三阶行列式与代数余子式的关系

1、三阶行列式与代数余子式的关系 8.1 行列式的定义它可以通过加减消元法求解得 (1.1.1) 一、二阶与三阶行列式 在初等数学中,大家都学过二元一次线性方程组 本节首先由二元与三元一次线性方程组引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给出一般 阶行列式定义.并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的线称为主对角线.每一个数均称为一个元素.如(1.1.3)中有四个元素,排为两行两列,分别称为第一行、第二行和第一列、第二列,而主对角线上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义式. 为了便于表示上式,我们引入记号 ,规定:(1.1.3) (1.1.

2、2)例如 于是(1.1.2)式便可以表示为:其中称其为方程组(1.1.1)的系数行列式 注1:从以上易见,行列式 恰好是将系数行列式 中的两个 的系数分别换为常数项后得到的行列式,而 恰好是将系数行列式 中的两个 的系数分别换成常数项后所得到的行列式. 解 易见系数行列式 又 例1解方程组 于是其解为 对于三元一次线性方程组 类似地,为了表示其解,我们引入记号并定义 称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行,纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右下角的线称为主对角线. 仿照前面,利用三阶行列式的概念,记方程组(8.1.6)的系数行列式为 ,然后将 中的第一、二、三列元素分别换为常数项

3、 、 、 后便得到行列式 、 和 ,于是方程组(8.1.6)的解可表示为 : 例2 解方程组 解 系数行列式于是,该方程组的解为 在一个行列式中,称去掉某个元素 所在的行和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素 的余子式,记作 , 而 称为元素 的代数余子式,记作 ,即 如在行列式 中元素5的代数余子式为 元素-4的代数余子式为 二、阶行列式定义 由此可见,二阶行列式的值等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.2.行列式与代数余子式的关系(1).二阶行列式与代数余子式的关系同理可推出 可见三阶行列式的值等于其第一行的各元素与其对应的代数余子式乘积的和. 类似可证,它还等于

4、其它行或列的各元素与其对应的代数余子式乘积的和 由此可见,三阶行列式的值也等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.(2).三阶行列式与代数余子式的关系 综上可见,行列式的值等于其任意一行或任意一列的元素与其对应的代数余子式乘积的和.例3 计算 解 2. 阶行列式的定义 定义8.1 把由 个元素 ,组成的记号称为 阶行列式,记作 ,其中 称为第 行第 列的元素规定,当 时 行列式 当 时 行列式 或并分别称(1.1.9)(1.1.10)式为 阶行列式 按照第 行和第 列的展开式.(1.1.9)(1.1.10)例4 设四阶行列式 按第2列展开该行列式并求值 解 注2:易见该题假

5、设按其它行或列展开计算时就会复杂一些,因此计算行列式时应注意选择零元素较多的行或列展开,以减少余子式的个数,从而简化计算.例5 按定义分别计算 解 注3:形如该例中 的行列式称为上三角形行列式,类似还有下三角形行列式,由例5的计算可见上三角形行列式的值就等于主对角线上的元素乘积;同理可证,下三角形行列式的值也等于主对角线上的元素乘积.综合起来可以说成三角形行列式的值等于主对角线上的元素乘积. 习题8-11.计算下列行列式(1) (2) (3) (4) 请分别按第1行和第3列展开该行列式,并比较哪一种计算简单些,最后按简单的方式算出其值. 在给出行列式性质之前,首先给出行列式的转置概念. 8.2

6、 行列式的性质如果将行列式 的行和列的元素互换,则得一新的行列式 按定义计算行列式显然是很不方便,尤其是当阶数比较高的情况下就更困难了,为了简化行列式的计算,本节不加证明的给出行列式的性质.称该新行列式为原来行列式 的转置行列式,简称为 的转置,记作 .即 注1:显然若 是 的转置,则 也是 的转置,即 与 互为转置. 性质1 行列式转置值不变,即易见 注2:该性质告诉我们,在行列式中行和列的地位是平等的,但凡行具有的性质对于列也具有. 性质2如 推论1 假设行列式中有两行(或两列)元素对应相等,那么该行列式的值为零. 因为如果行列式 中有两行(或两列)元素对应相等的话,互换这两行(两列)元素

7、的位置行列式不会变,还为 ;但另外由性质2知这两行(两列)元素的位置互换行列式须改变符号, 变为 ,于是必有 性质3 用 乘以行列式的某一行(列)的各元素,就等于用 乘以该行列式,即 推论2 假设行列式的某一行(列)有公因子,那么公因子可以提到行列式的前面. 推论4 假设行列式中有一行(列)元素全部为零,那么该行列式的值必为零. 事实上,当性质3中的常数 时,即得该结论. 推论3 假设行列式中某两行(列)的元素对应成比例,那么该行列式的值必为零 性质4 假设行列式的某一行(列)的各元素均可以写成两个数之和,那么该行列式可以写成两个行列式之和,这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元

8、素,其它位置的元素还是原来的.以三阶行列式为例,可将性质4表示为例1 利用行列式的性质计算(1) (2)解 (1)因为 所以 故 (2) (2) 性质5 将行列式的某一行(列)的各元素同乘以常数 后加到另一行(列)对应位置的元素上去,行列式的值不变.例2 计算 将该行列式的每一行均提出解 性质6 行列式 的某一行(列)元素与该行(列)元素所对应的代数余子式乘积的和等于该行列式 ,而与另一行(列)元素所对应的代数余子式乘积的和等于零,即 习题8-2第三行同时提出第二行同乘以 加到第一行上去第一行与第三行对应元素相等.(1) (2) (3) 8.3 行列式的计算 首先,介绍一下行列式计算中所使用的

9、一些符号 (1)把第 行(列)与第 行(列)元素的位置互换时,用符号 来表示; (2)把第 行(列)的元素同乘以常数 时,用符号 来表示; (3)把第 行(列)的元素乘以 后加到第 行(列)上去,用符号 来表示. 本节利用行列式的性质,给出两种行列式的计算方法:化三角形法和降阶展开法. 注意一点:当“作行变换时请将上述符号写在等号上面,而“作列变换时将其写在等号下面,用以区分行和列的变换. 下面介绍行列式计算中常用的两种方法:化三角形法和降阶展开法. 该种方法是利用行列式的性质将所求行列式化为上(下)三角形行列式,然后将主对角线上的元素相乘即得该行列式值的一种方法.一般习惯将其化为上三角形行列

10、式,此时要将行列式中主对角线下方的元素全化为零(利用性质5),化时应注意化行(A行乘以某一个数加到B行上去时,称A行为化行,B行为被化行)左边第一个非零元素最好为1 解 先分析一下: 显见第一行第一列处的元素不等于1和-1,假设直接要将其下边的元素化为零,那么必会出现分数,从而对后边的计算带来困难.因此可先将第一列与第三列交换一下(也可以将第二行乘以-1后加到第一行),这样一来再化就方便的多了. 计算行列式的方法为降阶展开法.例3 计算 解例4 证明 证按第二列展开从第一列中提出公因子按第二列展开例5 解方程 解 因为 按第一列展开按第二行展开按第二行展开再按第二行展开所以有 即 (1) (2

11、) (3) 习题8-31.计算下列行列式2.解方程 (1) (2)3.计算 阶行列式 (1) (2)4. 证明 8.4 克莱姆法那么 行列式的概念是由二元和三元线性方程组引入的,现在学习了行列式的计算后,能否利用行列式来求解一般含有 个方程的 元线性方程组便成了我们所关心的问题了.本节给出利用行列式求解含 个方程的 元线性方程组的方法.其系数构成的阶行列式 含 个方程的 元线性方程组的一般形式为(1.4.1) 称为线性方程组(1.4.1)的系数行列式. 用代数余子式 分别乘以(1.4.1)式的第1个、第2个、 、第 个方程,然后再相加得由行列式的性质6可得其中 是把系数行列式 的第 列的元素依

12、次换为常数项 以后所得到的行列式.于是,当 时可得方程组(1.4.1)的解为 另外,可验证形如上式的一组数一定是方程组第一列元素与第 列元素所对应的代数余子式乘积的和为零.第二列元素与第 列元素所对应的代数余子式乘积的和为零.第 列元素与第 列元素所对应的代数余子式乘积的和等于系数行列式D.(1)式+(2)式+(n)式第 列元素与第 列元素所对应的代数余子式乘积的和等于零是 按第 列的展开式(1.4.1)的解. 例1 解线性方程组 依次换为常数项 后所得到的行列式. 综上可见,我们有 定理8.1(克莱姆Cramer法则) 如果线性方程组(1.4.1)的系数行列式 ,则方程组(1.4.1)必有唯

13、一一组解,且解为: 其中 是将系数行列式 中第 列元素于是所给方程组的解为解 因为系数行列式所以该方程组有惟一解例2 解线性方程组解 因系数行列式所以该方程组有且有惟一一组解因此由Cramer法那么知其解为 假设线性方程组(1.4.1)的常数项全为零,那么该方程组变为 (1.4.2) 推论1 如果齐次线性方程组(1.4.2)的系数行列式 ,则它必仅有唯一一组零解. 事实上,由于 ,由行列式的性质知必有 根据克莱姆法则知仅有唯一的一组零解 . 称常数项全为零的线性方程组(1.4.2)式为齐次线性方程组;当(1.4.1)式中常数项不全为零时,称方程组(1.4.1)为非齐次线性方程组. 推论2 如果齐