题意图】本题考查线性规划，考查考生数学运算、直观想象的核心素养.【解析】不等式组表示的平面

14、区域为如图，三点组成的三角形.通过观察可知，当直线过点时，有最大值.点的坐标为，因此的最大值为3.14.【答案】【命题意图】本题考查利用函数导数求切线，考查考生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】由函数的求导法则可以得到，因此在即点处的切线的斜率为，则法线的斜率为，因此法线方程为.15.【答案】【命题意图】本题考查数列的性质及递推关系，考查考生数学抽象、逻辑推理的核心素养.【解析】由题意可知，因此，因此，则16.【答案】2.【命题意图】本题考查导数的运算法则的综合运用，考查考生数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.【解析】等式两边同时乘可得，因此.由可计算得到常数项，因此，三、解

15、答题17.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，考查考生数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】（1）设，由题意知，即，求解得到，因此通项公式为（2）由数列的通项公式可知，因此，即因此通项公式为.18.【命题意图】本题考查空间想象能力、四面体和圆台的概念和性质、二面角的计算，考查考生直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】（1）连接，由圆台的性质可知，延长交于点，由可知点为等边的中心，因此由三垂线定理可知，二面角的大小等于平面角，由等边边长为6易知，而因此二面角的余弦值（2）记过点的母线与顶面交于点，做且交于点，因此圆台的表面积19.【命题意图】本题考查阅读表格的能力

16、、随机事件发生的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，考查考生数学运算、数学建模、逻辑推理的核心素养.【解析】（1）通过表格可知，因此该校2021届学生的就业率为（2）根据表中数据可知，2021届毕业生在民营企业工作的概率为，因此2022届毕业生中预计有4990人在民营企业工作.（3）在前往西部地区工作的人中，继续深造学习的概率为，因此，则故的分布列为：0123故20.【命题意图】本题考查椭圆方程的概念和性质、等边三角形的性质，考查考生数学运算、直观想象、数学抽象逻辑推理的核心素养.【解析】（1）由已知条件知离心率，长轴，故，所求的椭圆方程为（2）由（1）可得，设点的坐标为，由为等边三角形，

17、可得，因此，求解可以得到或由于点在椭圆内部，因此需满足，由此可以排除后一种情况，得到点的坐标为等边三角形外接圆的圆心即为其中心，因此圆心坐标为，半径为，故外接圆的方程为21.【命题意图】本题考查初等函数求导公式、求导法则、分类讨论能力，考查考生数学运算、数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养.【解析】（1）当时，在定义域内单调递减，无极值.当时，；当时，在定义域内恒小于0，因此在定义域内单调递减，无极值；当时，令，可以得到在上，单调递减，在上，单调递增，因此为的极小值点.综上所述，只有当时，有极小值，无极大值.（2）当时，在定义域内无极值，与题意矛盾；当时，则等价于，即的极值点为的零点，当时，由第（1）问可知，在定义域内只有一个零点，即只有一个极值点，与题意矛盾；当时，有极小值，若，则在定义域内不多于一个零点，即无多个极值点，与题意矛盾若，即，则在定义域内存在两个零点，此时，在左侧零点处取得极大值，在右侧零点处取得极小值，满足题意，因此，即，即22.【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化、三角函数的性质，考查考