制图基本知识与技能第02章

1、第2章 正投影基础 投影法2.1三视图的形成及其投影规律 2.2点的投影 2.3直线的投影 2.4平面的投影 2.5【学习目标】理解投影法的基本概念和分类。 掌握平行投影尤其是正投影的基本性质。 掌握三视图的形成及其投影规律。 掌握点、直线、平面的投影规律。 学会利用换面法求解几何问题。 2.1 投影法 2.1.1 投影法的基本概念 2.1.2 投影法分类2.1.3 正投影的基本性质 2.1.1 投影法的基本概念 投影法就是投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。投影所得到的图形，称为投影；投影法中得到投影的面，称为投影面。 2.1.2 投影法分类 根据投射线之间的相互关系，投

2、影法可分为中心投影法和平行投影法。1中心投影法 投射线汇交于一点的投影法称为中心投影法。2平行投影法 投射线相互平行的投影法称为平行投影法。 在平行投影法中，根据投射线与投影面的角度不同，又分为以下两种。正投影法：投射线与投影面相互垂直的平行投影法。斜投影法：投射线与投影面相互倾斜的平行投影法。 中心投影法 平行投影法 2.1.3 正投影的基本性质 1真实性 直线或平面平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，这种投影特性称为真实性。2积聚性 直线或平面垂直于投影面时，直线的投影积聚成点，平面的投影积聚成直线，这种投影特性称为积聚性。3类似性 直线或平面倾斜于投影面时，直线的投影是小于

3、实长的直线，平面的投影是原平面的类似形，但面积小于原平面，这种投影特性称为类似性。2.2 三视图的形成及其投影规律 2.2.1 三视图的形成2.2.2 三视图的投影规律2.2.1 三视图的形成 1投影面的设立 空间3个相互垂直的投影面形成三投影面体系，这3个投影面分别如下： 正立投影面，简称正面，用V表示。 水平投影面，简称水平面，用H表示。 侧立投影面，简称侧面，用W表示。 两投影面之间的交线称为投影轴，相互垂直的3根投影轴分别用OX、OY、OZ表示。 OX轴V面和H面的交线。 OY轴H面和W面的交线。 OZ轴V面和W面的交线。 投影轴的交点O称为原点。 2三视图的形成 从物体的前面向后投影

4、，在V面上得到的视图称为 主视图。从物体的上面向下投射，在H面上得到的视图称为 俯视图。从物体的左面向右投射，在W面上得到的视图称为 左视图。3投影面的展开 要把3个视图画在同一张图纸上，就需要把3个投影面展开成一个平面。保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转90，W面绕OZ轴向右旋转90，使H面、W面与V面形成同一平面，在旋转过程中，需将OY轴分解成两个，随H面的称为OYH，随W面的称为OYW。展开后三视图的位置是：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。国家标准规定，如此配置视图时不标注视图的名称，也不需要画出投影轴和表示投影面的边框。 2.2.2 三视图的投影规律 三视图的投影规律：

5、主视图与俯视图长对正主视图与左视图高平齐俯视图与左视图宽相等 主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即高度和长度。 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即长度和宽度。 左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即高度和宽度。 “长对正、高平齐、宽相等”是三视图画图和看图必须遵循的最基本的投影规律。 在俯视图和左视图中，靠近主视图的一边都反映物体的后面，远离主视图的一边则反映物体的前面。物体的宽度在俯视图中为竖直方向，在左视图中为水平方向。因此在量取宽度时，不但要注意起点，还要注意量取的方向。 2.3 点的投影 2.3.1 点的三面投影2.3.2 两点的相对位置2.3.1 点的三面投影 1点的三面

6、投影 在三投影面体系中，有一空间点A，过A点向V面投射得到A点的正面投影a，向H面投射得到A点的水平投影a，向W面投射得到A点的侧面投影a。 2点的直角坐标与投影规律 A点的3个直角坐标（XA,YA,ZA）与其3个投影a、a、a的关系如下：点A到H面的距离： Aa =aaX=aaYW=OaZ=ZA点A到V面的距离： Aa=aaX =aaZ =OaY=YA点A到W面的距离：Aa=aaZ=aaYH =OaX=XA 点的正面投影a和侧面投影a的连线垂直于OZ轴，即aaOZ。点的正面投影a和水平投影a的连线垂直于OX轴，即aaOX。点的水平投影a到OX轴的距离等于侧面投影a到OZ轴的距离，即aaX=a

7、aZ。 点在三投影面体系中的投影规律：【案例2-1】已知点B的投影b和b，求作b。 过b作直线垂直于OYW轴与45辅助线相交，过交点作直线平行于OX轴； 过b作直线垂直于OX轴，与以上直线相交于点b，即为所求。【案例2-2】已知点A（18,10,15），求作A点的三面投影。 画出投影轴，在OX轴上量取18，得到aX 过aX作OX的垂线，在此垂线上向下量取10得a；向上量取15得a 由投影a、a作出a 3特殊位置点的投影规律 （1）投影面上的点。投影面上的点的一个坐标为0，有一个投影在投影面上，另外两个投影分别在投影轴上。（2）投影轴上的点。投影轴上的点的两个坐标为0，有两个投影在投影轴上重合，

8、另一个投影在原点。（3）与原点重合的点。与原点重合的点的3个坐标都为0，3个投影都与原点重合。2.3.1 两点的相对位置 1两点的相对位置 空间两点的相对位置是指两点在空间的左右、前后、上下的位置关系，由两点的坐标差来决定。常选其中一点作为基准点，以它为参照来判断与另一点的相对位置。左右位置由正面和水平投影来判断，X坐标大的在左。前后位置由水平和侧面投影来判断，Y坐标大的在前。上下位置由正面和侧面投影来判断，Z坐标大的在上。 A点和B点的坐标分别为（XA,YA,ZA）和（XB,YB,ZB），若以A点为基准点，则B点对A点的一组坐标差分别为： X轴方向坐标差：xXBXA Y轴方向坐标差：yYBY

9、A Z轴方向坐标差：zZBZA x、y、z为正时，则B点在A点的左、前、上方。若x、y、z为负，则B点在A点的右、后、下方。下图的B点在A点的右、后、上方。【案例2-3】已知点A的三面投影，点B在其右方14、上方12、前方8，求作B点的三面投影。 由aX沿X轴向右量取x=14，得到bX，过bX作直线垂直于OX轴，沿OYH轴向前量取y=8，得到b，沿OZ轴向上量取z=12，得到b。 由两个投影求出第三投影 。 2重影点 当空间两点处于同一投射线上时，这两点在该投射线垂直的投影面上的投影重合，这两点称为对该投影面的重影点。 重影点有两个坐标相同，可以由另一个不同的坐标来判断其可见性。对重合投影所在

10、投影面的距离，即对该投影面的坐标值较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的，不可见的投影须加注括号。 对正面、水平和侧面投影的重影点的可见性判别分别是前遮后、上遮下、左遮右。 2.4 直线的投影 2.4.1 直线的三面投影2.4.2 各种位置直线的投影2.4.3 一般位置直线的实长及与投影面的倾角 2.4.4 直线上的点2.4.5 两直线的相对位置2.4.1 直线的三面投影 直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为一点。画直线的投影，可先画出直线两端点的投影，然后用直线连接其同面投影。 2.4.2 各种位置直线的投影 按与投影面的相对位置，直线分为3类：一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直

11、线。后两类又称为特殊位置直线。 直线一般位置直线特殊位置直线投影面平行线投影面垂直线 与3个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线，它对H、V、W这3个投影面的倾角分别用、来表示，3个投影的长度如下：ab=ABcosABab=ABcosABab=ABcosAB 一般位置直线的投影特性如下：（1）直线的3个投影的长度均小于实长。（2）直线的3个投影都与投影轴倾斜，且与投影轴的夹角均不反映空间直线对投影面的倾角。 1一般位置直线的投影特性 平行于一个投影面、倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。投影面平行线又分为以下3种：正平线：平行于V面，倾斜于H、W面。水平线：平行于H面，倾斜于V、W面。

12、侧平线：平行于W面，倾斜于V、H面。 投影面平行线的投影特性总结如下：（1）直线在所平行的投影面上的投影为反映实长的斜线，它与投影轴的夹角等于直线对另外两个投影面的倾角。（2）其余两投影的长度均小于实长，并平行于相应的投影轴。投影面平行线的三面投影特性可以概括为“一斜两平”，即三面投影中，一个是斜线，另两个与相应投影轴平行。 2投影面平行线 侧平线（W，对V、H倾斜）水平线（H，对V、W倾斜）正平线（V，对H、W倾斜） 垂直于一个投影面、同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。投影面垂直线又可分为以下3种。正垂线：垂直于V面，平行于H、W面。铅垂线：垂直于H面，平行于V、W面。侧垂线：

13、垂直于W面，平行于V、H面。投影面垂直线的投影特性总结如下。（1）直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。（2）其余两投影反映线段实长，并分别垂直于相应的投影轴。 投影面垂直线的三面投影特性可以概括为“一点两垂”，即三面投影中，一个积聚成点，另两个与相应投影轴垂直。3投影面垂直线侧垂线（W，OX）铅垂线（H，OZ）正垂线（V，OY）2.4.3 一般位置直线的实长及与投影面的倾角 直角三角形法求一般位置直线的实长和对投影面倾角的方法。 一般位置直线AB的投影如图所示，在四边形ABba中，过A点作AB1/ab，交Bb于B1点，得到直角三角形ABB1。其中一条直角边AB1=ab；另一直角边BB1=B

14、bAa=Z，即线段两端点对H面的距离差；斜边AB即为空间线段的实长；AB与AB1的夹角就是AB对H面的倾角。 在投影图中求线段AB的实长和对H面的倾角的步骤如下： 以水平投影ab为一直角边； 过b作ab的垂线，在其上量取bBo=ZBZA=Z，以Z为另一直角边； 连接aBo得直角三角形abBo，其中斜边即为线段AB的实长，斜边与水平投影ab的夹角即为AB对H面的倾角。 另一种直角三角形法的作图方法，步骤如下： 过a作OX轴的平行线与bb交于点b0； 量取b0A0=ab； 连接bA0得直角三角形bA0b0，其中斜边bA0即为线段AB的实长，bA0b0为AB对H面的倾角。 直角三角形法的作图要领总结

15、：以线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长之间的夹角即为线段对该投影面的倾角。 直角三角形法中有4个要素：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角，只要知道其中的任意两个，便可确定出另外两个。【案例24】已知线段AB的水平投影ab、点A的正面投影a及AB对H面的倾角=30，求线段AB的正面投影ab。 由ab和=30作直角三角形abB； 过a作OX轴的平行线，过b作OX轴的垂直线，由两直线的交点向上、向下量取bB，即得B点的正面投影b； 连接ab即为所求，此题有两解。 【案例25】已知线段A

16、B的正面投影ab、点A的水平投影a、AB的实长30，求线段AB的水平投影ab。 过b作OX轴的垂线，过a作OX轴的平行线，两线交于b0； 以b为圆心、30为半径画弧，与ab0的延长线交于A0； 以a为圆心、b0A0为半径画弧，与bb0的延长线交于b； 连接ab即为所求。 2.4.4 直线上的点 若点在直线上，则点的各面投影必在该直线的同面投影上；反之，如果点的各面投影都在直线的同面投影上，则该点一定在该直线上。属于直线上的点，其投影仍属于直线的投影，且点分线段的比例投影后不变，即AKKB=akkb=akkb=akkb。 已知直线AB的正面投影ab、水平投影ab以及直线上点K的正面投影k，求其水

17、平投影k。 方法1：1求出AB的侧面投影ab；2求出K的侧面投影k；3依投影规律，由k、k求出k 。方法2：1过a点作辅助线；2量取a k0=ak，k0 b0 =kb；3连接b0 b，过k0作b0b的平行线交ab于k点，即为所求。 2.4.5 两直线的相对位置空间两直线的相对位置 同面直线 异面直线 平行 相交 交叉 若空间两直线相互平行，则它们的各组同面投影必相互平行；反之，若两直线的各组同面投影均相互平行，则两直线在空间必定相互平行。1两直线平行 两直线平行的判定方法如下：（1）当两直线均为一般位置时，只要有两对同面投影互相平行就可判定两直线在空间平行。（2）当两直线均为某一投影面的平行线

18、时，则需根据它们在所平行的那个投影面上的投影是否平行来判定两直线是否平行。（a）平行 （b）不平行 若空间两直线相交，则它们的各组同面投影都相交，且交点的投影符合点的投影规律；反之，若两直线的各组同面投影都相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直线在空间必相交。 当直线为某一投影面的平行线时，它们是否相交需要进一步判断，通常有以下两种判定方法。 2两直线相交 （1）用定比的方法判定。（2）用两条直线的第三投影来判定。 直角投影定理如果两直线垂直，只要其中一条直线为投影面平行线，则在所平行的投影面上两直线的同面投影必相互垂直。 已知直线AB与直线BC在空间相互垂直，AB平行于H面。因为ABB

19、C，ABBb，由几何定理可知：AB必垂直BC和Bb所决定的平面Q及Q面上的任一直线（如BC1、BC2、bc等），又已知ABab，所以ab也必垂直于Q面及Q面上的任一直线，即abcb 。 两直线的一个投影互相垂直，在空间不一定互相垂直，只有符合直角投影定理的条件才是空间相互 垂直的直线。 如果空间两直线既不平行也不相交，则称为两直线交叉。交叉两直线的投影可能有1组、2组甚至3组都是相交的，但它们的交点不符合点的投影规律，是重影点的投影。 判断交叉两直线重影点可见性的步骤为：从重影点入手画一根垂直于投影轴的直线到另一个投影，就可以得到重影点不重合的两个投影点，两个点中坐标值大的点为可见点，坐标值小的点为不可见点，不可见点的投影应加括号。 3两直线交叉2.5 平面的投影 2.5.1 平面的表示法2.5.2 各种位置平面的投影2.5.3 平面上的直线和点 2.5.1 平面的表示法 不在同一直线上的3个点；直线及直线外一点；两平行直线；两相交直线；任意平面图形。 平面的空间位置可由下列几种方法来确定：2.4.2 各种位置平面的投影 根据与投影面的相对位置不同，平面分为3类：一般位置平面、投影面平行面和投影面垂直面。后两类又称为特殊位置平面。 平面一般位置平面特殊位置平面投影面平行面投影面垂直面 对3个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面。平面对H、V、